人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練專題18.33 菱形（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）（附答案）

/專題18.33菱形（培優(yōu)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．菱形的周長是它的高的4倍，則菱形中較大的一個角是()A．100° B．120° C．135° D．150°2．如圖，在菱形中，點為邊的中點，與對角線交于點，過點作于點，若，且，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖，在菱形中，分別以、為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點、，連接，若直線恰好過點與邊交于點，連接，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．若，則C． D．4．如圖，在菱形中，，點，分別在邊，上，，的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．5．如圖，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它們的面積分別為9cm2和64cm2，CD落在EF上，若△BCF的面積為4cm2，則△BDH的面積是（

）A．8cm2 B．8.5cm2 C．9cm2 D．9.5cm26．如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，且，．下列四種說法：①四邊形是平行四邊形；②如果，那么四邊形是矩形；③如果平分，那么四邊形是菱形；④如果，且，那么四邊形是菱形．其中，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．如圖：點E、F為線段BD的兩個三等分點，四邊形AECF是菱形，且菱形AECF的周長為20，BD為24，則四邊形ABCD的面積為（

）A．24 B．36 C．72 D．1448．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF，若AB=3，則菱形AECF的面積為（）A．1 B．2 C．2 D．49．如下圖，在菱形中，，，過菱形的對稱中心分別作邊，的垂線，交各邊于點，，，，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．10．如圖，菱形中，與交于點O，，E為延長線上一點，使得，連接，分別交、于點F、G，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③四邊形與四邊形的面積相等；④由點、、、構(gòu)成的四邊形是菱形．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題11．如圖，在菱形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，于點P，則__________．12．如圖，在菱形ABCD中，連接BD，點E在AB上，連接CE交BD于點F，作FG⊥BC于點G，∠BEC＝3∠BCE，BF＝DF，若FG＝，則AB的長為_____．13．如圖，四邊形ABCD是菱形，，M是BC邊上的動點，AM交對角線BD于點N．當(dāng)線段AM最短時，NM＝1，此時點N到CD所在直線的距離是______．14．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，點E在邊AB上，將△BCE沿CE折疊．若點B的對應(yīng)點B′落在AD邊所在的直線上，則BE的長為________．15．如圖，在菱形中，，在上，將沿翻折至，且剛好過的中點，則_________．16．如圖，菱形ABCD，，點E為垂足，點F為AE的中點，連接BF并延長交AD于點G，連接CG，，則AF的長為__________．17．如圖，，點為∠AOB的角平分線上一點，的垂直平分線交，分別于點，，點為上異于點的一點，且，則的面積為_____．18．如圖，在菱形中，，，點為線段上一動點，過點作交于點，沿將折疊，點的對稱點為點，連接、、，當(dāng)為等腰三角形時，的長為______．三、解答題19．如圖，在中，以點為圓心，長為半徑畫弧交于點；再分別以點B、F為圓心，大于的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點；連接并延長交于點，連接．(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證四邊形是菱形；(2)若菱形的周長為16，，求的長．20．如圖，已知菱形，點是線段上的動點，以為邊向右側(cè)作等邊，連結(jié)．求證：；設(shè)，求證：；設(shè)，當(dāng)時，求的長（用含的代數(shù)式表示） 21．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，，G，H分別是AD，BC邊上的點，且AG=CH，E，O，F(xiàn)分別是對角線BD上的四等分點，順次連接G，E，H，F(xiàn)，G．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形；(2)填空：①當(dāng)AG=時，四邊形GEHF是矩形；②當(dāng)AG=時，四邊形GEHF是菱形；(3)求四邊形GEHF的周長的最小值．22．如圖，已知菱形ABCD，∠ABC＝60°，點P是射線BD上的動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，連接PC．