高中數(shù)學函數(shù)模型的應用實例

課題：函數(shù)模型的應用實例（n）

課型：新授課

教學目標

能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實際問題，進一步感受

運用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對給定的函數(shù)模型進行簡潔的分析

評價.

二、教學重點

重點：利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質(zhì)函數(shù)模型解決實際問題.

難點：將實際問題轉化為數(shù)學模型，并對給定的函數(shù)模型進行簡潔的分析

評價.

三、學法與教學用具

1.學法：自主學習和嘗試，互動式探討.

2.教學用具：多媒體

四、教學設想

（一）創(chuàng)設情景，揭示課題.

現(xiàn)實生活中有些實際問題所涉與的數(shù)學模型是確定的，但需我們利用問題

中的數(shù)據(jù)與其蘊含的關系來建立.對于已給定數(shù)學模型的問題，我們要對所確

定的數(shù)學模型進行分析評價，驗證數(shù)學模型的與所供應的數(shù)據(jù)的吻合程度.

（二）實例嘗試，探求新知

例1.一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系如圖所示.

1）寫出速度「關于時間/的函數(shù)解析式；

2）寫出汽車行駛路程y關于時間，的函數(shù)關系式，并作圖象；

3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；

4）假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004,試建立汽

車行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)S與時間f的函數(shù)解析式，并作出相應的圖象.

本例所涉與的數(shù)學模型是確定的，須要利用問題中的數(shù)據(jù)與其蘊含的關系建

立數(shù)學模型，此例分段函數(shù)模型刻畫實際問題.

老師要引導學生從條塊圖象的獨立性思索問題，把握函數(shù)模型的特征.

留意培育學生的讀圖實力，讓學生懂得圖象是函數(shù)對應關系的一種重要表現(xiàn)

形式.

例2.人口問題是當今世界各國普遍關注的問題，相識人口數(shù)量的變更規(guī)

律，可以為有效限制人口增長供應依據(jù).早在1798,英國經(jīng)濟家馬爾薩斯就提

出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

y=y/

其中「表示經(jīng)過的時間，兒表示，=（）時的人口數(shù)，「表示人口的年均增長率.

下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人）

年份195531954

人數(shù)55196563660266

年份19551956195719581959

人數(shù)65636599467207

1）假如以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確

到0.0001）,用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模

型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；

2）假如按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達到13億？

探究以下問題：

1）本例中所涉與的數(shù)量有哪些？

2）描述所涉與數(shù)量之間關系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型須要

幾個因素？

3）依據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？

4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進行檢驗，依據(jù)檢驗結果對函數(shù)模型又應做

出如何評價？

如何依據(jù)確定的函數(shù)模型具體預料我國某個時間的人口數(shù)，用的是何種計算

方法？

本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型y=解決實際問題的一類問題，

引導學生相識到確定具體函數(shù)模型的關鍵是確定兩個參數(shù)為與

完成數(shù)學模型的確定之后，因為計算較繁，可以借助計算器.

在驗證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學模型是否吻合時，可引導學生利用計算

器或計算機作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點圖，通過比較來確

定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合程度，并使學生相識到表格也是描述函數(shù)關系的

一種形式.

引導學生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對人口增長狀況的預料，實質(zhì)上是通過求一

個對數(shù)值來確定f的近似值.

課堂練習：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件,

1.2萬件，1.3萬件，為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依

據(jù)用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量f與月份的無關系，模擬函數(shù)可以選用二次函

數(shù)或函數(shù)y="'+c（其中a,Ac為常數(shù)）.已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請

問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.

探究以下問題：

1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何依據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？

2）如何對所確定的函數(shù)模型進行評價?

本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導學生利用待定系數(shù)法確定具體函數(shù)模

型.

引導學生相識到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標準是4月份產(chǎn)量的吻合程度，這也是

對函數(shù)模評價的依據(jù).

本例滲透了數(shù)學思想方法，要培育學生有意識地運用.

三.歸納小結，發(fā)展思維.

利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題的方法；

1）依據(jù)題意選用恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉與的數(shù)量之間的關系；

2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型；

3）對所確定的函數(shù)模型進行適當?shù)脑u價；

4）依據(jù)實際問題對模型進行適當?shù)男拚?

通過以上三題的練習，師生共同總結出了利用擬合函數(shù)解決實際問題的一般

方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變更規(guī)律的重要數(shù)學模型，是解決實際問題的

重要思想方法.利用函數(shù)思想解決實際問題的基本過程如下：

收

集

數(shù)

據(jù)

實際

不符合實際

從以上各例體會到：依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，然后通過視察圖象,

推斷問題適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機數(shù)據(jù)處理功能，利用待定系數(shù)

法得出具體的函數(shù)解析式