2025學(xué)年大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）期中考試：數(shù)學(xué)分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用卷

2025學(xué)年大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）期中考試：數(shù)學(xué)分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）1.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際效用遞減規(guī)律可以用數(shù)學(xué)分析中的哪一個(gè)概念來描述？A.導(dǎo)數(shù)B.級(jí)數(shù)C.微分D.積分2.設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q(p)=10-0.5p，其中p為價(jià)格，則當(dāng)價(jià)格p=8時(shí)，該商品的需求彈性為：A.1B.0.5C.2D.43.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，成本函數(shù)的邊際成本（MC）可以用數(shù)學(xué)分析中的哪一個(gè)概念來表示？A.導(dǎo)數(shù)B.級(jí)數(shù)C.微分D.積分4.設(shè)某函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，求f(x)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)f'(1)。A.-1B.0C.1D.25.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，消費(fèi)者剩余可以用數(shù)學(xué)分析中的哪一個(gè)概念來計(jì)算？A.導(dǎo)數(shù)B.級(jí)數(shù)C.微分D.積分二、多項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）1.下列哪些數(shù)學(xué)分析方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有應(yīng)用？A.微分B.積分C.級(jí)數(shù)D.導(dǎo)數(shù)2.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本（MC）和平均成本（AC）的關(guān)系可以用以下哪些數(shù)學(xué)表達(dá)式表示？A.MC=ACB.MC=2ACC.MC=AC/2D.MC=AC-13.下列哪些數(shù)學(xué)分析方法在消費(fèi)者剩余的計(jì)算中有應(yīng)用？A.導(dǎo)數(shù)B.積分C.級(jí)數(shù)D.微分4.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，下列哪些數(shù)學(xué)分析方法可以用來分析市場(chǎng)均衡？A.導(dǎo)數(shù)B.積分C.級(jí)數(shù)D.微分5.下列哪些數(shù)學(xué)分析方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以用來描述函數(shù)的凹凸性？A.導(dǎo)數(shù)B.積分C.級(jí)數(shù)D.微分三、計(jì)算題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）1.某商品的需求函數(shù)為Q(p)=10-0.5p，求該商品的需求價(jià)格彈性ε(p)的表達(dá)式。2.某商品的成本函數(shù)為C(x)=2x^2+4x+5，求該商品的平均成本函數(shù)AC(x)和邊際成本函數(shù)MC(x)。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）4.設(shè)某商品的收益函數(shù)為R(p)=pQ(p)，其中Q(p)為需求函數(shù)，已知需求函數(shù)Q(p)=10-2p，求收益函數(shù)R(p)和邊際收益函數(shù)MR(p)。五、證明題（本大題共1小題，共10分）5.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上的最大值和最小值至少存在一個(gè)在導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)處取得。六、綜合題（本大題共1小題，共10分）6.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其固定成本為1000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的可變成本為10元。市場(chǎng)需求函數(shù)為Q(p)=50-2p，其中p為產(chǎn)品的價(jià)格。求：（1）該產(chǎn)品的平均成本函數(shù)AC(p)；（2）該工廠的邊際成本函數(shù)MC(p)；（3）該工廠的最小平均成本點(diǎn)；（4）在市場(chǎng)需求函數(shù)Q(p)下，該工廠的最優(yōu)定價(jià)策略。本次試卷答案如下：一、單項(xiàng)選擇題1.A。邊際效用遞減規(guī)律描述了消費(fèi)者在消費(fèi)過程中，隨著消費(fèi)量的增加，每增加一單位商品所帶來的滿足程度逐漸減少，這可以用導(dǎo)數(shù)來描述，即邊際效用隨著商品數(shù)量的增加而減少。2.D。需求彈性是衡量?jī)r(jià)格變動(dòng)對(duì)需求量變動(dòng)敏感程度的一個(gè)指標(biāo)。需求函數(shù)Q(p)=10-0.5p表示價(jià)格每增加1元，需求量減少0.5個(gè)單位。需求彈性ε(p)=(ΔQ/Δp)*(p/Q)=(-0.5/1)*(8/6)=4/3。3.A。邊際成本是成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它表示生產(chǎn)一單位產(chǎn)品所增加的成本。4.C。求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3，將x=1代入得f'(1)=3*1^2-3=0。5.D。消費(fèi)者剩余是消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格與實(shí)際支付價(jià)格之間的差額，可以用積分來計(jì)算。二、多項(xiàng)選擇題1.A、B、C、D。微分、積分、級(jí)數(shù)和導(dǎo)數(shù)都在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。2.A、B、C。邊際成本MC可以等于平均成本AC，也可以大于或小于AC。3.A、B、C、D。消費(fèi)者剩余的計(jì)算涉及到積分，而導(dǎo)數(shù)和微分可以幫助我們理解價(jià)格變化對(duì)消費(fèi)者剩余的影響。4.A、B、C、D。導(dǎo)數(shù)和積分可以用來分析市場(chǎng)均衡，如計(jì)算供給和需求曲線的斜率。5.A、B、C、D。凹凸性可以通過導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來判斷，導(dǎo)數(shù)和微分用于計(jì)算函數(shù)的變化率。三、計(jì)算題1.ε(p)=(ΔQ/Δp)*(p/Q)=(-0.5/1)*(p/(10-0.5p))=-0.5p/(10-0.5p)。2.AC(x)=C(x)/x=(2x^2+4x+5)/x=2x+4+5/x，MC(x)=dC(x)/dx=4x+4。四、應(yīng)用題4.收益函數(shù)R(p)=pQ(p)=p(10-2p)=10p-2p^2，邊際收益函數(shù)MR(p)=dR(p)/dp=10-4p。五、證明題5.證明：根據(jù)羅爾定理，如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在至少一個(gè)c∈(a,b)，使得f'(c)=0。假設(shè)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值不在導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)處取得，即f'(x)≠0對(duì)所有的x∈(a,b)成立。由于f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，根據(jù)中值定理，對(duì)于任意的x∈(a,b)，存在一個(gè)點(diǎn)ξ∈(x,c)或(c,x)，使得f'(ξ)=(f(x)-f(c))/(x-c)。由于f'(x)≠0，因此f'(ξ)≠0，這與羅爾定理矛盾，因此原命題成立。六、綜合題6.（1）AC(p)=(C(x)/x)=(2x^2+4x+5)/x=2x+4+5/x。（2）MC(p)=dC(x)/dx=4x+4。（3）為了找到最小平均成本點(diǎn)，我們需要找到AC(p)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，即dAC(p)/dp=0。由于AC(p)=2x+4+5/x，dAC(p)/dp=2-5/x^2。令2-5/x^2=0，解得x^2=5/2，x=√(5/2)。將x=√(5