河北承德市雙灤區(qū)圣泉高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月份月考數(shù)學(xué)試卷（解析）

河北承德市雙灤區(qū)圣泉高級中學(xué)2024—2025學(xué)年第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)4月份月考試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給條件表示出、、，再由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到、的關(guān)系，即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，從而，由于是等比數(shù)列，故，顯然且，解得，所以．故選：C．2.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.3.對任意實(shí)數(shù)，有，則的值為（）A. B. C.22 D.30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B．4.中國文字博物館薈萃歷代中國文字樣本精華，用詳盡的資料向世界展示了中華民族一脈相承的文字和輝煌燦爛的文明．該博物館館藏的重要藏品主要分為銅器、碑碣、錢幣、陶器、玉石器、甲骨、竹木、紙質(zhì)、瓷器共九類．小胡同學(xué)去該館任意選取四類重要藏品參觀，則在錢幣、玉石器、甲骨、瓷器這四類中至少參觀其中一類的不同選擇方案的種數(shù)是（）A.224 B.121 C.96 D.84【答案】B【解析】【分析】利用間接法可求得結(jié)果.【詳解】從銅器、碑碣、錢幣、陶器、玉石器、甲骨、竹木、紙質(zhì)、瓷器這九類中任取四類重要藏品參觀，不同的選法種數(shù)為，其中錢幣、玉石器、甲骨、瓷器這四類都不選選法種數(shù)為，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為.故答案為：B.5.已知（其中為自然常數(shù)），則的大小關(guān)系為（）A. B.. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把化為相同的形式，,，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并判斷函數(shù)單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性判斷的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)的形式轉(zhuǎn)化可得，，，從而構(gòu)造函數(shù)，則，，當(dāng)，當(dāng)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，又，，所以，即，，.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過將轉(zhuǎn)化為相同形式，從而構(gòu)造新函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性判斷大小關(guān)系求解.6.已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求解.【詳解】，由條件知當(dāng)時(shí)，，即，令，是減函數(shù)，；故選：D.7.若函數(shù)在區(qū)間(,)內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.[－5,1) B.(－5,1)C.[－2,1) D.(－2,1)【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的極值點(diǎn)，要使函數(shù)在區(qū)(,)內(nèi)存在最小值，只需極小值點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，且在端點(diǎn)處的函數(shù)值不能超過極小值．【詳解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，令，解得或，若函數(shù)在(,)內(nèi)存在最小值，則，得．故選：C8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（）A.e B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，再利用分離參數(shù)法并結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．令，則在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．故選：D.二、多選題（本大題共3小題，共18分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知為等差數(shù)列，滿足，為等比數(shù)列，滿足，，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列的首項(xiàng)為1 B.C. D.數(shù)列的公比為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)得，不確定，故選項(xiàng)A錯誤，B正確；根據(jù)，得，選項(xiàng)C正確；根據(jù)可得選項(xiàng)D正確.【詳解】對于AB,設(shè)數(shù)列的公差為，由得，∴，不確定，故A錯誤，B正確.對于CD，設(shè)數(shù)列的公差為，由，得，∴，∴，故C正確，D正確.故選：BCD.10.現(xiàn)有4個編號為1，2，3，4的盒子和4個編號為1，2，3，4的小球，要求把4個小球全部放進(jìn)盒子中，則（）A.沒有空盒子的方法共有24種B.可以有空盒子的方法共有128種C.恰有1個盒子不放球的方法共有144種D.沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有8種【答案】ACD【解析】【分析】利用全排列計(jì)算判斷A；每個球有4種放法，利用乘法原理計(jì)算判斷B；取1個盒子不放球，再將4個球按分成3組放入3個盒子計(jì)算判斷C；從4個盒4個球中選定一組標(biāo)號相同的球和盒子，另外3個球3個盒子標(biāo)號不能對應(yīng)放，列式計(jì)算判斷D．【詳解】對于A：4個球全放4個盒中，沒有空盒子的放法共種，A正確；對于B：可以有空盒子，有4個球，每個球有4種放法，共種，B錯誤；對于C：恰有1個空盒子，說明另外3個盒子都有球，而球共4個，必然有1個盒子中放了2個球，先將4個盒中選1個作為空盒，再將4個球中選出2個球綁在一起，再排列共種，C正確；對于D：恰有一個小球放入自己編號的盒中，從4個盒4個球中選定一組標(biāo)號相同得球和盒子，另外3個球3個盒標(biāo)號不能對應(yīng)，則共種，故D正確．故選：ACD11.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的極小值為1B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.，使得D.若恒成立，則整數(shù)的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】對二次求導(dǎo)即可求得的單調(diào)性，從而求得極小值，即可判斷選項(xiàng)，由此可知求得的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng),令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可判斷選項(xiàng)，令，利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合選項(xiàng)即可求得，利用恒成立的條件即可求得值.