“雙減”背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐研究

【摘要】源于真實(shí)情境的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，有助于學(xué)生模型意識的形成與發(fā)展，能幫助學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決真實(shí)問題中的價(jià)值和作用，發(fā)展核心素養(yǎng)。文章論述“午休睡墊與桌椅擺放再優(yōu)化”數(shù)學(xué)建模實(shí)踐項(xiàng)目的實(shí)施過程，為小學(xué)數(shù)學(xué)建模的開展提供參考?！娟P(guān)鍵詞】“雙減”小學(xué)數(shù)學(xué)建模模型意識核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的一種方式，為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，建立了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的雙向聯(lián)系，響應(yīng)了數(shù)學(xué)課程改革的落地實(shí)施需求，貫徹落實(shí)立德樹人根本任務(wù)。在此背景下，筆者所在項(xiàng)目組選取“午休睡墊與桌椅擺放再優(yōu)化”這一現(xiàn)實(shí)問題，在六年級開展了數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)。學(xué)生經(jīng)歷了選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)階段，在建模實(shí)踐過程中開闊數(shù)學(xué)視野，形成思維習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)水平，增強(qiáng)實(shí)踐意識。本項(xiàng)目設(shè)計(jì)思路具體如圖1。一、源于真實(shí)生活情境的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程?，F(xiàn)實(shí)情境是問題的基礎(chǔ)。在小學(xué)階段進(jìn)行數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，更需要關(guān)注該學(xué)段學(xué)生在研究數(shù)學(xué)建模問題時(shí)對現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)和幾何直觀的高需求。在學(xué)生自主開展數(shù)學(xué)建模研究時(shí)，若情境與經(jīng)驗(yàn)脫離學(xué)生的認(rèn)知，則研究是很難進(jìn)行的。新課標(biāo)提出，“引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”，也同樣強(qiáng)調(diào)了真實(shí)情境的重要性。數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的開展首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)的生活情境，在實(shí)際問題中提煉出需要研究的核心問題。（一）真實(shí)的生活情境自學(xué)校實(shí)行午休在班全面躺睡以來，每班在校參加午休的學(xué)生人數(shù)不等，班級中參加的人數(shù)最少的只有十幾個(gè)，人數(shù)多的甚至超過40個(gè)。高年級學(xué)生體型較大，在校午休人數(shù)較多，而教室內(nèi)面積有限，按照目前的睡墊擺放方式進(jìn)行躺睡，學(xué)生間較擁擠，容易相互影響，降低午睡質(zhì)量。（二）面臨的實(shí)際問題在校午休的過程中，學(xué)生根據(jù)自己的生活體驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)需求，對能否在現(xiàn)有條件下進(jìn)一步提高午休舒適度進(jìn)行了思考，發(fā)現(xiàn)要想提高午休舒適度，最可行的方法是調(diào)整課桌椅和睡墊的擺放，提高教室的空間利用率，從而盡可能多地在教室內(nèi)鋪設(shè)睡墊，讓每個(gè)人躺睡的位置變得更寬敞些。經(jīng)過討論，學(xué)生將本次建模實(shí)踐活動(dòng)的核心問題確定為“如何對午休時(shí)睡墊和課桌椅的擺放位置進(jìn)行再優(yōu)化”。二、有別于問題解決的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐同樣源于真實(shí)生活情境、用數(shù)學(xué)方法解決問題，數(shù)學(xué)建模與問題解決既有聯(lián)系又有區(qū)別。