2025年中考數(shù)學(xué)模擬試題（七）：類比思想在幾何問(wèn)題解決中的應(yīng)用試卷

2025年中考數(shù)學(xué)模擬試題（七）：類比思想在幾何問(wèn)題解決中的應(yīng)用試卷一、選擇題要求：在下列各題中，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在下列各組圖形中，能用類比思想證明全等的是（）A.兩個(gè)等腰三角形，底邊相等，腰長(zhǎng)也相等B.兩個(gè)直角三角形，一個(gè)銳角相等，斜邊相等C.兩個(gè)等邊三角形，邊長(zhǎng)相等D.兩個(gè)等腰三角形，頂角相等，腰長(zhǎng)也相等2.下列各題中，能用類比思想解決的是（）A.已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，腰長(zhǎng)為5，求該三角形的面積B.已知直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5，一條直角邊長(zhǎng)為3，求另一條直角邊長(zhǎng)C.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，求該三角形的面積D.已知兩個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)分別為4和6，腰長(zhǎng)分別為5和7，求兩個(gè)三角形的面積比二、填空題要求：在下列各題中，把正確答案填在題中的橫線上。3.若兩個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)相等，腰長(zhǎng)也相等，則這兩個(gè)三角形（）A.必定全等B.必定相似C.必定不相似D.無(wú)法確定4.若兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)分別相等，則這兩個(gè)三角形（）A.必定全等B.必定相似C.必定不相似D.無(wú)法確定三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，AD⊥BC，且BD=CD，求證：三角形ABD≌三角形ACD。（2）已知直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，點(diǎn)D在AC上，AD=BC，求證：三角形ABD≌三角形ACD。6.（1）已知等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為a，求證：三角形ABC的面積是等腰三角形ABD的面積的2倍。（2）已知直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，斜邊長(zhǎng)為c，求證：三角形ABC的面積是等腰三角形ABD的面積的2倍。四、應(yīng)用題要求：結(jié)合所給條件，利用類比思想解決實(shí)際問(wèn)題。7.一個(gè)等腰三角形和一個(gè)直角三角形，它們的底邊和斜邊分別相等，求證：這兩個(gè)三角形的面積之比等于它們的相似比的平方。五、證明題要求：運(yùn)用類比思想，證明以下幾何命題。8.（1）若兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，則這兩個(gè)三角形相似。（2）若兩個(gè)直角三角形的銳角相等，則這兩個(gè)三角形相似。六、拓展題要求：在理解類比思想的基礎(chǔ)上，嘗試解決以下問(wèn)題。9.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)D在邊AB上，AD=BC，點(diǎn)E在邊AC上，AE=AB，求證：三角形AED是等邊三角形。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析思路：等邊三角形的性質(zhì)是三個(gè)邊都相等，因此兩個(gè)等邊三角形如果邊長(zhǎng)相等，則它們必定全等。2.D解析思路：題目要求使用類比思想解決問(wèn)題，選項(xiàng)D中，兩個(gè)等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)分別對(duì)應(yīng)，通過(guò)類比直角三角形的性質(zhì)，可以得出它們的面積比。二、填空題3.A解析思路：等腰三角形的定義是兩腰相等的三角形，如果兩個(gè)等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)都相等，那么根據(jù)全等三角形的判定條件，這兩個(gè)三角形必定全等。4.A解析思路：直角三角形的全等條件之一是斜邊和一條直角邊相等，因此兩個(gè)直角三角形如果斜邊和一條直角邊分別相等，則根據(jù)全等三角形的判定條件，這兩個(gè)三角形必定全等。三、解答題5.（1）證明：由等腰三角形的性質(zhì)，AB=AC，又因?yàn)锳D⊥BC，BD=CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，∠ADB=∠ADC=90°，因此三角形ABD和三角形ACD都有兩個(gè)角相等，且它們共有一條邊AD，根據(jù)角角邊（AAS）全等條件，三角形ABD≌三角形ACD。（2）證明：由直角三角形的性質(zhì)，∠B=90°，∠C=30°，所以∠A=60°。又因?yàn)锳D=BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，三角形ABC是30°-60°-90°三角形，因此AB=2AD，AC=AD。由于∠A=60°，∠B=90°，∠C=30°，三角形ABD和三角形ACD都有兩個(gè)角相等，且它們共有一條邊AD，根據(jù)角角邊（AAS）全等條件，三角形ABD≌三角形ACD。6.（1）證明：等邊三角形ABC的面積S1=（邊長(zhǎng)a×邊長(zhǎng)a×√3）/4。等腰三角形ABD的面積S2=（底邊AD×高h(yuǎn)）/2。由于AB=AC，且AD=BC，所以三角形ABD和三角形ABC是相似的，相似比為1:2，因此高h(yuǎn)也滿足h/2a=1/2，即h=a。所以S2=（底邊AD×高a）/2=（邊長(zhǎng)a×邊長(zhǎng)a×√3）/4，所以S1=2S2。（2）證明：直角三角形ABC的面積S1=（斜邊c×直角邊AB）/2。等腰三角形ABD的面積S2=（底邊AD×高h(yuǎn)）/2。由于∠B=90°，∠C=30°，所以∠A=60°，且AB=AC=2AD。因此S2=（底邊AD×高AD）/2。由于三角形ABC是30°-60°-90°三角形，所以AD=c/2，高h(yuǎn)=AD×√3/2=c/2×√3/2=c√3/4。所以S2=（c/2×c√3/4）/2=c2√3/16。因此S1=2S2。四、應(yīng)用題7.解答：設(shè)等腰三角形ABC和直角三角形DEF的底邊和斜邊分別為a和c，相似比為k，則它們的面積比為k2。由于底邊和斜邊分別相等，所以a=c。因此面積比為k2=12=1，即兩個(gè)三角形的面積之比等于它們的相似比的平方。五、證明題8.（1）證明：設(shè)兩個(gè)等腰三角形ABC和A'B'C'的頂角分別為∠BAC和∠B'A'C'，且∠BAC=∠B'A'C'。由于ABC和A'B'C'都是等腰三角形，所以∠ABC=∠ACB，∠B'A'C'=∠A'C'B'。因此，三角形ABC和三角形A'B'C'都有兩個(gè)角相等，且它們共有一條邊BC（或B'C'），根據(jù)角角邊（AAS）全等條件，三角形ABC≌三角形A'B'C'。（2）證明：設(shè)兩個(gè)直角三角形ABC和A'B'C'的銳角分別為∠BAC和∠B'A'C'，且∠BAC=∠B'A'C'。由于ABC和A'B'C'都是直角三角形，所以∠ABC=90°，∠B'A'C'=90°。因此，三角形ABC和三角形A'B'C'都有兩個(gè)角相等，且它們共有一條邊AC（或A'C'），根據(jù)角角邊（AAS）全等條件，三角形ABC≌三角形A'B'C'。六、拓展題9.解答：由于AD=BC，且AE=AB，所以三角形ABD和三角形ACE的底邊和腰長(zhǎng)分別相等，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形ABD≌三角形ACE。因此，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE。由于∠ADB和∠AEC是三角形ADE的內(nèi)角，所以∠ADE=180°-∠ADB-∠AEC=180°-∠BAD-∠CAE=1