人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練專(zhuān)題18.34 正方形（知識(shí)講解）（附答案）

/專(zhuān)題18.34正方形（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.特別說(shuō)明：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2.角——四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心.特別說(shuō)明：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.要點(diǎn)三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：要點(diǎn)五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.特別說(shuō)明：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.【典型例題】類(lèi)型一、正方形??性質(zhì)與判定的理解1．正方形具有而菱形不一定有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角相等 D．四條邊相等【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得答案．解：A．正方形對(duì)角線相等，菱形對(duì)角線不一定相等，故該選項(xiàng)符合題意；B．正方形對(duì)角線互相垂直，菱形對(duì)角線也互相垂直，故該選項(xiàng)不符合題意；C．正方形對(duì)角相等，菱形對(duì)角也相等，故該選項(xiàng)不符合題意；D．正方形四條邊都相等，菱形四條邊也都相等，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形與菱形的性質(zhì)，正確對(duì)圖形的性質(zhì)的理解記憶是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線相等且互相平分【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：A、對(duì)角線互相平分是矩形和正方形都具有的性質(zhì)，不符合題意；B、對(duì)角線互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)，符合題意；C、對(duì)角線相等是矩形和正方形都具有的性質(zhì)，不符合題意；D、對(duì)角線相等且互相平分是矩形和正方形都具有的性質(zhì)，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的圖形性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．2．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 B．對(duì)角線相等的菱形是正方形C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形 D．鄰邊相等的矩形是正方形【答案】C【分析】根據(jù)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形進(jìn)行判斷即可．解：A、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，該項(xiàng)說(shuō)法正確，故選項(xiàng)不符合題意；B、對(duì)角線相等的菱形是正方形，該項(xiàng)說(shuō)法正確，故選項(xiàng)不符合題意；C、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，該項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故選項(xiàng)符合題意；D、鄰邊相等的矩形是正方形，該項(xiàng)說(shuō)法正確，故選項(xiàng)不符合題意．故選∶C【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的判定，通過(guò)這道題可以掌握正方形和矩形，菱形的關(guān)系，熟練掌握正方形的判定是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：①它的對(duì)角線互相垂直；②它是一個(gè)正方形；③它是一個(gè)菱形．下列推理過(guò)程正確的是（

）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；菱形的對(duì)角線互相垂直，而對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形；正方形擁有菱形的一切性質(zhì)，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②；故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、正方形??性質(zhì)??求角度??求線段長(zhǎng)度??求面積3．如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，分別延長(zhǎng)，到點(diǎn)，，使，依次連接,,,各點(diǎn)．求證：；若，則當(dāng)°時(shí)，四邊形是正方形．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)25【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，證出，由證明即可；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，，，證出，得出四邊形是菱形，證明是等腰直角三角形，得出，，證出四邊形是矩形，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，，，，即，在和中，，；（2）解：若，則當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．理由如下：∵四邊形是菱形，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是菱形，，，是等腰直角三角形，，，∴四邊形是矩形，∴四邊形是正方形；故答案為：25．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在等腰直角三角形ABC中，，AC＝BC＝4，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A、C重合），且AE＝CF，連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使GO＝DO，連接DE、DF、GE、GF．求證：四邊形EDFG是正方形；當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最?。坎⑶笏倪呅蜤DFG面積的最小值．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，最小值為4【分析】（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、∠ADE=∠CDF，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；（2）過(guò)點(diǎn)D作D⊥AC于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長(zhǎng)度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．解：（1）證明:連接CD，如圖1所示.∵為等腰直角三角形，，D是AB的中點(diǎn)，∴在和中，∴，∴,∵，∴，∴為等腰直角三角形.∵O為EF的中點(diǎn)，，∴，且，∴四邊形EDFG是正方形;（2）解:過(guò)點(diǎn)D作于，如圖2所示.∵為等腰直角三角形，，∴點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，，∴(點(diǎn)E與點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)).