用推理和想象讓線段“動(dòng)”起來

【摘要】隨著核心素養(yǎng)的深入發(fā)展，小學(xué)數(shù)學(xué)教師越來越重視學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2002年版）》將尺規(guī)作圖的內(nèi)容新增到了第二學(xué)段，“用尺規(guī)作等長(zhǎng)線段”是這部分內(nèi)容的第一課時(shí)，也是學(xué)生第一次接觸尺規(guī)作圖。尺規(guī)作圖并不是教技能，而是讓學(xué)生懂原理。為什么要學(xué)尺規(guī)作圖，意在讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性?！娟P(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖等長(zhǎng)線段推理和想象一、教學(xué)理念用直尺和圓規(guī)畫等長(zhǎng)線段是新課標(biāo)“圖形與幾何”第二學(xué)段“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”中的內(nèi)容。本課是在認(rèn)識(shí)線段的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長(zhǎng)線段，感知線段長(zhǎng)度與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系，是新課標(biāo)附錄第26例的內(nèi)容。通過本課的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的想象和推理意識(shí)，增強(qiáng)幾何直觀能力。后續(xù)還將學(xué)習(xí)用直尺和圓規(guī)作三角形等一些內(nèi)容。按新課標(biāo)要求，在學(xué)習(xí)本課之前學(xué)生已經(jīng)會(huì)用圓規(guī)畫圓和畫弧，通過本課的學(xué)習(xí)學(xué)生還將感受到圓規(guī)除了可以畫圓和畫弧外，還可以確定線段的長(zhǎng)度，從而豐富對(duì)尺規(guī)的認(rèn)識(shí)。新課標(biāo)引入尺規(guī)作圖的意圖在于：讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)性。因此，本節(jié)課教師從學(xué)生“量”的經(jīng)驗(yàn)入手，讓學(xué)生逐步體會(huì)用尺規(guī)作圖解決問題的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。本節(jié)課教師圍繞如下三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行：環(huán)節(jié)一：在真實(shí)情境的問題中，嘗試用多種方法比較線段的長(zhǎng)短；環(huán)節(jié)二：組織多元化意義協(xié)商，在比較中感悟圓規(guī)的作用；環(huán)節(jié)三：借助線段比較的經(jīng)驗(yàn)，探索如何用尺規(guī)作等長(zhǎng)線段。通過這三個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)：任意一條線段都能通過工具讓它“動(dòng)”起來。二、教學(xué)流程結(jié)合上述的思考和思路，本節(jié)課的教學(xué)流程設(shè)計(jì)如下。（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題創(chuàng)設(shè)大課間活動(dòng)情境，由“哪個(gè)器材小屋離教師最近”的實(shí)際問題，聚焦到哪一條線段最短的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。導(dǎo)入活動(dòng)通過播放大課間選取器材，聚焦到教師去哪個(gè)器材小屋的畫面，從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題。緊接著在“教師離哪個(gè)器材小屋最近”的問題驅(qū)動(dòng)下，讓學(xué)生體驗(yàn)到用尺規(guī)可以幫助解決此類現(xiàn)實(shí)世界的問題。通過數(shù)學(xué)的眼光，學(xué)生形成對(duì)尺規(guī)作圖的好奇心與想象力，主動(dòng)參與課堂的探究活動(dòng)，養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。（二）選擇工具，嘗試比較為學(xué)生提供小棒、無刻度直尺、毛線、圓規(guī)等多樣化的學(xué)習(xí)工具，從使用無刻度直尺“量”出線段的長(zhǎng)度，到嘗試?yán)脠A規(guī)確定線段的長(zhǎng)度。通過多種工具的嘗試和資源的對(duì)比，讓學(xué)生感受線段是可以動(dòng)起來的，只要建立了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是可以移動(dòng)的，想跟誰比就跟誰比，引發(fā)學(xué)生思考圓規(guī)在作圖中的作用。