高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)的概念及其表示

函數(shù)的概念和函數(shù)的表示法

考點(diǎn)一：由函數(shù)的概念判斷是否構(gòu)成函數(shù)

函數(shù)概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合

B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AfB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。

例1.下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，能確定y是x的函數(shù)的是()

Y

①A={xexGZ},B={yeyGZ},對(duì)應(yīng)法則f：x-*y=—;

3

②A={xwx>0,xeR},B={yeydR},對(duì)應(yīng)法則f：x->?2=3x;

③A=R,B=R,對(duì)應(yīng)法則f：x-y=x2;

變式1.下列圖像中，是函數(shù)圖像的是()

①②③④

變式2.已知函數(shù)y=f(x),則對(duì)于直線x=a(a為常數(shù))，以下說(shuō)法正確的是()

A.y=f(x)圖像與直線x=a必有一個(gè)交點(diǎn)B.y=f(x)圖像與直線x=a沒(méi)有交點(diǎn)

C.y=f(x)圖像與直線x=a最少有一個(gè)交點(diǎn)D.y=f(x)圖像與直線x=a最多有一個(gè)交點(diǎn)

變式4.對(duì)于函數(shù)y=f(x),以下說(shuō)法正確的有…()

①y是x的函數(shù)②對(duì)于不同的x,y的值也不同

③f(a)表示當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量@f(x)一定可以用一個(gè)具體的式子表示出來(lái)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

變式5.設(shè)集合M={x0WxW2},N={y|0WyW2},那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函

A.①②③④B.①②③C.②③D.②

考點(diǎn)二：同一函數(shù)的判定

函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域。

如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)相等。

例2.下列哪個(gè)函數(shù)與y=x相同()

①.y=[x|(2).y=4x^(§).y=(4)④.y=t⑤.y=y-4x^

變式1.下列各組函數(shù)表示相等函數(shù)的是()

12—9I~~~

A.y=-----與y=x+3B.y與y=x-l

x-3

C.y=x°(xWO)與y=1(xWO)D.y-2x4-1,x￡Z與y=2x—1,x￡Z

變式2.下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？

(2)y1=Jx+lJx—1必=J(x+l)(x-l)

(3)力(x)=(j2x-5)2f2(x)=2x-5

考點(diǎn)三：求函數(shù)的定義域

(1)當(dāng)f(x)是整式時(shí)，定義域?yàn)镽；

(2)當(dāng)f(x)是分式時(shí)，定義域是使分母不為0的x取值集合；

(3)當(dāng)f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式取非負(fù)值的x取值集合；

(4)當(dāng)f(x)是零指數(shù)毒或負(fù)數(shù)指數(shù)新時(shí)，定義域是使哥的底數(shù)不為0的x取值集合；

(5)當(dāng)f(x)是對(duì)數(shù)式時(shí)，定義域是使真數(shù)大于0且底數(shù)為不等于1的正數(shù)的x取值集合；

例3.①函數(shù)y=+的定義域是()

A.{-1,1}B.(-1,1)C.[-1,1]D.(-oo,-1)u(1,+~)

②函數(shù)上的定義域是(用區(qū)間表示).

變式1.求下列函數(shù)的定義域

⑴/(%)=―-—；(2)/(x)=J3x+2；(3)f(x)=A/X+1+―-—

⑸尸衍T

求復(fù)合函數(shù)的定義域

例5.已知函數(shù)f(2x-1)定義域?yàn)閇-1,3],求f(x)的定義域

變式1.已知函數(shù)f(JTR)的定義域?yàn)閇0,3],求f(x)的定義域

變式2.已經(jīng)函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇0,4],求f(d)的定義域

考點(diǎn)四：求函數(shù)的值域

例6.求下列函數(shù)的值域

①y=3x+l,x€{1,2,3,4,5}(觀察法)

②y=f-4x+6,x￡[1,5)(配方法：形如y=。小+Z?x+c)

變式1.求下列函數(shù)的值域

①y=2x2-4x+3②/(x)=2x2+3x+4(-1<x<2)

考點(diǎn)五：求函數(shù)的解析式

例7.已知f(x)=X2-2X,求f(X-1)的解析式(代入法/拼湊法/換元法)

變式1.已知f(x)=2x-l,求f(f)的解析式

變式2.已知f(x+1)=d+31+3,求f(x)的解析式

變式3.已知f電+1)=x+24，試求/(%)的解析式.

例8.若f[f(x)]=4x+3,求一次函數(shù)f(x)的解析式(待定系數(shù)法)

變式1.一次函數(shù)/(幻滿足/"(x)]=4x+5,求該函數(shù)的解析式.

變式2.已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)=2,f(x+l)-f(x)=x-l,求f(x)的解析式.

變式3.已知二次函數(shù)f(x)=x2—bx+c滿足f(1+x)=f(1—x),且f(0)=3,求f(x)解析式.

變式4.已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).

例9.已知f(x)-2f(-x)=x,求函數(shù)f(x)的解析式(消去法/方程組法)

變式1.己知2f(x)-f(-x)=x+1,求函數(shù)f(x)的解析式

變式2.已知2f(x)-ff-j=3x,求函數(shù)f(x)的解析式

考點(diǎn)六：函數(shù)的求值

例11.已經(jīng)函數(shù)f(x)=2X3+X,求f(2)和f(a)+f(一a)的值

1+x2

變式1.已知f(2x)=----,求f(2)的值

x

一「/\5x+lX>0

例12.已知函數(shù)，求f⑴+f(-l)的值

J')-3x+2x<0

〃x+2),x<-l

變式1.已知函數(shù)/(%)=(2x+2,-1<X<1,求f[f(T)]的值

2x-4,x>l

1,(〃=D

變式2.已知函數(shù)〃八)=.1*，求f(5)的值

l+-/(n-2),(neN*)

2-x,xe(-oo,l]

例13.設(shè)函數(shù)〃x)=<,求滿足f(x)=士的X值

2

log8|^,xe(l,+co)

33x<l

變式1.已知函數(shù)=<,若f(x)=2,求X的值

-X,X>1

考點(diǎn)七：映射

例1.判斷下列對(duì)應(yīng)是否是映射?

變式1.判斷下列兩個(gè)對(duì)應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？

(1)設(shè)人={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},對(duì)應(yīng)法則/：Xf2x+l

(2)設(shè)4=27*,8={0,1},對(duì)應(yīng)法則x除以2得的余數(shù)

(3)A=N,B={0,1,2},廣xfx被3除所得的余數(shù)

(4)設(shè)乂={1,2,3,4},丫={12」」}x取倒數(shù)

234

(5)A={x[x>2,xeN},6=N,/:xT■小于x的最大質(zhì)數(shù)

自主練習(xí)題

2.設(shè)集合P={x|04xW4},Q={），|0KyW2},由以下列對(duì)應(yīng)f中不熊構(gòu)成A至ljB的映射的是)

A.y=-xB.y=-xC.y=KD.y=-x

2338

3.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.y=1,y=-B.y=Jx-lxJx+1,y=Jd-1C.y=x,y=V?D.y=\x\,y=(Vx)2

x

4.函數(shù)y=/（x）的圖象與直線x=l的公共點(diǎn)數(shù)目是（）

A.1