∴∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根據(jù)正方形的面積公式找出．【變式2】已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，DE⊥AF于點(diǎn)G．求證：DE＝AF；若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB＝4，求GF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)【分析】（1）證明，即可求證；（2）根據(jù)勾股定理可得，從而得到，再由，可得，即可求解．解：（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，在中，，∵DE=AF，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、正方形??性質(zhì)??證明??折疊問(wèn)題??重疊部分4．如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且．將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G，連接、．求證：；說(shuō)明；求的面積．【答案】(1)見(jiàn)詳解 (2)見(jiàn)詳解 (3)6【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)證明，根據(jù)對(duì)折性質(zhì)得到，從而證明，根據(jù)“斜邊，直角邊”即可證明；（2）先求出，進(jìn)而得到，設(shè)，則，根據(jù)得到，根據(jù)勾股定理得到，解得，從而得到，，根據(jù)，得到，即可證明；（3）根據(jù)，利用三角形面積公式即可求解．解：（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵沿對(duì)折至，∴，∴，∴，∵，∴（HL）；（2）證明：∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴．【點(diǎn)撥】本題為四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟知相關(guān)定理，根據(jù)已知條件靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，且．求的長(zhǎng)；求的面積．【答案】(1)4 (2)21【分析】（1）設(shè)，則，由勾股定理得出，可求出；（2）連接，由于，則，由勾股定理可求得的值，進(jìn)而可得的面積．解：（1）根據(jù)折疊知，．設(shè)，則．在中，，∴．解得，即的長(zhǎng)為4．（2）如圖，連接．因?yàn)?，所以．設(shè)，則，在中，．在中，．根據(jù)折疊知，，則，即，解得．∴．所以的面積為21．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是利用了勾股定理建立方程．5．一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺、做了一個(gè)探究活動(dòng)，將的直角頂點(diǎn)放在的斜邊的中點(diǎn)處，設(shè)．（1）如圖1，兩個(gè)三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為_(kāi)_____．（2）將圖1中的繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖2，此時(shí)重疊部分的面積為_(kāi)_____．（3）如果將繼續(xù)繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋到如圖3所示，猜想此時(shí)重疊部分的面積為多少？并加以驗(yàn)證．【答案】（1），（2），（3），驗(yàn)證見(jiàn)分析．【分析】（1）如圖（1）中，由題目已知條件可得,，根據(jù)勾股定理即可得到的值，再根據(jù)是的中點(diǎn)，得出，即可求出重疊部分的面積；（2）如圖（2）中，由題意可得，重疊部分是正方形，邊長(zhǎng)為，面積為；（3）如圖（3）中，過(guò)點(diǎn)M作、的垂線、，垂足為、，求得≌，則陰影部分的面積等于正方形的面積．解：（1）如圖（1）中，∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴=，∵，∴，∴重疊部分的面積為：（2）如圖（2）中，由題意可得，重疊部分是正方形，∴邊長(zhǎng)為：，∴面積為：（3）如圖（4），過(guò)點(diǎn)分別作，的垂線、，垂足分別為、，∵是斜邊的中點(diǎn)，，∴，，∴，∵，∵，，∴，在和中，，∴，∴陰影部分的面積等于正方形的面積，∵正方形的面積是，∴陰影部分的面積是．【點(diǎn)撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．舉一反三：【變式】△ABC是一塊含有角的直角三角板，四邊形DEFG是正方形，點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，點(diǎn)E、F在BC上，BC＝12，DG＝4．現(xiàn)在將正方形DEFG向右沿BC方向平移，設(shè)水平移動(dòng)的距離為d，正方形與直角三角板的重疊面積為S．當(dāng)平移的距離d＝時(shí)，正方形DEFG恰好完全移出三角板；當(dāng)平移的距離d＝2時(shí)，正方形與直角三角板的重疊面積為S＝；當(dāng)平移的距離d＝5時(shí)，正方形與直角三角板的重疊面積為S＝；在移動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)你用含有d的代數(shù)式表示重疊面積S，并寫(xiě)出相應(yīng)d的取值范圍．【答案】(1)8 (2)14； (3)【分析】（1）利用正方形與等腰直角三角形的對(duì)稱(chēng)性求出與的長(zhǎng)，從而可得平移距離；（2）當(dāng)時(shí)，重疊面積為正方形面積減去平移出去的三角形部分的面積；當(dāng)時(shí)，重疊面積為三角形形狀，直接計(jì)算即可；（3）當(dāng)時(shí)，重疊面積為正方形面積減去平移出去的三角形部分的面積；當(dāng)時(shí)，重疊面積為三角形形狀，直接計(jì)算即可．（1）解：四邊形是正方形，，由正方形與等腰直角三角形的對(duì)稱(chēng)性可知，，當(dāng)平移的距離時(shí)，正方形恰好完全移出三角板．（2）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)撥】本題考查了求正方形重疊部分面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，，是正方形對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且，連接，，，，求證：四邊形是菱形．【答案】見(jiàn)分析【分析】連接交于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，⊥，證明，得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明；解：連接交于點(diǎn)．四邊形是正方形，，，且⊥．，﹣﹣，即．又，四邊形是平行四邊形．又⊥，平行四邊形是菱形；【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定，掌握正方形的對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，正方形和正方形有公共頂點(diǎn)D．如圖1，連接和，直接寫(xiě)出和的數(shù)量及位置關(guān)系；如圖2，連接，M為中點(diǎn)，連接、，探究、的數(shù)量及位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【答案】(1)，；(2)且，理由見(jiàn)分析【分析】（1）如圖，延長(zhǎng)交于，交于Q，證明，可得到和的關(guān)系；（2）延長(zhǎng)至H，使，延長(zhǎng)交于，再證明，最后由中位線得到結(jié)論；（1）解：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，如圖，延長(zhǎng)交于，交于Q，∵，∴，∴，∴且．