人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練專題18.34 正方形（知識講解）（附答案）

/專題18.34正方形（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．【要點梳理】要點一、正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.特別說明：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.要點二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2.角——四個角都是直角；3.對角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.特別說明：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.要點三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.要點四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：要點五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.特別說明：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.（1）若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.【典型例題】類型一、正方形??性質(zhì)與判定的理解1．正方形具有而菱形不一定有的性質(zhì)是（

）A．對角線相等 B．對角線互相垂直C．對角相等 D．四條邊相等【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，對各選項逐一判斷即可得答案．解：A．正方形對角線相等，菱形對角線不一定相等，故該選項符合題意；B．正方形對角線互相垂直，菱形對角線也互相垂直，故該選項不符合題意；C．正方形對角相等，菱形對角也相等，故該選項不符合題意；D．正方形四條邊都相等，菱形四條邊也都相等，故該選項不符合題意；故選：A．【點撥】本題主要考查了正方形與菱形的性質(zhì)，正確對圖形的性質(zhì)的理解記憶是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直C．對角線相等 D．對角線相等且互相平分【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：A、對角線互相平分是矩形和正方形都具有的性質(zhì)，不符合題意；B、對角線互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)，符合題意；C、對角線相等是矩形和正方形都具有的性質(zhì)，不符合題意；D、對角線相等且互相平分是矩形和正方形都具有的性質(zhì)，不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的圖形性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．2．下列說法不正確的是（

）A．對角線互相垂直的矩形是正方形 B．對角線相等的菱形是正方形C．有一個角是直角的平行四邊形是正方形 D．鄰邊相等的矩形是正方形【答案】C【分析】根據(jù)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形進行判斷即可．解：A、對角線互相垂直的矩形是正方形，該項說法正確，故選項不符合題意；B、對角線相等的菱形是正方形，該項說法正確，故選項不符合題意；C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，該項說法錯誤，故選項符合題意；D、鄰邊相等的矩形是正方形，該項說法正確，故選項不符合題意．故選∶C【點撥】本題考查了正方形的判定，通過這道題可以掌握正方形和矩形，菱形的關(guān)系，熟練掌握正方形的判定是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】下列是關(guān)于某個四邊形的三個結(jié)論：①它的對角線互相垂直；②它是一個正方形；③它是一個菱形．下列推理過程正確的是（

）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)進行判斷即可．解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；菱形的對角線互相垂直，而對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形；正方形擁有菱形的一切性質(zhì)，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②；故選：A．【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．類型二、正方形??性質(zhì)??求角度??求線段長度??求面積3．如圖，菱形的對角線，相交于點，分別延長，到點，，使，依次連接,,,各點．求證：；若，則當(dāng)°時，四邊形是正方形．【答案】(1)見分析 (2)25【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，證出，由證明即可；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，，，證出，得出四邊形是菱形，證明是等腰直角三角形，得出，，證出四邊形是矩形，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，，，，即，在和中，，；（2）解：若，則當(dāng)時，四邊形是正方形．理由如下：∵四邊形是菱形，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是菱形，，，是等腰直角三角形，，，∴四邊形是矩形，∴四邊形是正方形；故答案為：25．【點撥】本題考查了正方形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在等腰直角三角形ABC中，，AC＝BC＝4，D是AB的中點，E、F分別是AC、BC上的點（點E不與端點A、C重合），且AE＝CF，連接EF并取EF的中點O，連接DO并延長至點G，使GO＝DO，連接DE、DF、GE、GF．求證：四邊形EDFG是正方形；當(dāng)點E在什么位置時，四邊形EDFG的面積最??？并求四邊形EDFG面積的最小值．