專題15圓錐曲線中的切線方程（教師版）

專題15：圓錐曲線中的切線方程<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>切線問題的重要性不言而喻，我們前面都盡量避免讓同學(xué)們?nèi)ビ洝┙Y(jié)論。—是有些結(jié)論確實(shí)不好記（比如焦半徑，它取決于曲線的類型和焦點(diǎn)的位置），二是出現(xiàn)的頻率也不是很高。但是在本小節(jié)，建議同學(xué)們要記一些結(jié)論，因?yàn)檫@里的結(jié)論很好記。當(dāng)然最重要的還是掌握推導(dǎo)的過程。<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：橢圓中題型一：橢圓中的切線問題例1已知橢圓C:x24+y23=1，過橢圓在第二象限上的任意一點(diǎn)P作橢圓的切線與y軸相交于Q點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QR⊥OP，垂足為R，則|OR|+|OP|【思路點(diǎn)撥】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用Δ=0得出切線方程，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出|OR|?|OP|為定值3，結(jié)合|OP|【規(guī)范解析】解：設(shè)P(x0,y0)，x0<0，y0>0，

易知切線的斜率存在，設(shè)其方程為y?y0=k(x?x0)，

由y?y0=k(x?x0)x24+y23=1,消去y得3+4k2x2+8ky0?kx0x+4y0?kx02?12=0，

由Δ=64k2(y0?kx0例2如圖所示，已知橢圓C：x26+y23=1與直線l：x6+y3=1.點(diǎn)P在直線l上，由點(diǎn)P引橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)P為直線l與y軸的交點(diǎn)，求△PAB的面積S；【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)△=0，求出直線的斜率，從而求切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷△PAB為直角三角形，從而求△PAB的面積．

(2)先寫出切線PA和PB，根據(jù)切線方程，求出直線AB的方程，可得直線AB過定點(diǎn)T(1,1)，故點(diǎn)D在以O(shè)T為直徑，Q(12,【規(guī)范解析】解：(1)由題意知P(0,3)，過點(diǎn)P與橢圓相切的直線斜率存在，設(shè)切線方程為y=kx+3，

聯(lián)立x26+y23=1y=kx+3，得(1+2k2)x2+12kx+12=0，

由△=(12k)2?4(1+2k2)×12=0，解得k=±1，即切線方程為y=±x+3，

此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(?2,1)，B(2,1)，△PAB為直角三角形，|PA|=|PB|=22，

所以S△PAB=12|PA||PB|=4．

(2)證明：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則切線PA為x1x6+y1y3=1，切線PB為x2x6+y2y3=1練1如圖，P為橢圓C1：x28+y26=1上的動(dòng)點(diǎn)，過P作C1切線交圓C2：x2+y2=24于A.S△OPQ的最大值為3 B.S△OPQ的最大值為233

C.QD.Q的軌跡是x【思路點(diǎn)撥】由橢圓的性質(zhì)及圓的性質(zhì)求出直線MN的方程，對(duì)比系數(shù)可得xP=xQ3，yP=yQ4，由點(diǎn)【規(guī)范解析】解：設(shè)P(xP,則lMN：xP8x+yP6y=1，即3xPx+4yPy=24，

過M，N作C2切線交于Q，則lMN：xQx+y所以(xQ3)28+(yQ4因?yàn)镺P=(xP,yP)，OQ=(3xP,4yP)，

所以S△OPQ=12|OP||OQ|sin∠POQ

=12|OP|2|OQ|2(1?練2已知橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l方程是x+y?6=0，點(diǎn)M是直線l上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的切線MG，MH，切點(diǎn)分別為G，H，設(shè)切線的斜率都存在.試問∶直線GH是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)已知及橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程的計(jì)算，求出橢圓C的方程；

(2)根據(jù)已知及橢圓的性質(zhì)及幾何意義，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題的計(jì)算，可知直線GH過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【規(guī)范解析】解：(1)由題意，2a=6，b=1，所以橢圓方程為x29+y2=1，

(2)設(shè)G(x1,y1)，H(x2,y2)，M(x3,y3)，

設(shè)直線MG的方程為y?y1=k(x?x1)，y=kx+y1?kx1x2+9y2=9,

(9k2+1)x2+18k(y1?kx1)x+9(y1?kx1)題型二：雙題型二：雙曲線中的切線問題例3如圖，已知雙曲線C：x23?y2=1，過P(1,1)向雙曲線C作兩條切線，切點(diǎn)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)出切線方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理及根的判別式表示A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出直線方程，化簡(jiǎn)即可；

(2)在第一問的基礎(chǔ)上，利用向量的夾角公式表達(dá)出夾角的余弦值，進(jìn)而證明結(jié)論．【規(guī)范解析】證明：(1)顯然直線PA的斜率存在，設(shè)直線PA的方程為y?1=k(x?1)，