(1)如圖1，點P在線段BD上，求證：PC＝PE．(2)如圖2，當(dāng)C，P，E三點共線時，連接DE，求證：四邊形APDE是菱形．(3)當(dāng)CP⊥PE時，求的值．23．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=BC=6cm，∠ADC=60°，點E從點D出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線DA運動，同時點F從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AB運動，連接CE、CF和EF，設(shè)運動時間為t(s)．(1)當(dāng)t=3s時，連接AC與EF交于點G，如圖①所示，則EF=________；(2)當(dāng)E、F分別在線段AD和AB上時，如圖②所示，①求證：△CEF是等邊三角形；②連接BD交CE于點G，若BG=BC，求EF的長和此時的t值．(3)當(dāng)E、F分別運動到DA和AB的延長線上時，如圖③所示，若EF=3cm，直接寫出此時t的值．24．在菱形中，，是直線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊（，，按逆時針排列），點的位置隨點的位置變化而變化．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上，且點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點在線段上，且點在菱形外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)點在直線上時，其他條件不變，連接，若，，請直接寫出的面積．參考答案1．C解：根據(jù)菱形周長等于它高的4倍,則邊長等于它高的倍.因此若作出此菱形的一條高，所得的三角形為等腰直角三角形.所以它的兩個角分別為45°和135°.故答案為C.2．D【分析】A、由四邊形ABCD是菱形，得出對角線平分對角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS證得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A正確；B、由DF⊥AB，F(xiàn)為邊AB的中點，證得AD=BD，證出△ABD為等邊三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由,求出AC，AG，即可得出B正確；C、由勾股定理求出，由GE=tan∠2·ED求出GE，即可得出C正確；D、四邊形BFGC的面積=△ABC的面積-△AGF的面積,可以發(fā)現(xiàn)D不對.解：解:∵四邊形是菱形，，，，，，.，垂直平分..點為的中點，.易證..故A正確.，點為的中點，，.，為等邊三角形...，..，故B正確.垂直平分，，，..故C正確.，的邊上的高等于的一半，即為，，，故D不正確.【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度.3．B【分析】利用菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識逐項判斷即可．解：由作法得MN垂直平分CD，∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC=AD，∴AB=BC=AC，∴ΔABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°∴∠BCD=120°，即A選項的結(jié)論正確，不符合題意；當(dāng)AB=3，則CE=DE=，∵∠D=60°，∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°在Rt△ABE中，BE=，所以B選項的結(jié)論錯誤，符合題意；∵菱形ABCD∴.BC=CD=2CE，即，所以C選項的結(jié)論正確，不符合題意；∵ABCD，AB=2DE，∴，所以D選項的結(jié)論正確，不符合題意．故選：B．【點撥】本題主要考作已知線段的垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識點，靈活運用菱形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．C【分析】連接BD，證△DBE≌△DCF（SAS），得DE=DF，∠EDB=∠FDC，再證△DEF是等邊三角形，得DE=DF=EF，過點D作DM⊥AB于M，設(shè)AD=x（x＞0），則AM=x，DM=x，ME=AE-AM=2x，然后在Rt△DME中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，∠C=∠A=60°，AD∥BC，∴△BCD是等邊三角形，∠ABC=180°-∠A=120°，∴∠BDC=∠DBC=60°，BD=CD，∴∠DBE=∠ABC-∠DBC=60°，∴∠DBE=∠C，∵AE=BF=2，∴AB-AE=BC-BF，即BE=CF，在△DBE和△DCF中，，∴△DBE≌△DCF（SAS），∴DE=DF，∠EDB=∠FDC，∴∠EDB+∠BDF=∠FDC+∠BDF=∠BDC=60°，∴△DEF是等邊三角形，∴DE=DF=EF，∵△DEF的周長為，∴DE=，過點D作DM⊥AB于M，設(shè)AD=x（x＞0），則AM=x，DM=AD?sin60°=x，∴ME=AE-AM=2x，在Rt△DME中，由勾股定理得：（）2+（2x）2=（）2，整理得：x2-2x-2=0，解得：x=1+或x=1（舍去），∴AD=+1，故選：C．