常見的數(shù)學(xué)問題，是在現(xiàn)實(shí)情境基礎(chǔ)上進(jìn)行提煉和加工，進(jìn)而呈現(xiàn)出一個(gè)條件充分、一定有解的理想化問題。而數(shù)學(xué)建模要面對的現(xiàn)實(shí)生活情境往往還包含了一些非數(shù)學(xué)的現(xiàn)象，需要我們對問題發(fā)生的情境進(jìn)行提煉，對問題的影響因素加以區(qū)分。建模過程中，如何獲得數(shù)學(xué)信息、形成解題思路，都需要學(xué)生自行探索、設(shè)計(jì)、思考和完成。在這個(gè)過程中涉及的知識點(diǎn)也可能是多元的，甚至未必存在明確的最優(yōu)解。因此，數(shù)學(xué)建模的難度遠(yuǎn)高于一般的問題解決。為確保數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)的順利開展，在做題之前，學(xué)生需要對數(shù)學(xué)建模核心問題的影響因素進(jìn)行全面分析，區(qū)分有關(guān)變量和無關(guān)變量，針對相應(yīng)的影響因素進(jìn)行合理假設(shè)。（一）分析影響因素學(xué)生對“如何對午休時(shí)睡墊和課桌椅的擺放位置進(jìn)行再優(yōu)化”這一問題的影響因素進(jìn)行了討論。經(jīng)討論和整理，明確本項(xiàng)目的影響因素如下：教室的長和寬，桌椅的長和寬，已有睡墊的長和寬，睡墊的數(shù)量，桌椅的數(shù)量，參加午休的男女生人數(shù)（需要分區(qū)安排躺睡），鋪睡墊后要留出人通過的走道寬度。（二）提出合理假設(shè)在研究解題方案的過程中，上述影響因素的變化會對解題方案的探索產(chǎn)生影響，為了凸顯問題本質(zhì)，在正式開展研究前需要對其中的一些因素進(jìn)行量化。學(xué)生在討論解題步驟時(shí)，進(jìn)行了以下假設(shè)：假設(shè)1：教室、課桌椅、睡墊都看作一個(gè)規(guī)則的長方形，教室講臺與地面的高度差不可忽略；測量課桌椅的長和寬時(shí)需要將書包的大小等考慮在內(nèi)。假設(shè)2：每班男女人數(shù)比例為3∶2，躺睡區(qū)域應(yīng)至少能滿足40人的躺睡需求。假設(shè)3：每個(gè)人躺睡的面積一樣多，以六年級學(xué)生中體型最大的人作為參考，每張睡墊可躺下4名學(xué)生。假設(shè)4：每班有50套課桌椅，午休時(shí)需要放置在教室內(nèi)。假設(shè)5：睡墊的數(shù)量足夠多。（三）討論實(shí)施步驟，形成解題思路根據(jù)對問題的理解、對影響因素的把握和提出合理假設(shè)后對問題的進(jìn)一步明確，學(xué)生在教師的指引下確定了后續(xù)的實(shí)施步驟（圖2）。三、在檢驗(yàn)中不斷完善的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐對于數(shù)學(xué)建模而言，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠穹蠈?shí)際是必須認(rèn)真對待的，如果在檢驗(yàn)的過程中發(fā)現(xiàn)與實(shí)際情況相差較大，則需要修改假設(shè)，從頭再來。經(jīng)過反復(fù)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型，能大大提高其與現(xiàn)實(shí)情況的吻合度。（一）初次建立模型1.測量教室數(shù)據(jù)學(xué)生經(jīng)歷了測量、交流數(shù)據(jù)、復(fù)測確認(rèn)后，根據(jù)實(shí)際測量數(shù)據(jù)和平面圖繪制用紙的大小，選擇了1∶50的比例尺，繪制了教室的平面圖。學(xué)生在測量過程中發(fā)現(xiàn)，教室前門角落處、后門角落處各有一根柱子，教室后方有一排儲物柜，均無法移動(dòng)，規(guī)劃方案時(shí)不可將教室整體看作一個(gè)規(guī)則的長方形；與地面存在高度差的講臺部分是一個(gè)不規(guī)則的多邊形，規(guī)劃講臺的面積使用時(shí)可將其看作是長方形與三角形的組合，需要考慮兩個(gè)三角形轉(zhuǎn)角的位置能否利用。根據(jù)以上的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對假設(shè)1進(jìn)行了修改。2.測量桌椅數(shù)據(jù)學(xué)生在測量桌椅的長和寬時(shí)，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生的書包厚度不一，會導(dǎo)致桌椅擺放在一起時(shí)的占地面積發(fā)生改變，書包內(nèi)容物越多，所需要的占地面積越大。那么在設(shè)計(jì)方案時(shí)，是該按照平均值來計(jì)算桌椅的占地面積，還是按照最大值來計(jì)算呢？