【答案】(1)見分析 (2)當(dāng)點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，最小值為4【分析】（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、∠ADE=∠CDF，通過角的計算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；（2）過點D作D⊥AC于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．解：（1）證明:連接CD，如圖1所示.∵為等腰直角三角形，，D是AB的中點，∴在和中，∴，∴,∵，∴，∴為等腰直角三角形.∵O為EF的中點，，∴，且，∴四邊形EDFG是正方形;（2）解:過點D作于，如圖2所示.∵為等腰直角三角形，，∴點為AC的中點，，∴(點E與點重合時取等號).∴∴當(dāng)點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．【點撥】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根據(jù)正方形的面積公式找出．【變式2】已知在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC邊上，DE⊥AF于點G．求證：DE＝AF；若點E是AB的中點，AB＝4，求GF的長．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）證明，即可求證；（2）根據(jù)勾股定理可得，從而得到，再由，可得，即可求解．解：（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，點是中點，∴，在中，，∵DE=AF，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、正方形??性質(zhì)??證明??折疊問題??重疊部分4．如圖，正方形中，，點E在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點G，連接、．求證：；說明；求的面積．【答案】(1)見詳解 (2)見詳解 (3)6【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)證明，根據(jù)對折性質(zhì)得到，從而證明，根據(jù)“斜邊，直角邊”即可證明；（2）先求出，進而得到，設(shè)，則，根據(jù)得到，根據(jù)勾股定理得到，解得，從而得到，，根據(jù)，得到，即可證明；（3）根據(jù)，利用三角形面積公式即可求解．解：（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵沿對折至，∴，∴，∴，∵，∴（HL）；（2）證明：∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴．【點撥】本題為四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定等知識，綜合性較強，熟知相關(guān)定理，根據(jù)已知條件靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，四邊形是邊長為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點B落在邊上的點處，點A對應(yīng)點為點，且．求的長；求的面積．【答案】(1)4 (2)21【分析】（1）設(shè)，則，由勾股定理得出，可求出；（2）連接，由于，則，由勾股定理可求得的值，進而可得的面積．解：（1）根據(jù)折疊知，．設(shè)，則．在中，，∴．解得，即的長為4．（2）如圖，連接．因為，所以．設(shè)，則，在中，．在中，．根據(jù)折疊知，，則，即，解得．∴．所以的面積為21．【點撥】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是利用了勾股定理建立方程．5．一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺、做了一個探究活動，將的直角頂點放在的斜邊的中點處，設(shè)．（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為______．（2）將圖1中的繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為______．（3）如果將繼續(xù)繞頂點逆時針旋到如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并加以驗證．【答案】（1），（2），（3），驗證見分析．【分析】（1）如圖（1）中，由題目已知條件可得,，根據(jù)勾股定理即可得到的值，再根據(jù)是的中點，得出，即可求出重疊部分的面積；（2）如圖（2）中，由題意可得，重疊部分是正方形，邊長為，面積為；（3）如圖（3）中，過點M作、的垂線、，垂足為、，求得≌，則陰影部分的面積等于正方形的面積．解：（1）如圖（1）中，∵，，∴，∵是的中點，∴=，∵，∴，∴重疊部分的面積為：（2）如圖（2）中，由題意可得，重疊部分是正方形，∴邊長為：，∴面積為：（3）如圖（4），過點分別作，的垂線、，垂足分別為、，∵是斜邊的中點，，∴，，∴，∵，∵，，∴，在和中，，∴，∴陰影部分的面積等于正方形的面積，∵正方形的面積是，∴陰影部分的面積是．【點撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．舉一反三：【變式】△ABC是一塊含有角的直角三角板，四邊形DEFG是正方形，點D、G分別在AB、AC上，點E、F在BC上，BC＝12，DG＝4．現(xiàn)在將正方形DEFG向右沿BC方向平移，設(shè)水平移動的距離為d，正方形與直角三角板的重疊面積為S．當(dāng)平移的距離d＝時，正方形DEFG恰好完全移出三角板；當(dāng)平移的距離d＝2時，正方形與直角三角板的重疊面積為S＝；當(dāng)平移的距離d＝5時，正方形與直角三角板的重疊面積為S＝；在移動過程中，請你用含有d的代數(shù)式表示重疊面積S，并寫出相應(yīng)d的取值范圍．【答案】(1)8 (2)14； (3)【分析】（1）利用正方形與等腰直角三角形的對稱性求出與的長，從而可得平移距離；（2）當(dāng)時，重疊面積為正方形面積減去平移出去的三角形部分的面積；當(dāng)時，重疊面積為三角形形狀，直接計算即可；（3）當(dāng)時，重疊面積為正方形面積減去平移出去的三角形部分的面積；當(dāng)時，重疊面積為三角形形狀，直接計算即可．（1）解：四邊形是正方形，，由正方形與等腰直角三角形的對稱性可知，，當(dāng)平移的距離時，正方形恰好完全移出三角板．（2）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，．