（2）且，理由如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使得，連接，延長(zhǎng)交于，則，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，而，∴，∴，∵點(diǎn)M，D分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴，且．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形、三角形全等、三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)于想象能力不太好的同學(xué)，可以先畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，然后根據(jù)圖形特點(diǎn)逐步解題．類(lèi)型四、正方形??性質(zhì)與判定??添加條件??證明7．如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)C的直線，D為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交直線于E，垂足為F，連接、．求證：；當(dāng)D在中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；若D為中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【答案】(1)證明見(jiàn)分析 (2)四邊形是菱形，證明見(jiàn)分析 (3)當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．證明見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)，得，結(jié)合得，根據(jù)平行四邊形的判定，得．（2）由題（1）得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，得，可判定四邊形是平行四邊形，又根據(jù)，判定平行四邊形是菱形．（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和，當(dāng)時(shí)，得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，得，根據(jù)等角對(duì)等邊，得，又根據(jù)正方形的判定，即可判定四邊形是正方形．（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．（2）四邊形是菱形．理由如下：由（1）得，，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)∴，∴，∵∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．（3）當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．證明，如下：∵，∴又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)∴∴∴又∵四邊形是菱形∴四邊形是正方形．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)．舉一反三：【變式】如圖，，是的兩條中位線．我們探究的問(wèn)題是：這兩條中位線和三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀與原三角形的邊或角有什么關(guān)系？建議按下列步驟探索：圍成的四邊形是否必定是平行四邊形？在什么條件下，圍成的四邊形是菱形？在什么條件下，圍成的四邊形是矩形？你還能發(fā)現(xiàn)其他什么結(jié)論嗎？【答案】(1)是平行四邊形，證明見(jiàn)分析；(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；(3)當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形；(4)當(dāng)且時(shí)，四邊形是正方形【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)及平行四邊形的判定證明即可；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可求解；（3）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可求解；（4）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形即可求解．（1）解：是平行四邊形，理由如下：∵，是的兩條中位線，∴，，，∴四邊形是平行四邊形；（2）由（1）得四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，，∴四邊形是菱形；（3）由（1）得四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形；（4）當(dāng)且時(shí)，四邊形是正方形．【點(diǎn)撥】題目主要考查平行四邊形、菱形、矩形及正方形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵．8．如圖，在矩形中，分別平分、、、，求證：四邊形是正方形．【答案】見(jiàn)分析【分析】利用矩形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出四邊形是矩形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．解：證明；∵在矩形中，分別平分、、、，∴，∴，，∴四邊形是矩形，在和中，，，，∴，∴，∴，即，∴四邊形是正方形．【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別是的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形是平行四邊形．①當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，四邊形是菱形？證明你的結(jié)論．②矩形的邊和滿足什么條件時(shí)，①中的菱形是正方形？（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要說(shuō)明理由）【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)①當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形,理由見(jiàn)分析；②時(shí)，①中的菱形是正方形【分析】（1）根據(jù)題意可得，是的中位線，繼而即可得證；（2）①當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形,連接，證明四邊形是矩形，得出，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形即可得證；②由①可得四邊形是矩形，則點(diǎn)正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，可得，結(jié)合②的條件即可得證．解：（1）證明：∵分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴,∴四邊形是平行四邊形;（2）①當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形,證明：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵分別是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵分別是的中點(diǎn)，∴，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形；②時(shí)，①中的菱形是正方形理由：如圖，∵∵，由①可得四邊形是矩形，∵點(diǎn)正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，∴∵四邊形是菱形；∴四邊形是正方形【點(diǎn)撥】本題考查了中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，正方形的判定，綜合運(yùn)用各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．