通過交流，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到圓規(guī)在比較線段長(zhǎng)短中的作用，弧和圓心之間存在著無數(shù)條等長(zhǎng)的線段。在多次資源對(duì)比中，體會(huì)方法的多樣性；在聚焦分析中，進(jìn)一步優(yōu)化方法，讓學(xué)生的思維進(jìn)一步得到完善。（三）明確作法，分享交流設(shè)計(jì)兩個(gè)教學(xué)活動(dòng)，分別是：在射線上畫等長(zhǎng)線段和畫已知線段的等長(zhǎng)線段?；顒?dòng)一：讓學(xué)生構(gòu)思如何用圓規(guī)作等長(zhǎng)線段，提煉出“定點(diǎn)—圓規(guī)定距離—畫弧定交點(diǎn)”的作圖步驟，并將作圖過程完整清晰地進(jìn)行表達(dá)，感受圓規(guī)兩腳間的距離不變可以在射線上畫出等長(zhǎng)線段，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力?；顒?dòng)二：在活動(dòng)一的基礎(chǔ)上，通過不同資源的對(duì)比溝通，方法優(yōu)化，感悟圓心到圓弧上任意一點(diǎn)的線段長(zhǎng)度都相等。尺規(guī)作圖作為小學(xué)部分新增內(nèi)容，其要求是用尺規(guī)作等長(zhǎng)線段，并不是直接把作圖方法教授給學(xué)生，讓學(xué)生模仿，而是在一次次動(dòng)手嘗試中讓學(xué)生不斷思考、調(diào)整、交流、反思，最終選擇最優(yōu)作圖方法，明確如何用尺規(guī)更精準(zhǔn)、方便地完成作圖。通過兩次畫等長(zhǎng)線段的過程，學(xué)生通過觀察、操作，想象能力和推理意識(shí)得到加強(qiáng)，進(jìn)一步感悟了尺規(guī)的價(jià)值。（四）拓展運(yùn)用，欣賞尺規(guī)在課的最后，通過視頻的方式欣賞尺規(guī)的發(fā)展演變史，感受尺規(guī)在生活中的應(yīng)用。三、教學(xué)感悟通過本課的教學(xué)，有以下三個(gè)思考。（一）以數(shù)學(xué)表達(dá)促進(jìn)學(xué)生思維1.會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界本節(jié)課借助比、畫這兩個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)了有向開放的問題，在活動(dòng)過程中讓學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化的自主探索，資源呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化，互動(dòng)交流序列化，讓學(xué)生的思維再生長(zhǎng)。例如：在兩個(gè)活動(dòng)學(xué)生方法的交流分析中，要重視方法之間的聯(lián)系，以及從他人方法中獲得的啟發(fā)。學(xué)生在交流中認(rèn)識(shí)到圓規(guī)在比較線段長(zhǎng)短中的優(yōu)勢(shì)，弧和圓心之間存在著無數(shù)條等長(zhǎng)的線段。在多次資源對(duì)比中，體會(huì)方法的多樣性；在聚焦分析中，進(jìn)一步優(yōu)化方法。在整個(gè)過程中，學(xué)生借助觀察、操作、想象，使直觀想象能力和推理意識(shí)都得到了發(fā)展，初步養(yǎng)成有條理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。2.會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界學(xué)生通過用圓規(guī)作等長(zhǎng)線段，學(xué)會(huì)用規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述作圖過程，以表達(dá)促進(jìn)思維的發(fā)展。本課中在比較線段長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上，教師設(shè)計(jì)了尺規(guī)作等長(zhǎng)線段的活動(dòng)。在這個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生不僅要?jiǎng)邮植僮?，更要?gòu)思畫法，并在對(duì)比交流中清晰地表達(dá)作圖過程。因此，教師設(shè)計(jì)了學(xué)習(xí)任務(wù)單鼓勵(lì)學(xué)生思考操作（圖1），并用關(guān)鍵詞概括作圖的方法。在交流方法的過程中，鼓勵(lì)學(xué)生邊傾聽邊嘗試，邊討論邊完善，會(huì)思考會(huì)做事。學(xué)習(xí)任務(wù)單活動(dòng)要求：1.想一想：你想怎樣比較所畫線段和標(biāo)準(zhǔn)線段的長(zhǎng)短？2.選一選，做一做：選擇合適的工具，動(dòng)手比一比。3.說一說：跟你的同桌說一說你是怎么比較的。正如新課標(biāo)所說，這樣的設(shè)計(jì)意在通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程，讓學(xué)生學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式。