在小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)中“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”

【摘要】學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于引導(dǎo)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣”發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法、發(fā)展數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)，“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”就是讓“發(fā)現(xiàn)”發(fā)生在數(shù)學(xué)課堂中?；凇鞍l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)旨在以“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”作為教學(xué)實(shí)踐樣態(tài)，通過創(chuàng)造貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)問題情境，將現(xiàn)有的單元知識(shí)整體化、項(xiàng)目化、結(jié)構(gòu)化，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的形式開展卓有實(shí)效的深度學(xué)習(xí)探索，從而發(fā)展學(xué)生的高階思維，滿足學(xué)生未來學(xué)習(xí)的迫切需求。文章從教育意蘊(yùn)、要素表征、教學(xué)實(shí)踐等三個(gè)方面入手，闡述基于“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)的創(chuàng)新實(shí)踐?！娟P(guān)鍵詞】發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)教育意蘊(yùn)意義建構(gòu)教學(xué)方式學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)在于引導(dǎo)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣”發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法、發(fā)展數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)，“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”就是讓“發(fā)現(xiàn)”發(fā)生在數(shù)學(xué)課堂中?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出，要讓學(xué)生“經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)’的過程”，發(fā)展批判思維、形成科學(xué)態(tài)度，養(yǎng)成思維品質(zhì)、形成理性精神。為此，教師需要重新審視“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”，并以“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”為紐帶，重構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐體系，進(jìn)行教學(xué)方式的變革，以更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。一、基于“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)的教育意蘊(yùn)“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”旨在讓“發(fā)現(xiàn)”發(fā)生在數(shù)學(xué)課堂中，即通過有意義的發(fā)現(xiàn)情境創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生在興趣的激發(fā)下自主提出問題與設(shè)想，在獨(dú)立思考或合作中探索解決問題的策略，在情景化與問題化的經(jīng)歷中獲取數(shù)學(xué)概念認(rèn)知、掌握數(shù)學(xué)思考方式、發(fā)展數(shù)學(xué)思維與能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)情感與品質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)向?qū)W生素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化。小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)緣起于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的劃分，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)是單領(lǐng)域的、割裂的學(xué)習(xí)，應(yīng)是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科不同領(lǐng)域知識(shí)或多學(xué)科知識(shí)去解決復(fù)雜性問題的學(xué)習(xí)。在復(fù)雜的問題解決情境中，通過數(shù)學(xué)學(xué)科不同領(lǐng)域知識(shí)（數(shù)學(xué)學(xué)科中數(shù)概念與形概念）與跨領(lǐng)域?qū)W科知識(shí)（探索數(shù)學(xué)學(xué)科規(guī)律計(jì)算與信息科技學(xué)科編程設(shè)計(jì)）的綜合學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決、合作探究、科學(xué)創(chuàng)新、批判思維等能力，實(shí)現(xiàn)為數(shù)學(xué)理解而學(xué)、為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)而學(xué)、為終身發(fā)展而學(xué)?；凇鞍l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)旨在以“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”作為教學(xué)實(shí)踐樣態(tài)，通過創(chuàng)造貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)問題情境，將現(xiàn)有的單元知識(shí)整體化、項(xiàng)目化、結(jié)構(gòu)化，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的形式開展卓有實(shí)效的深度學(xué)習(xí)探索，從而發(fā)展學(xué)生的高階思維，滿足學(xué)生未來學(xué)習(xí)的迫切需求。二、基于“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)的意義建構(gòu)基于“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)，倡導(dǎo)以“學(xué)習(xí)需求”作為邏輯起點(diǎn)、以“知識(shí)融通”作為學(xué)習(xí)方式、以“素養(yǎng)發(fā)展”作為終極目標(biāo)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)深度理解、融會(huì)貫通。