薛定諤方程與狄拉克方程推導(dǎo)比較

狄拉克方程\o"理論物理"理論物理中，相對(duì)于\o"薛定諤方程"薛定諤方程之于\o"量子力學(xué)"非相對(duì)論量子力學(xué)，狄拉克方程是\o"相對(duì)論量子力學(xué)"相對(duì)論量子力學(xué)的一項(xiàng)描述\o"自旋-1/2"自旋-?粒子的\o"波函數(shù)"波函數(shù)\o"方程"方程，由\o"英國"英國物理學(xué)家\o"保羅·狄拉克"保羅·狄拉克于\o"1928年"1928年建立，不帶矛盾地同時(shí)遵守了\o"狹義相對(duì)論"狹義相對(duì)論與\o"量子力學(xué)"量子力學(xué)兩者的原理，實(shí)則為薛定諤方程的洛倫茲協(xié)變式。這條方程預(yù)言了\o"反粒子"反粒子的存在，隨后\o"1932年"1932年由\o"卡爾·安德森"卡爾·安德森發(fā)現(xiàn)了\o"正電子"正電子(positron)而證實(shí)。狄拉克方程的形式如下：，其中是\o"自旋-1/2"自旋-?粒子的\o"質(zhì)量"質(zhì)量，與分別是\o"空間"空間和\o"時(shí)間"時(shí)間的\o"座標(biāo)"坐標(biāo)。狄拉克的最初推導(dǎo)\o"狄拉克"狄拉克所希望建立的是一個(gè)同時(shí)具有\(zhòng)o"洛倫茲協(xié)變性"洛倫茲協(xié)變性和\o"薛定諤方程"薛定諤方程形式的波方程，并且這個(gè)方程需要確保所導(dǎo)出的\o"概率密度"概率密度為正值，而不是像\o"克萊因-戈?duì)柕欠匠?克萊因-戈?duì)柕欠匠棠菢哟嬖谌狈ξ锢硪饬x的負(fù)值?？紤]薛定諤方程薛定諤方程只包含線性的時(shí)間一階\o"導(dǎo)數(shù)"導(dǎo)數(shù)從而不具有洛倫茲協(xié)變性，因此很自然地想到構(gòu)造一個(gè)具有線性的空間一階導(dǎo)數(shù)的\o"哈密頓量"哈密頓量。這一理由是很合理的，因?yàn)榭臻g一階導(dǎo)數(shù)恰好是\o"動(dòng)量"動(dòng)量。其中的系數(shù)和不能是簡單的常數(shù)，否則即使對(duì)于簡單的空間旋轉(zhuǎn)變換，這個(gè)方程也不是洛倫茲協(xié)變的。因此狄拉克假設(shè)這些系數(shù)都是N×N階\o"矩陣"矩陣以滿足洛倫茲協(xié)變性。如果系數(shù)是矩陣，那么波函數(shù)也不能是簡單的標(biāo)量場，而只能是N×1階列矢量狄拉克把這些列矢量叫做\o"旋量"旋量（Spinor），這些旋量所決定的概率密度總是正值同時(shí)，這些旋量的每一個(gè)標(biāo)量分量需要滿足標(biāo)量場的\o"克萊因-戈?duì)柕欠匠?克萊因-戈?duì)柕欠匠獭１容^兩者可以得出系數(shù)矩陣需要滿足如下關(guān)系:滿足上面條件的系數(shù)矩陣和\o"本征值"本征值只可以取±1，并且要求是無跡的，即矩陣的對(duì)角線元素和為零。這樣，矩陣的階數(shù)N只能為偶數(shù)，即包含有相等數(shù)量的+1和-1。滿足條件的最小偶數(shù)是4而不是2，原因是存在3個(gè)\o"泡利矩陣"泡利矩陣。在不同\o"基(線性代數(shù))"基中這些系數(shù)矩陣有不同形式，最常見的形式為這里即為\o"泡利矩陣"泡利矩陣因此系數(shù)矩陣和可進(jìn)一步寫為按照\o"量子場論"量子場論的習(xí)慣，，狄拉克方程可寫為狄拉克方程的洛倫茲協(xié)變形式定義四個(gè)\o"反對(duì)易"反對(duì)易矩陣γμ,μ=0,1,2,3。其反對(duì)易關(guān)系為，其中ημν是光滑時(shí)空的\o"度規(guī)"度規(guī)。利用上式可證明這里也采取了量子場論的習(xí)慣，。此時(shí)狄拉克方程形式為克萊因-戈?duì)柕欠匠虨?。很多時(shí)候會(huì)用\o"自然單位"自然單位（\o"光速"c=\o"約化普朗克常數(shù)"?=1）寫成由于\o"平面波"平面波為此方程已知的一組解，所以方程形式由它決定：遵從狹義相對(duì)論的能量動(dòng)量關(guān)系式跟薛定諤方式不同，每一個(gè)k在此都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)，只有通過把頻率的正負(fù)部份分開，才能讓方程描述到整個(gè)相對(duì)論形式的\o"波函數(shù)"波函數(shù)。若方程在時(shí)間流逝下不變，則其形式為。相對(duì)論量子力學(xué)下的形式推導(dǎo)自由粒子的薛定諤方程是非相對(duì)論量子力學(xué)的最基本方程：其中是\o"動(dòng)量"動(dòng)量算符。薛定諤方程并非相對(duì)論\o"協(xié)變"協(xié)變的，意味著它不滿足\o"愛因斯坦"愛因斯坦的\o"狹義相對(duì)論"狹義相對(duì)論。利用狹義相對(duì)論中四維動(dòng)量的\o"不變性"不變性導(dǎo)出的相對(duì)論動(dòng)量能量關(guān)系，相對(duì)論能量替換薛定諤方程左邊自由粒子的動(dòng)能，并最終得到它的協(xié)變形式其中\(zhòng)o"達(dá)朗貝爾算符"達(dá)朗貝爾算符從相對(duì)論量子力學(xué)的觀點(diǎn)來看，達(dá)朗貝爾算符的出現(xiàn)意味著克萊因-戈?duì)柕欠匠淌且粋€(gè)量子力學(xué)的波方程。量子場論下的形式推導(dǎo)場論中，對(duì)于\o"自旋"自旋為零的場（\o"標(biāo)量"標(biāo)量場），\o"拉格朗日量"拉格朗日量被寫成這里依照量子場論的習(xí)慣選取了\o"自然單位"自然單位，將光速和普朗克常數(shù)都取作1。代入\o"歐拉-拉格朗日方程"歐拉-拉格朗日方程可直接得到克萊因-戈?duì)柕欠匠?。從量子場論的觀點(diǎn)來看，以上推導(dǎo)過程都在經(jīng)典場論的范圍之內(nèi)，因此克萊因-戈?duì)柕欠匠讨皇且粋€(gè)經(jīng)典場的場方程。自由粒子解相對(duì)論量子力學(xué)中自由粒子只是一個(gè)理想化的概念，但形如克萊因-戈?duì)柕欠匠踢@樣的波方程仍然具有形式上的波包解：其中從克萊因-戈?duì)柕欠匠痰贸龅哪芰縗o"本征值"本征值為因而克萊因-戈?duì)柕欠匠痰慕獍素?fù)能量。同時(shí)，由這個(gè)解導(dǎo)出相應(yīng)的概率密度也不能保證是正值。這兩個(gè)問題使得克萊因-戈?duì)柕欠匠淘诤荛L一段時(shí)間里被認(rèn)為是缺乏物理意義的.\o"英國"英國物理學(xué)家