類(lèi)型四、正方形??性質(zhì)與判定??求角度??求線段長(zhǎng)??求面積9．已知∶如圖1，點(diǎn)D在外，，，射線與的邊交于點(diǎn)H，，垂足為E，．若，，求的長(zhǎng)；求證：；如圖2，若，，點(diǎn)F在線段上，且，點(diǎn)M、N分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷式子的值是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，寫(xiě)出你的理由．【答案】(1)2；(2)見(jiàn)詳解；(3)存在，的最小值是4；【分析】（1）先證明是直角三角形，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求出的長(zhǎng)度；（2）作，證明，再證明四邊形是正方形，進(jìn)而命題得證；（3）作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)V，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R，連接，交于N，于M，證明是等邊三角形，進(jìn)一步得出的最小值．（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴；（2）證明：如圖1，作于F，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，∴；（3）解：如圖2，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)V，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R，連接，交于N，于M，∴，，，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，此時(shí)．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”模型及變形模型．舉一反三：【變式】如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)B落在邊上一點(diǎn)E處，折痕兩端點(diǎn)分別在，上（含端點(diǎn)），且，．設(shè)．當(dāng)?shù)淖钚≈档扔赺_____時(shí)，才能使點(diǎn)B落在上一點(diǎn)E處；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求的長(zhǎng)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F離點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？【答案】(1)6 (2) (3)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)四邊形是正方形，從而得到的最小值等于，計(jì)算即可．（2）根據(jù)折疊性質(zhì)，勾股定理得，根據(jù)，引入未知數(shù)，建立等式計(jì)算即可．（3）過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，判定四邊形是矩形，根據(jù)勾股定理，得，計(jì)算即可．（1）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)時(shí)，最小，因?yàn)榫匦渭埰?，所以，所以四邊形是正方形，所以，故答案為?．（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，因?yàn)榫匦渭埰?，，所以，，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以．?）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，因?yàn)榫匦渭埰?，，所以，所以四邊形是矩形，所以，根?jù)折疊的性質(zhì)，得，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，根?jù)勾股定理，得，所以，解得，所以點(diǎn)F離點(diǎn)B的距離為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定，垂線段最短原理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，，，，且點(diǎn)在內(nèi)部，連接，，的延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．求證：；判斷與的位置關(guān)系并證明；連接，若，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)分析 (2)，見(jiàn)分析 (3)1【分析】(1)證出，根據(jù)證明；(2)和交于點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；(3)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出四邊形為正方形，證明，得出，則可得出答案．解：（1）證明：，，．在和中，，；（2）解：，證明：如圖，和交于點(diǎn)，，，，，，；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，四邊形為矩形，，，，，，四邊形為正方形，又，，，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖1，四邊形是邊長(zhǎng)為10的正方形，是線段上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：；如圖2，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；如圖3，在（2）的條件下，連接并取的中點(diǎn)，連接、，求的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)分析 (2)2 (3)5【分析】（1）利用同角的余角判斷出∠BAF＝∠ADE，進(jìn)而判斷出△ABF≌△DAE，即可得出結(jié)論；（2）先利用勾股定理求出AG，再用三角形的面積求出BF，進(jìn)而利用勾股定理，求出AF，最后借助（1）的結(jié)論，即可求出答案；（3）連接BE，DF，利用面積的和差得出S△OEF＝（S△DEF?S△BEF），最后用面積公式求解，即可求出答案．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AFB＝∠AED＝90°，∴∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝10，

∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴BG＝BC＝5，根據(jù)勾股定理得，，∴S△ABG＝AB?BG＝AG?BF，∴BF＝，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，，由（1）知，AF＝BF＋EF，∴EF＝AF?BF＝4?2＝2；（3）如圖3，由（2）知，BF＝EF＝2，AF＝4，由（1）知，△ABF≌△DAE，∴DE＝AF＝4，連接BE，DF，∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴S△BOE＝S△BDE，S△BOF＝S△BDF，∴S△OEF＝S四邊形BEOF?S△BEF＝S△BOE＋S△BOF?S△BEF＝S△BDE＋S△BDF?S△BEF＝（S△BDE＋S△BDF）?S△BEF＝S四邊形BEDF?S△BEF＝（S△BEF＋S△DEF）?S△BEF＝（S△DEF?S△BEF）＝（DE?EF?BF?EF）＝EF（DE?BF）＝×2×（4?2）＝5．即△OEF的面積為5．【點(diǎn)撥】此題