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】先連接FH，求出，再將求的面積轉(zhuǎn)化為求的面積即可．解：如圖，連接FH，∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，∴，∴，∴，∴和同底等高，∴，∵菱形ABCD面積為9cm2，△BCF的面積為4cm2，∴（cm2），∴（cm2）．故選：B．【點撥】本題考查了菱形性質(zhì)及其應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用同底等高將求的面積轉(zhuǎn)化為求的面積，考查了學(xué)生的分析和推理的能力，運用了轉(zhuǎn)化的思想方法．6．D【分析】先由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，根據(jù)DECA，DFBA，得出AEDF為平行四邊形，得出①正確；當(dāng)∠BAC＝90°，根據(jù)推出的平行四邊形AEDF，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若AD平分∠BAC，得到一對角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等又得到一對角相等，等量代換可得∠EAD＝∠EDA，利用等角對等邊可得一組鄰邊相等，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由AB＝AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC，同理可得四邊形AEDF是菱形，④正確，進(jìn)而得到正確說法的個數(shù)．解：∵DECA，DFBA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，選項①正確；若∠BAC＝90°，∴平行四邊形AEDF為矩形，選項②正確；若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又DECA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四邊形AEDF為菱形，選項③正確；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四邊形AEDF為菱形，選項④正確，則其中正確的個數(shù)有4個．故選：D【點撥】此題考查了平行四邊形的定義，菱形、矩形的判定，涉及的知識有：平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形、矩形及菱形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，證明四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長AE，根據(jù)菱形的對角線互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根據(jù)四邊形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．解：如圖，連接AC交BD于點O，∵四邊形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，又∵點E、F為線段BD的兩個三等分點，∴BE＝FD，∴BO＝OD，∵AO＝OC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形；∵四邊形AECF為菱形，且周長為20，∴AE＝5，∵BD＝24，點E、F為線段BD的兩個三等分點，∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，由勾股定理得，AO＝＝＝3，∴AC＝2AO＝2×3＝6，∴S四邊形ABCD＝BD?AC＝×24×6＝72；故選：C．【點撥】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理以及利用菱形對角線求面積的方法，熟記菱形的性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通過折疊的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形勾股定理求得BC的長，則利用菱形的面積公式即可求解．解：∵四邊形AECF是菱形，AB=3，∴假設(shè)BE=x，則AE=3﹣x，CE=3﹣x，∵四邊形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=3﹣x，解得：x=1，∴CE=2，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===，又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，則菱形的面積=2．故選C．【點撥】本題考查折疊問題以及勾股定理．解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．9．A【分析】先證明是等邊三角形，求出EF，同理可證都是等邊三角形，然后求出EH，GF，F(xiàn)G即可．解：如圖，連接BD，AC，∵四邊形ABCD是菱形，，∴，，∴，∴，∵，∴，在中，，，∵在和中，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，同法可證，都是等邊三角形，∴，，∴四邊形EFGH的周長為．故選：A．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．