浙江省浙南名校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)2024學(xué)年第二學(xué)期浙南名校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.的值A(chǔ). B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：因?yàn)閟in3000=-sin600=-,利用誘導(dǎo)公式可知．選D2.的值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】.故選：B3.若圓臺(tái)的軸截面為底角為60°的等腰梯形，且圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為6，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系以及側(cè)面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)是上下底面圓心，，連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為,在直角三角形中，,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為,

由圓臺(tái)的側(cè)面積公式可得；故選：C.4.已知，m為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則m至少與，中一個(gè)平行B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】A【解析】【分析】由線面，面面間位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由線面平行的性質(zhì)可得若，，則m至少與，中一個(gè)平行，故A正確；對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，則或相交，故D錯(cuò)誤.故選：A5.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式、二倍角公式，計(jì)算求解.【詳解】解法一：因?yàn)?，所?因?yàn)椋?解法二：令，則，，所以.故選：D.6.已知在平行四邊形中，，，且，，則的值為（）A.-3 B.-6 C.-9 D.-12【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形，由向量加法法則和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】在平行四邊形中,，,因?yàn)?，，所以，兩式相減可得，所以.故選：C7.在中，，的角平分線交于點(diǎn)D，的面積是面積的4倍，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用面積之比可得，作邊上高，垂足為，即可求.【詳解】因?yàn)?，即，在中，作邊上高，垂足為，則，故選：A8.水平桌面上放置了4個(gè)完全相同的半徑為1的小球（不疊起），四個(gè)小球的球心構(gòu)成正方形，且相鄰的兩個(gè)小球相切．用一個(gè)半球形容器（容器壁厚度不計(jì)）罩住這四個(gè)小球，則這個(gè)半球形容器表面積（不包含底面圓）的最小值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，畫(huà)出4個(gè)球的外接球的示意圖，根據(jù)圖中的幾何關(guān)系求解.【詳解】

如圖，4個(gè)小球球心構(gòu)成的正方形為，中心為N，由題意，，半球形容器的球心為O，顯然當(dāng)半球形容器與4個(gè)小球都相切時(shí)球O的半徑最小，半球形容器與球的切點(diǎn)為A，連接ON，則小球的半徑，球O的半徑；所以半球形容器表面積（不包含底面圓）的最小值為，故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，，則下列敘述中正確的是（）A.若，則 B.若，則C D.若，則【答案】AB【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)可得AB正確；舉反例或者作差分析可得C錯(cuò)誤；舉例可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，因?yàn)椋瑑蛇呁艘?，不等?hào)的方向不變，得，所以，故A正確；對(duì)于B：因，，所以，所以，，兩邊同乘以并化簡(jiǎn)得，所以，故B正確；對(duì)于C：方法一：若，此時(shí)分母無(wú)意義，不能比較，故C錯(cuò)誤.方法二：時(shí)不等式左邊無(wú)意義，不能比較.當(dāng)時(shí)做如下分析：，符號(hào)不確定，故結(jié)論不確定，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D：若，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若為銳角三角形，則B.若，，有兩解，則C.若，則是的垂心D.若，，為的外心，則的值為【答案】BCD【解析】【分析】舉反例可得A錯(cuò)誤；由正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的值域可得B正確；由向量數(shù)量積為零可得C正確；由數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合向量的加法可得D正確.【詳解】對(duì)于A，若為銳角三角形，設(shè)為等邊三角形，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，由正弦定理，因?yàn)橛袃山?，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以點(diǎn)P是的垂心，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，為的外心，則，設(shè)為中點(diǎn)，則，，同理，又，，所以，故D正確；故選：BCD11.已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），，定義：，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則恒成立B.對(duì)任意，都有恒成立C.存在，有成立D.對(duì)任意，都有恒成立【答案】ABD【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合新定義逐一計(jì)算即可求解.【詳解】對(duì)于A，，則，則，故A正確；對(duì)于B，，，，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，，，，，由絕對(duì)值不等式可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，，，由，，得恒成立，故D正確．故選：ABD．非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，得，故答案為：13.