如在概括作圖方法的過程中，學(xué)生經(jīng)歷交流、反思，嘗試概括成“以點(diǎn)C為端點(diǎn)，以線段AB的長(zhǎng)度畫弧，交射線為點(diǎn)D，線段CD即為AB的等長(zhǎng)線段”這樣具有數(shù)學(xué)特色的小結(jié)。引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔與優(yōu)美，在數(shù)學(xué)課堂上逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流的習(xí)慣。（二）用多樣工具引發(fā)推理想象在多樣化的工具選擇、對(duì)比、分析中讓學(xué)生感受圓規(guī)的價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的推理和想象能力。我們生活在真實(shí)的世界里，數(shù)學(xué)對(duì)象也是從現(xiàn)實(shí)世界而來。但是數(shù)學(xué)不是以“真實(shí)”本身為對(duì)象，而是通過“剝離”或“去掉”真實(shí)對(duì)象中的“真實(shí)”，找到它的本質(zhì)屬性，進(jìn)而得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。活動(dòng)中教師準(zhǔn)備了小棒、毛線、圓規(guī)和直尺等學(xué)具，讓學(xué)生在活動(dòng)探究中先選擇工具。這樣設(shè)計(jì)，主要有這樣的思考：選取具有現(xiàn)實(shí)意義的工具，像小棒、毛線、書本等這樣隨手可取的工具，其實(shí)也具備“量”“比”線段的功能，而且這些工具是生活中隨處可見的，這樣更貼近現(xiàn)實(shí)世界。教師鼓勵(lì)學(xué)生選擇“類似”的工具進(jìn)行作圖，比如可以借助毛線或繩（無彈性）用手將它們的一端固定，另一端固定在鉛筆上，利用鉛筆的移動(dòng)畫出圓弧，與已知線段比長(zhǎng)短，讓學(xué)生體驗(yàn)生活中很多類似工具“量”“比”線段的方法，看似隨意，其實(shí)都是蘊(yùn)含著圓規(guī)畫弧的道理。但是在操作過程中，學(xué)生也體驗(yàn)到這樣的工具雖取材方便，作用相通，但是作圖不夠精確，而圓規(guī)與尺作為專業(yè)的數(shù)學(xué)測(cè)量工具更符合數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性。（三）從操作技能走向數(shù)學(xué)素養(yǎng)通過本課學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)如何用圓規(guī)畫等長(zhǎng)線段，更是感受到“兩點(diǎn)確定一條線段”的本質(zhì)，根據(jù)圓規(guī)兩腳之間的距離就可以讓線段“動(dòng)”起來。利用尺規(guī)畫出與線段AB的等長(zhǎng)線段，教師設(shè)計(jì)了這樣的活動(dòng)單（圖2），4人一組，小組探索?；顒?dòng)單活動(dòng)要求：1.想一想：你打算如何畫出與線段AB等長(zhǎng)的線段，小組交流。2.畫一畫：借助尺規(guī)動(dòng)手畫一畫，每步使用了什么工具。3.說一說：小組交流你們的作圖過程，分為幾步，每步的關(guān)鍵是什么。尺規(guī)作圖的價(jià)值不僅僅是讓學(xué)生知道作圖方法，更重要的是在活動(dòng)的推進(jìn)中，讓學(xué)生自己通過嘗試、操作，經(jīng)歷找點(diǎn)的過程，發(fā)現(xiàn)問題，并及時(shí)思考、調(diào)整、再操作，最終體會(huì)到用尺規(guī)作等長(zhǎng)線段的關(guān)鍵是確定線段的兩個(gè)端點(diǎn)。所以，尺規(guī)作圖有利于培養(yǎng)學(xué)生“幾何直觀”等核心素養(yǎng)，感受到數(shù)學(xué)圖形的直觀存在，清晰地感知圖形組成元素之間的空間關(guān)系。還能通過畫出的圖形來表示數(shù)學(xué)問題的抽象模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，形成分析問題的一種思維方式。尺規(guī)作圖既能增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，也發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀和推理意識(shí)。在整個(gè)過程中，學(xué)生借助觀察、操作、想象，使直觀想象能力和推理意識(shí)都得到了發(fā)展，初步養(yǎng)成有條理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。最后，在本課教學(xué)中教師也有一些困惑：根據(jù)四年級(jí)學(xué)生已有認(rèn)知水平，學(xué)生對(duì)從一點(diǎn)到弧上任意一點(diǎn)的線段長(zhǎng)度都相等的認(rèn)識(shí)和理解不夠深刻。雖然借助信息技術(shù)在動(dòng)態(tài)操作上讓學(xué)生多次感知點(diǎn)到圓弧上任意一點(diǎn)的距離都相等，但還是沒達(dá)到最佳效果。四、結(jié)語尺規(guī)作圖有力地促進(jìn)了學(xué)生的直觀想象和推理意識(shí)的發(fā)展。在尺規(guī)作圖中，學(xué)生需要