10．A【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及，并結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，最后利用平行線的性質(zhì)可得，故結(jié)論①正確；由菱形的性質(zhì)可得，再證明，得到，最后利用中位線定理可得，故結(jié)論②正確；根據(jù)可得，再根據(jù)可得，所以四邊形與四邊形面積相等，故結(jié)論③正確；先證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，得到，最后利用菱形的判定可證明四邊形是菱形，故結(jié)論④正確．解：∵四邊形是菱形，∴，，，，，∴，∴，∴，∴，故結(jié)論①正確；∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴是的中位線，∴，故結(jié)論②正確；∵，，∴，，∴四邊形與四邊形面積相等，故結(jié)論③正確；∵，∴，又∵，即，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是菱形，故結(jié)論④正確．故選：A．【點撥】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識．熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)題意延長EF交DC的延長線于H點．證明△BEF≌△CHF，得EF=FH．在Rt△PEH中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得∠FPC=∠FHP=∠BEF．在等腰△BEF中易求∠BEF的度數(shù)．解：延長EF交DC的延長線于H點．∵在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，∴∠B=80°，BE=BF．∴∠BEF=（180°-80°）÷2=50°．∵AB∥DC，∴∠FHC=∠BEF=50°．又∵BF=FC，∠BFE=∠CFH，∠B=∠FCH，∴△BEF≌△CHF(AAS)．∴EF=FH．∵EP⊥DC，∴∠EPH=90°．∴EF=FP=FH，則∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°．故答案為：50°．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識點，綜合性較強．如何作出輔助線是難點．12．【分析】連接AC交BD于M，設(shè)BF＝5a，根據(jù)菱形的性質(zhì)及∠BEC＝3∠BCE得到CF平分∠ACB，根據(jù)勾股定理求出BF＝，BM＝2，證明Rt△FMC≌Rt△FGC得到CG＝CM，利用勾股定理求出BG，設(shè)CG＝CM＝x，則BC＝x+1，再利用勾股定理求出x即可得到答案.解：連接AC交BD于M，如圖所示：設(shè)BF＝5a，則DF＝11a，∴BD＝16a，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a，∴FM＝BM﹣BF＝3a，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ECD，∵∠BEC＝3∠BCE，∴∠ECD＝3∠BCE，∴∠ACE＝∠BCE，∴CF平分∠ACB，∵FG⊥BC，F(xiàn)M⊥AC，∴FG＝FM＝，∴3a＝，∴a＝，∴BF＝，BM＝2，在Rt△FMC和Rt△FGC中，，∴Rt△FMC≌Rt△FGC（HL），∴CG＝CM，在Rt△BFG中，BG＝＝1，設(shè)CG＝CM＝x，則BC＝x+1，在Rt△BMC中，由勾股定理得：22+x2＝（x+1）2，解得：x＝，∴AB＝BC＝．【點撥】此題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形全等的判定定理，證明CF平分∠ACB是解題的關(guān)鍵，從而證明Rt△FMC≌Rt△FGC來解決問題.13．2【分析】利用菱形的性質(zhì)得到，BD平分∠ADC和∠ABC，，則，根據(jù)垂線段最短可判斷當(dāng)AM⊥BC時，AM最短，則根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出AM=3，則AN=2，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點N到直線的距離等于NA的長．解：解∶∵四邊形ABCD是菱形，，∴，BD平分∠ADC和∠ABC，，∴，∵當(dāng)AM⊥BC時，AM最短，NM=l，∴BN=2NM=2，，∴，∵AM⊥BC，，∴，∴，，∴，∴AN=AM-NM=3-1=2，∵，AM⊥BC，∴，∴AM⊥AD，∵BD平分∠ADC，∴點N到CD的距離等于N點到AD的距離，∵NA=2，∴此時點N到CD直線的距離是2．故答案為∶2．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理，菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．4或【分析】分兩種情況，第一種情況，由折疊性質(zhì)可知：=CB=CD，可知E點與A點重合，BE=AB，第二種情況，由折疊性質(zhì)可知，BC=，得∠B=∠E=45°，再證∠AE=90°，設(shè)BE=E=x，得，即可得答案．解：第一種情況，如上圖，由折疊性質(zhì)可知：=CB=CD，∴在AD線上僅D點符合題意，∵∠B=∠D=45°，∴E點與A點重合，BE=AB，∴BE=4；第二種情況，如上圖，由折疊性質(zhì)可知，BC=，∴∠B=∠E=45°，∵在菱形中BC=CD=，∴∠D=∠B=∠D=45°，ADBC，∠AE=∠B=45°，∴∠AE=∠DC+∠EC=90°，∴A=E，設(shè)BE=E=x，則，，解得：，故答案為：4或．