甲船在B島的南偏東方向A處，兩地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同時(shí)乙船自B島出發(fā)向北偏東的方向航行，兩船均以每小時(shí)30千米的速度航行．則兩小時(shí)后，甲、乙兩船的距離為_(kāi)______千米．【答案】【解析】【分析】畫(huà)出簡(jiǎn)圖，由余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)兩小時(shí)后，甲、乙兩船的位置分別為處，由題意可知，所以，由余弦定理可得：，即，所以，故答案為：14.如圖1，“折扇”又名“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點(diǎn)E在弧上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），記在方向上的投影向量為，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由投影向量的計(jì)算公式得到，再由向量數(shù)量積的運(yùn)算率求解即可.【詳解】設(shè)，則，為在方向上的投影向量，所以，所以，由，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，，其中為虛數(shù)單位．（1）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，設(shè)，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義列出關(guān)于方程，求解即可；（2）根據(jù)題意得出復(fù)數(shù)及共軛復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的乘除法計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以有，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，，則，所以，.則.16.已知向量與的夾角為，且，，若，．（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求向量與夾角的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；（2）由可確定時(shí)，得到，再由向量夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】∴∴【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所以向量與夾角的大小為30°．17.如圖，在四棱錐中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，．（1）求證平面；（2）若平面，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，若，，，請(qǐng)?jiān)趫D中作出四棱錐過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的截面（保留作圖痕跡），并求出截面周長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）作圖見(jiàn)解析，周長(zhǎng)為【解析】【分析】（1）證明一：取的中點(diǎn)為Q，連接，，由面面平行的判定定理證明即可；證明二：取的中點(diǎn)為R，過(guò)C作交于G，取中點(diǎn)H，連接，由（2）幾何關(guān)系證明四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判定定理可得；連接交于點(diǎn)O，連接，由面面平行的性質(zhì)定理結(jié)合幾何關(guān)系可求；（3）設(shè)為上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，連接，，，，則四邊形為所求截面，結(jié)合余弦定理計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】證明一：取的中點(diǎn)為Q，連接，，∵，N、Q分別為、的中點(diǎn)；∴，∵平面，∴平面，又∵為的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，∵，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.證明二：取中點(diǎn)為R，過(guò)C作交于G，取中點(diǎn)H，連接，，，則，，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.【小問(wèn)2詳解】連接交于點(diǎn)O，連接．∵平面，平面平面，∴，∴．又，∴，∴．【小問(wèn)3詳解】設(shè)為上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，連接，，，，則四邊形為所求截面．證明過(guò)程如下：∵，∴，∴．又∵，．∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．故V、E、F、B共面，故四邊形為所求截面．∵，，，，，在中，∵1，∴故∴，故，所以截面周長(zhǎng)為．18.已知a，b，c分別為斜三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足.（1）求角A的值；（2）記邊上的高為h，（i）若，求的值；（ii）求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）或；（ii）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角可得：.在中，根據(jù)代入上式化簡(jiǎn)，再利用輔助角公式和角的范圍即可求解；（2）（i）由（1）知.根據(jù)三角形面積公式及余弦定理可求得的值，再利用正弦定理邊化角即可求解；（ⅱ）由三角形面積公式及可得，代入，利用正弦定理邊化角化簡(jiǎn)可得，結(jié)合角的范圍和正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】由及正弦定理可得：.在中，∵，∴，代入上式化簡(jiǎn)可得：.∵，∴，即，∴.又∵，∴，∴或，即或.又為斜三角形知，∴.【小問(wèn)2詳解】（i）由（1）知.∵面積，邊上的高，∴.由余弦定理可知：，即，即，∴或.所以或.（ⅱ）由，得，∴.∵，∴，∴.19.對(duì)集合A，若存在實(shí)數(shù)k，使得對(duì)于，，則稱集合A有下界k，實(shí)數(shù)k的最大值為函數(shù)的下確界，記作．（1）記函數(shù)，的值域?yàn)锽，求；（2）已知函數(shù)（i）記集合，若，求實(shí)數(shù)α的取值范圍；（ii）記集合，，若，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合集合新定義可得；（2）（i）法一：令，分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得；法二：令，再