（3）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點撥】本題考查了求正方形重疊部分面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，，是正方形對角線上的兩點，且，連接，，，，求證：四邊形是菱形．【答案】見分析【分析】連接交于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，⊥，證明，得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明；解：連接交于點．四邊形是正方形，，，且⊥．，﹣﹣，即．又，四邊形是平行四邊形．又⊥，平行四邊形是菱形；【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定，掌握正方形的對角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，正方形和正方形有公共頂點D．如圖1，連接和，直接寫出和的數(shù)量及位置關(guān)系；如圖2，連接，M為中點，連接、，探究、的數(shù)量及位置關(guān)系，并說明理由；【答案】(1)，；(2)且，理由見分析【分析】（1）如圖，延長交于，交于Q，證明，可得到和的關(guān)系；（2）延長至H，使，延長交于，再證明，最后由中位線得到結(jié)論；（1）解：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，如圖，延長交于，交于Q，∵，∴，∴，∴且．（2）且，理由如下：延長至點H，使得，連接，延長交于，則，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，而，∴，∴，∵點M，D分別是，的中點，∴，，∴，且．【點撥】本題主要考查了正方形、三角形全等、三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，對于想象能力不太好的同學(xué)，可以先畫出對應(yīng)的圖形，然后根據(jù)圖形特點逐步解題．類型四、正方形??性質(zhì)與判定??添加條件??證明7．如圖，在中，，過點C的直線，D為邊上一點，過點D作，交直線于E，垂足為F，連接、．求證：；當(dāng)D在中點時，四邊形是什么特殊四邊形？請說明你的理由；若D為中點，則當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時，四邊形是正方形？請說明你的理由．【答案】(1)證明見分析 (2)四邊形是菱形，證明見分析 (3)當(dāng)時，四邊形是正方形．證明見分析【分析】（1）根據(jù)，得，結(jié)合得，根據(jù)平行四邊形的判定，得．（2）由題（1）得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，得，可判定四邊形是平行四邊形，又根據(jù)，判定平行四邊形是菱形．（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和，當(dāng)時，得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，得，根據(jù)等角對等邊，得，又根據(jù)正方形的判定，即可判定四邊形是正方形．（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．（2）四邊形是菱形．理由如下：由（1）得，，∵，點為的中點∴，∴，∵∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．（3）當(dāng)時，四邊形是正方形．證明，如下：∵，∴又∵點為的中點∴∴∴又∵四邊形是菱形∴四邊形是正方形．【點撥】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)．舉一反三：【變式】如圖，，是的兩條中位線．我們探究的問題是：這兩條中位線和三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀與原三角形的邊或角有什么關(guān)系？建議按下列步驟探索：圍成的四邊形是否必定是平行四邊形？在什么條件下，圍成的四邊形是菱形？在什么條件下，圍成的四邊形是矩形？你還能發(fā)現(xiàn)其他什么結(jié)論嗎？【答案】(1)是平行四邊形，證明見分析；(2)當(dāng)時，四邊形是菱形；(3)當(dāng)時，四邊形是矩形；(4)當(dāng)且時，四邊形是正方形【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)及平行四邊形的判定證明即可；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可求解；（3）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可求解；（4）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形即可求解．（1）解：是平行四邊形，理由如下：∵，是的兩條中位線，∴，，，∴四邊形是平行四邊形；（2）由（1）得四邊形是平行四邊形，當(dāng)時，，∴四邊形是菱形；（3）由（1）得四邊形是平行四邊形，當(dāng)時，四邊形是矩形；（4）當(dāng)且時，四邊形是正方形．【點撥】題目主要考查平行四邊形、菱形、矩形及正方形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵．8．如圖，在矩形中，分別平分、、、，求證：四邊形是正方形．【答案】見分析【分析】利用矩形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出，進而得出四邊形是矩形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．解：證明；∵在矩形中，分別平分、、、，∴，∴，，∴四邊形是矩形，在和中，，，，∴，∴，∴，即，∴四邊形是正方形．【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在矩形中，是的中點，是上一點，連接分別是的中點，連接．求證：四邊形是平行四邊形．①當(dāng)點P在什么位置時，四邊形是菱形？證明你的結(jié)論．②矩形的邊和滿足什么條件時，①中的菱形是正方形？（直接寫出結(jié)論，不需要說明理由）【答案】(1)見分析 (2)①當(dāng)在的中點時，四邊形是菱形,理由見分析；②時，①中的菱形是正方形【分析】（1）根據(jù)題意可得，是的中位線，繼而即可得證；（2）①當(dāng)在的中點時，四邊形是菱形,連接，證明四邊形是矩形，得出，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形即可得證；②由①可得四邊形是矩形，則點正方形對角線的中點，可得，結(jié)合②的條件即可得證．