【點撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是注意兩種情況．15．30°【分析】由菱形的性質(zhì)得出AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，得出△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，由翻折變換的性質(zhì)得：=∠D=60°，求出∠CME==30°，即可得出的度數(shù)．解：連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，∴△ABC是等邊三角形，∵AD'剛好過BC的中點P，∴AD⊥BC，∴∠D'PC=90°，由翻折變換的性質(zhì)得：=∠D=60°，∴∠CME=∠PMD'=30°，∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°；故答案為：30°．【點撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．【分析】過點G往BC所在直線作垂線，垂足記為H，連接EG，證明，得到AG=BE，所以四邊形ABEG為平行四邊形，設(shè)AG=BE=x，則AD=GE=2+x，在和中用勾股定理列方程進(jìn)行求解．解：如圖所示，過點G往BC所在直線作垂線，垂足記為H，連接EG，∵F是AE中點，∴AF=EF，∵四邊形ABCD是菱形，則，且AE⊥BC，∴∠GAF=∠BEF=90°，在中，∴，∴AG=BE，又∵，∴四邊形ABEG為平行四邊形，則GE=AB，設(shè)AG=BE=x，則AD=GE=2+x，∴CH=EH-CE=AG-CE=x-2，

在和中，,即，解得x=6，則AE=，∴AF=0.5AE=，故答案為．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理等，設(shè)線段長為x，尋找等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．17．【分析】連接，，過作于，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．解：連接，，過作于，∵平分，∴，∵的垂直平分線交，分別于點，，∴，，∴，，∴，∴，，∴四邊形是菱形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴的面積，故答案為：．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．或或或或【分析】分類討論：如圖，當(dāng)時，如圖，當(dāng)時，如圖中，當(dāng)時，分別求出即可．解：如圖，當(dāng)時，點與重合或在點處．當(dāng)與重合時，與也重合，此時；在菱形中，，作于，在中，，

，，；如圖，當(dāng)時，點與重合或在處，點與重合，是的垂直平分線，，當(dāng)在處時，過作于，則可得，則，；如圖中，當(dāng)時，，．綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時，的長為或或或或．故答案為或或或或．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵．19．(1)見分析 (2)【分析】（1）由由作圖可知是的平分線，推出，由，推出，得到，由此即可證明；（2）連接，交于G．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)勾股定理求出，可得的長，根據(jù)菱形面積公式計算即可；解：（1）由作圖知：是的平分線，∴在中，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，（2）（2）連接交于在菱形中，，∴，∴，，∴【點撥】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、作圖-基本作圖等知識，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，利用勾股定理解直角三角形．20．(1)見分析 (2)見分析 (3)【分析】（1）根據(jù)菱形的對稱性可得，又是等邊三角形，，即得；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)證明，可得結(jié)論；（3）過作于，由，得，知，可得是等腰直角三角形，設(shè)，則，可得，根據(jù)即可求解．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，點在線段上，∴由菱形的對稱性可得，∵是等邊三角形，∴，∴；（2）證明：如圖1中，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴與關(guān)于對稱，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：當(dāng)在線段上時，過作于，如圖：∵，∴，∴，∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，設(shè)，則，在中，，∴，∴，∵，∴．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)與判定，勾股定理及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)及分類討論思想的應(yīng)用．