2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（文科專(zhuān)用）-高考數(shù)學(xué)易混淆知識(shí)點(diǎn)辨析

2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（文科專(zhuān)用）-高考數(shù)學(xué)易混淆知識(shí)點(diǎn)辨析一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}+x$，若$f(x)$的圖像與直線(xiàn)$y=x$的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$x$的取值范圍是（）（1）$x>1$；（2）$x<1$；（3）$x\neq1$；（4）$x>0$。2.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$中存在常數(shù)$C$，使得$a_n=C$的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是（）（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。3.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，若$f'(x)=0$的解為$x_1$，$f''(x)=0$的解為$x_2$，則$f(x)$在區(qū)間$(x_1,x_2)$上的單調(diào)性是（）（1）單調(diào)遞增；（2）單調(diào)遞減；（3）先增后減；（4）先減后增。4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，若$a_3+a_7=a_1+a_9$，則$a_5$的值為（）（1）$a_1$；（2）$2a_1$；（3）$3a_1$；（4）$4a_1$。5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-x$，若$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$x$的取值范圍是（）（1）$0<x<1$；（2）$x>1$；（3）$x<0$；（4）$x\neq0$。二、填空題6.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$，若$f'(x)=0$的解為$x_0$，則$f(x)$在$x=x_0$處取得極值。7.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_2+a_3+a_4=10$，則$a_1$的值為。8.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+x^2-1$，若$f'(x)=0$的解為$x_0$，則$f(x)$在$x=x_0$處取得極值。三、解答題9.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^3}{x-1}$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。10.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增數(shù)列。四、解答題11.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。12.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿(mǎn)足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n^2+2$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增數(shù)列。五、解答題13.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并分析$f(x)$的單調(diào)性。14.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公比為$q$，若$a_1+a_2+a_3=21$，$a_2+a_3+a_4=63$，求$a_1$和$q$的值。六、解答題15.已知函數(shù)$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并分析$f(x)$的極值情況。16.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿(mǎn)足$a_1=3$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，并求出公比。本次試卷答案如下：一、選擇題1.【答案】（2）$x<1$?！窘馕觥亢瘮?shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}+x$的圖像與直線(xiàn)$y=x$的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，意味著存在兩個(gè)不同的$x$值使得$f(x)=x$。即$\frac{1}{x-1}+x=x$，解得$x=1$，但這不滿(mǎn)足$x<1$的條件。因此，$x<1$。2.【答案】（1）1?！窘馕觥繑?shù)列$\{a_n\}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-1$。由于$a_1=1$，代入遞推公式得$a_2=0$。再代入得$a_3=0$，以此類(lèi)推，可以得到$a_n=0$對(duì)所有$n$成立，因此只有一個(gè)常數(shù)$C=0$。3.【答案】（1）單調(diào)遞增?！窘馕觥亢瘮?shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}+2$。由于$x>0$，$\frac{1}{x}>0$，因此$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$(x_1,x_2)$上單調(diào)遞增。4.【答案】（2）$2a_1$。【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=a_1+2d$，$a_7=a_1+6d$，$a_9=a_1+8d$。根據(jù)題意，$a_3+a_7=a_1+a_9$，即$2a_1+8d=2a_1+8d$，這個(gè)等式對(duì)于任何$a_1$和$d$都成立，所以$a_5=a_1+4d=2a_1$。5.【答案】（1）$0<x<1$?！窘馕觥亢瘮?shù)$f(x)=\frac{1}{x}-x$，求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-1$。由于$x>0$，$f'(x)<0$，所以$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞減，因此在$(0,1)$上沒(méi)有極值點(diǎn)。二、填空題6.【答案】$x_0=1$。【解析】求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{-x^2+x}{(x+1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x^2-x=0$，解得$x=0$或$x=1$。由于$x+1\neq0$，$x_0=1$。7.【答案】$a_1=2$。【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d=10$，解得$a_1=2$。8.【答案】$x_0=1$?！窘馕觥壳髮?dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}+2x$，令$f'(x)=0$得$x^2+1=0$，由于$x^2+1>0$對(duì)所有$x$成立，所以$f'(x)$沒(méi)有零點(diǎn)，即$f(x)$沒(méi)有極值。三、解答題9.【答案】$f(x)$在$x=0$處取得極小值$f(0)=0$，在$x=1$處取得極大值$f(1)=1$?！窘馕觥壳髮?dǎo)得$f'(x)=\frac{3x^2-x^3}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x(x^2-3x)=0$，解得$x=0$或$x=3$。通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化判斷，$x=0$是極小值點(diǎn)，$x=3$是極大值點(diǎn)。10.【答案】由數(shù)學(xué)歸納法可得數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增數(shù)列?！窘馕觥渴紫龋?a_1=1>0$，假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)$k$，$a_k>0$，那么$a_{k+1}=a_k^2-a_k=a_k(a_k-1)>0$，因?yàn)?a_k>0$且$a_k-1>0$。由數(shù)學(xué)歸納法可知，數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增數(shù)列。四、解答題11.【答案】$f(x)$在$x=1$處取得極大值$f(1)=2$，在$x=2$處取得極小值$f(2)=1$。【解析】求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x^2-2x+4/3=0$，解得$x=1$或$x=2$。通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化判斷，$x=1$是極大值點(diǎn)，$x=2$是極小值點(diǎn)。12.【答案】由數(shù)學(xué)歸納法可得數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增數(shù)列，公比為$2$?！窘馕觥渴紫?，$a_1=1>0$，假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)$k$，$a_k>0$，那么$a_{k+1}=2a_k+1>0$，因?yàn)?a_k>0$。由數(shù)學(xué)歸納法可知，數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增數(shù)列。又因?yàn)?a_2=2a_1+1=3$，所以公比為$2$。五、解答題13.【答案】$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$，$f(x)$在$x=1$處無(wú)定義，但在$x=1$的左右兩側(cè)單調(diào)遞增?！窘馕觥壳髮?dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$，由于$x\neq1$，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$x=1$的左右兩側(cè)單調(diào)遞增。14.【答案】$a_1=3$，$q=3$。【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_1+a_2+a_3=3a_1q^2=21$，$a_2+a_3+a_4=3a_1q^3=63$。解得$q=3$，$a_1=3$。六、解答題15.【答案】$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，$f(x)$在$x=1$處取得極小值$f(1)=-1$。【解析】求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，令$f'(x)=0$得$x=1$。通過(guò)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化判斷，