（一）以“學(xué)習(xí)需求”作為邏輯起點(diǎn)需求是一種不平衡的狀態(tài)，學(xué)習(xí)是學(xué)生成長的主動(dòng)需求。學(xué)習(xí)需求是指學(xué)習(xí)者的狀況與所期望達(dá)到的狀況之間的差距，具體為對未知事物的渴求，在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下為滿足自身需要產(chǎn)生的序列化反應(yīng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)中，教師可以根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的真實(shí)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程，在“平衡”與“不平衡”的不斷更替中產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求，“像數(shù)學(xué)家一樣”發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法、發(fā)展數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)。（二）以“知識(shí)融通”作為學(xué)習(xí)方式知識(shí)是構(gòu)成學(xué)生主動(dòng)發(fā)展的動(dòng)力源。數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)的整體，反映數(shù)學(xué)各部分內(nèi)在之間的聯(lián)系。知識(shí)的學(xué)習(xí)既要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的橫向聯(lián)結(jié)，也要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科知識(shí)間的縱向貫通。在小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)中，教師應(yīng)深入研讀各版本的數(shù)學(xué)教材，深刻理解各學(xué)科的貫通性知識(shí)，從現(xiàn)實(shí)生活中提煉核心問題、從問題解決中提煉研究專題，綜合運(yùn)用各領(lǐng)域知識(shí)，融會(huì)貫通、轉(zhuǎn)知成智，并指向?qū)W生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。（三）以“素養(yǎng)發(fā)展”作為終極目標(biāo)素養(yǎng)伴隨學(xué)生終身成長。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵主要表現(xiàn)為“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！叭龝?huì)”的三個(gè)方面是不可分割、不可孤立的，是一個(gè)統(tǒng)一的有機(jī)整體。數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言的發(fā)展相互融通，指向?qū)W生終身發(fā)展的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力。小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)中，教師應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展這一終極目標(biāo)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，促進(jìn)基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等目標(biāo)的達(dá)成，最終發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。三、基于“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)的教學(xué)方式（一）小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)的內(nèi)容選擇基于“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)的內(nèi)容選擇主要包括兩個(gè)維度：一是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部四大課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)領(lǐng)域之間的深度融合；二是數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科之間的有效整合。跨域融合可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義。1.數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)各版課標(biāo)都將義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為四大領(lǐng)域，新課標(biāo)將其表述為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等。在選擇內(nèi)容時(shí)，教師除了要關(guān)注綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的特定學(xué)習(xí)內(nèi)容之外，更要有效融通其他領(lǐng)域，選擇2個(gè)或者3個(gè)課程內(nèi)容領(lǐng)域有機(jī)整合。數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合是探尋數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的重要方式。在確定跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)內(nèi)容時(shí)，可有效整合數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域、圖形與幾何領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)，將數(shù)概念轉(zhuǎn)化為形概念，比如，將探索乘法分配律轉(zhuǎn)化為求解長方形的面積；將有規(guī)律的分?jǐn)?shù)數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求解正方形陰影部分的面積；將形概念轉(zhuǎn)化為數(shù)概念，將幾個(gè)幾相加的實(shí)物圖轉(zhuǎn)化為加法算式、乘法算式，將數(shù)大正方形中蘊(yùn)含小正方形的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和計(jì)算，讓學(xué)生在數(shù)與形的有效切換中，發(fā)現(xiàn)知識(shí)聯(lián)結(jié)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維。2.數(shù)學(xué)與其他學(xué)科跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)新課程方案與新課標(biāo)的頒布，將“跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)”“10%的課時(shí)量”推上了一個(gè)新高度。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)，可以看作跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，就是要立足數(shù)學(xué)學(xué)科本位，調(diào)用多學(xué)科的知識(shí)解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中復(fù)雜的問題。