21．(1)證明見分析 (2)①；② (3)【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，最后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；（2）①先根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得；②先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再利用定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可得；（3）過點作于點，延長到點，使，過點作于點，連接，則，，，再根據(jù)利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，從而可得，利用勾股定理可得，然后根據(jù)兩點之間線段最短可得當(dāng)點共線時，取得最小值，由此即可得．（1）證明：四邊形是矩形，，，，，即，分別是對角線上的四等分點，，，即，在和中，，，，，四邊形是平行四邊形．（2）解：①如圖，連接，四邊形是矩形，，，，，，分別是對角線上的四等分點，，，要使平行四邊形是矩形，則，，由平行線間的距離可知，，，四邊形是矩形，，又，，即當(dāng)時，四邊形是矩形，故答案為：；②如圖，連接，要使平行四邊形是菱形，則，在和中，，，，，，即，解得，即當(dāng)時，四邊形是菱形，故答案為：．（3）解：如圖，過點作于點，延長到點，使，過點作于點，連接，，，，，，，，四邊形的周長為，由兩點之間線段最短可知，當(dāng)點共線時，取得最小值，則四邊形的周長的最小值為．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，并找出當(dāng)點共線時，取得最小值是解題關(guān)鍵．22．(1)見分析 (2)見分析 (3)或【分析】（1）首先證明△BPA≌△BPC，可推導(dǎo)PC=PA，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證明PC＝PE；（2）結(jié)合（1）可知，△BPA≌△BPC，C，P，E三點一直線，易得，，在結(jié)合菱形的性質(zhì)，推導(dǎo)△PDE是等邊三角形，進(jìn)一步證明四邊形APDE是菱形即可；（3）分兩種情況討論：點P在線段BD上時或點P在線段BD的延長線上時，過點P作PH⊥AB（或AB的延長線）于點H．依次計算∠ABP=30°、，在和中利用勾股定理計算BH、AH、AP與PH的長度關(guān)系，再計算的值即可．（1）解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴，，又∵，∴△BPA≌△BPC（SAS），∴PC=PA，∵△APE是等邊三角形，∴PA＝PE，∴PC＝PE；（2）∵等邊△APE，∴AP=AE=PE，∠APE＝60°，結(jié)合（1）可知，△BPA≌△BPC，又∵C，P，E三點一直線，∴，∴，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠PDC＝30°，∴，∴PC=PD，由（1）可知，PC=PE，∴PE=PD，∴△PDE是等邊三角形，∴PD=DE=PE，∴AP=AE=PD=DE，∴四邊形APDE是菱形；（3）當(dāng)CP⊥PE時，分兩種情況：①如圖4，點P在線段BD上時，過點P作PH⊥AB．∵CP⊥PE，∠APE=60°，∴，∵BD是菱形ABCD的對稱軸，∴∠APB=∠CPB=105°．∵∠ABP=30°，∴，∴BH=PH，AP=PH，PH=AH．∴；②如圖5，點P在線段BD的延長線上時，過點P作PH⊥AB交BA延長線于點H．∵CP⊥PE，∠APE=60°，∴∠APB+∠BPC=30°，∵BD是菱形ABCD的對稱軸，∴∠APB=∠BPC=15°，∵∠ABP=30°，∴∠PAH=45°，∴BH=PH，AP=PH，PH=AH，∴．綜上所述，的值為或．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強，讀懂題意并靈活運用所學(xué)知識是解題關(guān)鍵，還要注意用分類討論的思想分析問題．(1)3 (2)①見分析；②EF=（9?3）cm，t=（6-6）s．t=(3+3)s．【分析】（1）由條件可知△ADC，△ABC都是等邊三角形，證明CE=CF，AE=AF，可得出AC垂直平分線段EF，由30°直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）①只要證明△DCE≌△ACF，得出CE=CF，∠DCE=∠ACF，可得出∠ECF=60°，則結(jié)論得證；②連接AC，交BD于點O，過點E作EN⊥CD，垂足為N，由BD=2BO求出BD長，證明DE=DG，可求出DE長，則t的值可求出，在Rt△DEN中，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出EN=9-3，在Rt△ECN中可得∠ECN=45°，求出CE的長，則CE=EF可求出；（3）作CH⊥AB于H．先求出BH=3，CH=3，在Rt△CFH中，由勾股定理可求出HF，則BF和AF可求出．（1）解：如圖①中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC=6cm，∠ADC=60°，∴四邊形ABCD是菱形，∴DA=DC=AB=BC，∴△ADC，△ABC都是等邊三角形，當(dāng)t=3時，AE=DE=3cm，AF=BF=3cm，∵CA=CD=CB，∴CE⊥AD，CF⊥AB，∵∠CAB=∠CAD，∴CF=CE，∵AE=AF，∴AC垂直平分線段EF，∴∠AGF=90°，∵∠FAG