解：（1）證明：∵分別是的中點，是的中點，∴,∴四邊形是平行四邊形;（2）①當(dāng)在的中點時，四邊形是菱形,證明：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵分別是的中點，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵分別是的中點，∴，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形；②時，①中的菱形是正方形理由：如圖，∵∵，由①可得四邊形是矩形，∵點正方形對角線的中點，∴∵四邊形是菱形；∴四邊形是正方形【點撥】本題考查了中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，正方形的判定，綜合運用各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．類型四、正方形??性質(zhì)與判定??求角度??求線段長??求面積9．已知∶如圖1，點D在外，，，射線與的邊交于點H，，垂足為E，．若，，求的長；求證：；如圖2，若，，點F在線段上，且，點M、N分別是射線、上的動點，在點M、N運動的過程中，請判斷式子的值是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值；若不存在，寫出你的理由．【答案】(1)2；(2)見詳解；(3)存在，的最小值是4；【分析】（1）先證明是直角三角形，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求出的長度；（2）作，證明，再證明四邊形是正方形，進而命題得證；（3）作點E關(guān)于的對稱點V，作點F關(guān)于的對稱點R，連接，交于N，于M，證明是等邊三角形，進一步得出的最小值．（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴；（2）證明：如圖1，作于F，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，∴；（3）解：如圖2，作點E關(guān)于的對稱點V，作點F關(guān)于的對稱點R，連接，交于N，于M，∴，，，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，此時．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”模型及變形模型．舉一反三：【變式】如圖，折疊矩形紙片，使點B落在邊上一點E處，折痕兩端點分別在，上（含端點），且，．設(shè)．當(dāng)?shù)淖钚≈档扔赺_____時，才能使點B落在上一點E處；當(dāng)點F與點C重合時，求的長．當(dāng)時，點F離點B有多遠(yuǎn)？【答案】(1)6 (2) (3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)時，最小，此時四邊形是正方形，從而得到的最小值等于，計算即可．（2）根據(jù)折疊性質(zhì)，勾股定理得，根據(jù)，引入未知數(shù)，建立等式計算即可．（3）過點F作，垂足為H，判定四邊形是矩形，根據(jù)勾股定理，得，計算即可．（1）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)時，最小，因為矩形紙片，所以，所以四邊形是正方形，所以，故答案為：6．（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，因為矩形紙片，，，所以，，，，所以，所以，因為，所以，解得，所以．（3）解：如圖，過點F作，垂足為H，因為矩形紙片，，所以，所以四邊形是矩形，所以，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，設(shè)，則，因為，所以，所以，根據(jù)勾股定理，得，所以，解得，所以點F離點B的距離為：．【點撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定，垂線段最短原理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，，，，且點在內(nèi)部，連接，，的延長交線段于點．求證：；判斷與的位置關(guān)系并證明；連接，若，求四邊形的面積．【答案】(1)見分析 (2)，見分析 (3)1【分析】(1)證出，根據(jù)證明；(2)和交于點，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；(3)過點作于點，，交的延長線于點，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出四邊形為正方形，證明，得出，則可得出答案．解：（1）證明：，，．在和中，，；（2）解：，證明：如圖，和交于點，，，，，，；（3）解：過點作于點，，交的延長線于點，，四邊形為矩形，，，，，，四邊形為正方形，又，，，，，，，，．【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖1，四邊形是邊長為10的正方形，是線段上的任意一點，于點，于點．求證：；如圖2，當(dāng)點是的中點時，求線段的長度；如圖3，在（2）的條件下，連接并取的中點，連接、，求的面積．【答案】(1)證明見分析 (2)2 (3)5【分析】（1）利用同角的余角判斷出∠BAF＝∠ADE，進而判斷出△ABF≌△DAE，即可得出結(jié)論；（2）先利用勾股定理求出AG，再用三角形的面積求出BF，進而利用勾股定理，求出AF，最后借助（1）的結(jié)論，即可求出答案；（3）連接BE，DF，利用面積的和差得出S△OEF＝（S△DEF?S△BEF），最后用面積公式求解，即可求出答案．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AFB＝∠AED＝90°，∴∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝10，

∵點G是BC的中點，∴BG＝BC＝5，根據(jù)勾股定理得，，∴S△ABG＝AB?BG＝AG?BF，∴BF＝，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，，由（1）知，AF＝BF＋EF，∴EF＝AF?BF＝4?2＝2；（3）如圖3，由（2）知，BF＝EF＝2，AF＝4，由（1）知，△ABF≌△DAE，∴DE＝AF＝4，連接BE，DF，∵點O是BD的中點，∴S△BOE＝S△BDE，S△BOF＝S△BDF，∴S△OEF＝S四邊形BEOF?S△BEF＝S△BOE＋S△BOF?S△BEF＝S△BDE＋S△BDF?S△BEF＝（S△BDE＋S△BDF）?S△BEF＝S四邊形BEDF?S△BEF＝（S△BEF＋S△DEF）?S△BEF＝（S△DEF?S△BEF）＝（DE?EF?BF?EF）＝EF（DE?BF）＝×2×（4?2）＝5．即△OEF的面積為5．【點撥】此題