在選擇內(nèi)容時(shí)，教師可以關(guān)注兩大類型學(xué)科知識(shí)的整合：一類是數(shù)學(xué)、科學(xué)、信息科技等理科類知識(shí)的整合，另一類是數(shù)學(xué)、語文、音樂、美術(shù)等文理兼容類知識(shí)的整合。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)，應(yīng)關(guān)注學(xué)生年齡特征與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，采用項(xiàng)目化、主題式等方式，通過核心問題的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生深度學(xué)、共生長。如教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)二年級下冊“認(rèn)識(shí)方向”單元時(shí)，可以將語文、美術(shù)多學(xué)科融合到學(xué)科中來，設(shè)計(jì)“我做校園小導(dǎo)游”學(xué)習(xí)活動(dòng)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)“認(rèn)識(shí)方向”，學(xué)會(huì)用指南針等工具進(jìn)行校園建筑物的觀察（數(shù)學(xué)學(xué)科）；繪制校園平面圖，并進(jìn)行適當(dāng)美化（美術(shù)學(xué)科）；根據(jù)校園平面圖，設(shè)計(jì)校園游覽解說詞（語文學(xué)科）。這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)有利于學(xué)生逐步養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)問題、勇于提出問題、敢于解決問題的自主學(xué)習(xí)意識(shí)。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)的教學(xué)策略課堂是學(xué)生成長的主陣地。依據(jù)素養(yǎng)目標(biāo)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求，針對小學(xué)數(shù)學(xué)不同類型學(xué)習(xí)的內(nèi)容，基于“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的小學(xué)數(shù)學(xué)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)的課堂呈現(xiàn)出特色化、可復(fù)制的教學(xué)策略。1.強(qiáng)化內(nèi)部聯(lián)結(jié)，促進(jìn)思維進(jìn)階教師在教學(xué)“百數(shù)表”這一課時(shí)，將百數(shù)表轉(zhuǎn)化百格圖，跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)探究課“百變數(shù)方塊”應(yīng)運(yùn)而生。（1）從百數(shù)表到百格圖，充分喚醒知識(shí)經(jīng)驗(yàn)探究中，呈現(xiàn)百數(shù)表、抽象百格圖（圖1），讓學(xué)生一眼就看出百格圖中方塊的總個(gè)數(shù)。通過十個(gè)十個(gè)地橫著數(shù)、豎著數(shù)（圖2），學(xué)生明確雖然數(shù)的方法不同，但最終的結(jié)果仍是10個(gè)十就是一百。（2）從無重疊圖到一格重疊圖，多重表征涂色個(gè)數(shù)對于無重疊圖的涂色方塊數(shù)，可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)、一組一組地?cái)?shù)（圖3），也可以先平移再十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)（圖4）；可以用加法算式計(jì)算涂色方塊數(shù)，也可以用乘法算式計(jì)算涂色方塊數(shù)，多重形式的表征讓學(xué)生聯(lián)系數(shù)與形。一格重疊圖，用9＋9＋1、10＋9、10＋10－1等多個(gè)算式表征，雖算式不同但涂色方塊數(shù)不變。（3）從一格重疊圖到多格重疊圖，規(guī)律算式發(fā)展思維一格重疊圖、兩格重疊圖、三格重疊圖、四格重疊圖（圖5），再到自主設(shè)計(jì)多格重疊圖，“涂色方塊有幾行就是幾個(gè)10相加”“減去重復(fù)計(jì)數(shù)的方塊數(shù)”成為學(xué)生探索百格圖規(guī)律的共識(shí)。（4）從百格圖到同行同列方格圖，數(shù)形結(jié)合提升素養(yǎng)從百格圖到同行同列方格圖（圖6），學(xué)生通過一次次的涂色與比較，建立起利用算式計(jì)算涂色方塊數(shù)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)形結(jié)合巧探微，將百數(shù)表抽象成百格圖、從一格重疊到多格重疊，每一次創(chuàng)新數(shù)方格的探索都是促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階的有效方式。這樣的跨越數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何等領(lǐng)域的探究活動(dòng)，讓學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、提煉數(shù)學(xué)模型、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升核心素養(yǎng)。2.突出外部融合，關(guān)注素養(yǎng)發(fā)展借助網(wǎng)絡(luò)資源，一個(gè)“巧克力去哪兒了”魔術(shù)成為六年級學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的話題。巧克力到底去哪兒了？一節(jié)跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)實(shí)驗(yàn)課“吃不完的巧克力”悄然發(fā)生。（1）真實(shí)情境，再現(xiàn)魔術(shù)一塊5×5的巧克力（圖7），按照特定方法分割、拼接，看似少了一小塊巧克力。但在分割、拼接的過程中，巧克力質(zhì)量守恒，這一小塊巧克力不可能憑空消失。（2）激活思維，還原魔術(shù)用數(shù)學(xué)材料還原“吃不完的巧克力”（圖8），在等積變形中明確巧克力少了一個(gè)平行四邊形或者一個(gè)長方形，利用面積計(jì)算或解比例的方法，讓學(xué)生求解少了的就是“一小塊巧克力”。（3）鏈接教材，能力提升面對眼睛難以辨別的魔術(shù)，運(yùn)用初中數(shù)學(xué)相似三角形“對應(yīng)底和高的比比值相等”的知識(shí)，通過解比例的方法可以解決。在學(xué)習(xí)圖形的放大和縮小時(shí)的三角形也是相似三角形。（4）跨越學(xué)科，發(fā)展素養(yǎng)魔術(shù)“吃不完的巧克力”因直覺的誤導(dǎo)造成了視覺上的誤差，利用數(shù)學(xué)知識(shí)可以探尋魔術(shù)背后的奧秘，而視覺誤差仍存在于科學(xué)技術(shù)、社會(huì)生活中（圖9）。精巧的設(shè)計(jì)有助于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)、科技的創(chuàng)新發(fā)展的曲折，從而再次感悟數(shù)學(xué)的神奇和價(jià)值。宇宙之大，無處不用數(shù)學(xué)。吃不完的巧克力、消失的正方形、彭羅斯三角、莫比烏斯帶等具有視覺誤差的數(shù)學(xué)發(fā)明運(yùn)用在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)生活的方方面面。教師要跨越數(shù)學(xué)、