【詳解】選項(xiàng)，，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)的極小值為，故項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)，由選項(xiàng)分析可知恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)，記，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，且，，∴在上存在唯一的，使得，即，故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)，記，則，由選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，①，由選項(xiàng)可知，即，代入①式可得，，可得，所以整數(shù)的最小值為2，故D項(xiàng)正確.故選:.三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】通過參變分離將不等式變形為，進(jìn)而將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得，故而得解.【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以在上恒成立，令，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：.13.的展開式中的系數(shù)為______．【答案】765【解析】【分析】借助二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)，則的展開式中項(xiàng)為：，故展開式中的系數(shù)為765.故答案為：76514.某校開設(shè)美術(shù)、籃球、足球和象棋興趣班，其中美術(shù)興趣班有4個，籃球興趣班有5個，足球興趣班有2個，象棋興趣班有3個.已知該校的學(xué)生小明報(bào)名參加其中的兩種興趣班，且至少參加了一種球類的興趣班，則小明參加興趣班的不同方案有______種.【答案】59【解析】【分析】小明至少參加了一種球類的興趣班，分為小明參加了兩種球類的興趣班和小明參加了一種球類的興趣班兩種情況，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】第一種情況：小明參加了足球興趣班和籃球興趣班，共有種方案.第二種情況：小明只參加了一種球類興趣班，則小明參加的另一種興趣班為美術(shù)或象棋中的一種，共有種方案.故小明參加興趣班的不同方案有種.故答案為：59.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知在的展開式中，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng)；（3）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng).【答案】（1）（2）常數(shù)項(xiàng)為60，為第5項(xiàng)（3）【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)之比列式求解即可；（2）求出展開式的通項(xiàng)，再令的指數(shù)等于零，即可得解；（3）假設(shè)系數(shù)絕對值最大，則它的系數(shù)的絕對值不小于前一項(xiàng)的系數(shù)的絕對值，并且不小于后一項(xiàng)的系數(shù)的絕對值，利用不等式組求解即可.【小問1詳解】依題意可得第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，所以，即，則，或（舍去）；【小問2詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為60，為第5項(xiàng)；【小問3詳解】設(shè)第項(xiàng)系數(shù)絕對值最大，則，，解得，又，，，即展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為.16.設(shè)函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；（3）求在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）；（2）極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；（3），.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可確定單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可確定所求極值點(diǎn)；（3）由（2）可得在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得最值.【小問1詳解】由題意得：，則，又，在處的切線方程為，即；【小問2詳解】令，解得：或，則變化情況如下表：極小值極大值的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；【小問3詳解】由（2）知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，，，，17.已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分區(qū)間討論即可；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值結(jié)合隱零點(diǎn)計(jì)算即可.【小問1詳解】由，在時(shí)，，若，即在區(qū)間上單調(diào)遞增；若，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；若，令，令，可知上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】根據(jù)題意可知恒成立，設(shè)，則，令，則定義域上單調(diào)遞增，易知，即，使得，即時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，所以，即18.已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列前項(xiàng)和為；（3）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；（2）變形得到，裂項(xiàng)相消法求和；（3）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，因?yàn)椋?，，成等比?shù)列，所以，又，解得，，故；【小問2詳解】因?yàn)?，所以；【小?詳解】∵∴①，②，∴①-②得∴.19.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最大值為，最小值是；（2）答案見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定的值，接著分離參數(shù)得在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，令時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，所以在取得極小值，也是最小值，，又.在上的最大值為，最小值是；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】，依題意：，解得：，所以，又對恒成立，即，所以在上恒成立.令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)