學(xué)生就此問題展開了進(jìn)一步的討論和研究，并在研究過程中發(fā)現(xiàn)了將桌椅占地面積最小化的方法：午休需要挪動(dòng)桌椅時(shí)，將書包放在桌面上，就能使得每一套桌椅的占地面積都一樣，并且占地面積最小。由此，學(xué)生確定了將每套桌椅的占地圖形看作是一個(gè)長60厘米、寬50厘米的長方形，并修改了假設(shè)1。3.測量睡墊數(shù)據(jù)睡墊是統(tǒng)一購買的180cm×200cm的墊子，經(jīng)測量，數(shù)據(jù)無誤。在使用過程中，可以整張使用（一般可供4人躺睡）或拆分成兩個(gè)半張?jiān)谖恢幂^小的區(qū)域使用（每半張可安排1～2人躺睡）。4.初次規(guī)劃優(yōu)化方案最初思考優(yōu)化方案時(shí)，部分學(xué)生會將這個(gè)問題看作是鋪地磚問題，認(rèn)為可以按照鋪地磚問題的解題方案，用“（教室面積－桌椅總占地面積）÷睡墊面積”來計(jì)算可以鋪多少張墊子，但這樣的計(jì)算方式忽略了桌椅和睡墊的整體性和可移動(dòng)性。桌椅和睡墊都是完整的整體，長和寬都是固定的，并且50套桌椅可以分開擺放，睡墊也可以分開擺放。比起紙上談兵，在找不到思路的時(shí)候，動(dòng)手?jǐn)[一擺是更好的操作，但桌椅太多、太重，如果要用實(shí)物進(jìn)行操作并不方便。因此，學(xué)生按照1∶50的比例尺將桌椅和睡墊等比例縮小，制作成可移動(dòng)的紙片，在教室平面圖中嘗試擺放和移動(dòng)，規(guī)劃優(yōu)化方案。方案一：將所有桌椅堆放于教室外側(cè)，講臺及教室內(nèi)側(cè)空地用于擺放睡墊，教室內(nèi)側(cè)共鋪設(shè)完整睡墊12張，每張睡3人；講臺鋪設(shè)2張半張睡墊，每半張睡2人，合計(jì)可滿足40人躺睡且比之前每張睡墊睡4人寬松。方案二：將桌椅分別擺放于教室兩側(cè)，講臺及教室中間位置用于擺放睡墊，同樣擺放了12張整張睡墊和2張半張睡墊，教室中間共鋪設(shè)完整睡墊12張，每張睡3人；講臺鋪設(shè)2張半張睡墊，每半張睡2人，合計(jì)可滿足40人躺睡。比之前每張睡墊睡4人寬松。方案三：將桌椅分別擺放于講臺上、教室兩側(cè)、教室中間（用于隔斷）。剩余空間共擺放了8張完整睡墊和2張半張睡墊。按照原來每張睡墊睡4人，僅能滿足36人躺睡，不滿足要求。5.初稿匯報(bào)展示，互評提議學(xué)生在各組匯報(bào)初稿設(shè)計(jì)模型后對呈現(xiàn)的方案進(jìn)行了討論和分析，提出了一些修改建議。方案一和方案二的人均躺睡面積實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化，但在設(shè)計(jì)桌椅擺放時(shí)未考慮留出疏散的安全通道，將教室前后門堵住了，需要加以改進(jìn)。方案三盡管利用了講臺的邊角位置，但走道留空太多，空間利用率降低了，方案僅適用于一些午休人數(shù)較少的班級，需要調(diào)整。除此以外，方案一和方案二在制作縮小模型時(shí)誤差較大，導(dǎo)致可擺放睡墊數(shù)據(jù)明顯偏大，與現(xiàn)實(shí)情況存在較大偏差，需要進(jìn)行修正。（二）再次建立模型學(xué)生根據(jù)初稿的互評提議，對優(yōu)化模型方案進(jìn)行了調(diào)整，提出了如下方案：方案一：講臺上放空間用于擺放桌椅，經(jīng)實(shí)測，當(dāng)所有書包放置于桌面上時(shí)可擺放兩排。其余桌椅靠墻擺放或用于隔斷分區(qū)。共能擺放10張完整睡墊和2張半張睡墊。方案二：桌椅擺放于講臺上方、教室靠外側(cè)和用于隔斷，共能擺放11張完整睡墊和1張半張睡墊。學(xué)生認(rèn)為午休時(shí)要脫鞋，可以光腳踩在睡墊上通行，因此走道預(yù)留空間較少。方案三：桌椅擺放于教室前后兩側(cè)及中間隔斷，共能擺放9張完整睡墊和3張半張睡墊，并考慮用課桌桌面搭建二層區(qū)域，可再擺放3張半張睡墊。以上方案經(jīng)過實(shí)際測試，均能夠?qū)崿F(xiàn)。每張睡墊能睡3～4人，方案一能滿足34～44人躺睡；方案二能滿足35～46人躺睡；方案三不考慮二層空間情況下能滿足32～42人躺睡。四、總結(jié)反思，拓寬視野經(jīng)歷本次建模實(shí)踐后，學(xué)生真正感知到數(shù)學(xué)有“用武之地”，學(xué)生的數(shù)感、量感、運(yùn)算能力和應(yīng)用意識有了明顯的提高，對于數(shù)學(xué)模型解決問題的普適性也有了初步的感悟，形成了一定的模型意識，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和興趣方面也有了明顯的正反饋。本項(xiàng)目共經(jīng)歷兩輪檢驗(yàn)，得到了一個(gè)應(yīng)用于學(xué)生生活實(shí)際的優(yōu)化模型，學(xué)生在此過程中掌握了解決此類優(yōu)化問題的方法和思路，獲得了較強(qiáng)的知識運(yùn)用與