聯(lián)立x23?y2=1y?1=k(x?1)，得(3k2?1)x2?6k(k?1)x+3(k?1)2+3=0，

則Δ=36k2(k?1)2?4(3k2?1)×3(k2?2k+2)=0，化簡(jiǎn)得k2+k?1=0，

因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等實(shí)根，

所以x1=??6k(k?1)2(3k2?1)=3k2?3k3k2?1，y1=k?13k2?1，x1y1=3k，

故PA的方程：y=x13y1(x?x1)+y1，yy例4設(shè)雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)若A?2,1,B2,1，點(diǎn)C在線段AB上(不含端點(diǎn))，過點(diǎn)C分別作雙曲線兩支的切線，切點(diǎn)分別為P,Q.連接PQ，并過PQ的中點(diǎn)F分別作雙曲線兩支的切線，切點(diǎn)分別為D,E【思路點(diǎn)撥】(1)直接利用雙曲線的定義求解即可；(2)設(shè)切線PC為y=kx+b，有切線方程的結(jié)論可求出直線PC和CQ，從而可得直線PQ的方程，同理可求出直線DE的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示【規(guī)范解析】解：(1)因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為(5,0)，所以c=5

因?yàn)橛医裹c(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為1，所以1=|5b|a2+b2=b

所以a=c2?則切線PC:x1x4?y1y=1，切線CQ:x2x4?y2y=1，

因?yàn)橹本€PC與直線CQ交于點(diǎn)C，所以x1m4?y1=1，x2m4?y2=1，

所以點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)滿足方程mx4?y=1，即直線PQ:mx4?y=1

同理可得直線DE:(x1+x22)?x4?(y1+y22)?y=1，y=(x1+x2y1+y2)x4+2練3已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>1,b>0)的右焦點(diǎn)是F(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(x>0)在C上．若過點(diǎn)P作C的切線與直線x=1相交時(shí)，記其交點(diǎn)為Q，PF【思路點(diǎn)撥】設(shè)P(x0,y0)，x0>0，設(shè)切線方程為y=kx?x0+y0，與雙曲線方程聯(lián)立，由Δ=0求得【規(guī)范解析】解：設(shè)P(x0,y0)，x0>0，

可知過點(diǎn)P的切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=kx?x0+y0，

聯(lián)立y=kx?x0+y0b2x2?a2y2=a2b2,

可得b2?a2k2x2?2a2ky0?kx0x?a2y0?kx02?a2b2=0，

則b2?a2k2≠0且Δ=4a4k2y0?kx02+4b2?a2k2a2y0?kx02+a2b2=0，

化簡(jiǎn)可得y0?kx02+b2?a2k2=0，

即k2x02?a2?2x0y0k+y02+b2=0，

練4已知雙曲線x2a2?y(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)Q是直線l:y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q引雙曲線兩條切線，切點(diǎn)為A，B，試探究：直線AB是否恒過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)雙曲線方程為x2?4y2=λ，將點(diǎn)(4,3)代入得到λ，可得雙曲線方程；

(2)把切線AQ的方程代入雙曲線方程，得到(1?4k2)x2?8k(y1?kx【規(guī)范解析】解：(1)由于雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，所以可設(shè)雙曲線方程為x2?4y2=λ，

將點(diǎn)(4,3)代入得到：λ=4，所以雙曲線的方程為：x2?4y2=4，即x24?y2=1；

(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x整理得，4y12k2?2x1y同理切線QB:x2x4?y2y=1．檢驗(yàn)知上述結(jié)論仍然成立，同理當(dāng)Q(2,3)時(shí)，A(2,0)，QB：x=2，檢驗(yàn)知上述結(jié)論成立，

因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0,y0)在直線QA，QB上，所以x1x04?y1y0=1,則y0=x0+1代入(?)式有：x0(x4題型三：拋物線題型三：拋物線中的切線問題特別提醒：過拋物線C:x2=2py上一點(diǎn)過拋物線C:x2=2py外一點(diǎn)例5阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).若拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F，過拋物線上兩點(diǎn)A，B的直線的方程為x?y+2=0，弦AB的中點(diǎn)為C，則關(guān)于“阿基米德三角形”△PAB，下列結(jié)論正確的是(

)A.點(diǎn)P3,?2 B.PC⊥x軸 C.PA⊥PB 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線的二級(jí)結(jié)論求出直線PA，PB的方程，解出交點(diǎn)P即可逐一判斷選項(xiàng)．【規(guī)范解析】設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x12=8y1,x22=8y2,

則切線PA的方程為：x1?x=4y+y1,整理得y=x14x?x128，

同理切線PB的方程為：y=x24x?x228，

聯(lián)立方程組y=x14x?x例6設(shè)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上.過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.已知拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，位于點(diǎn)A,B之間.若拋物線在點(diǎn)C處的切線與切線PA,PB相交于點(diǎn)(1)直線AB經(jīng)過點(diǎn)F;(2)?PMN的外接圓過定點(diǎn)．【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)fx=14x2，P(t,?1),Ax1,(2)設(shè)C(x0,y0)，由(1)可知曲線在點(diǎn)C處的切線方程，求出點(diǎn)M、N坐標(biāo)；根據(jù)代數(shù)法和Δ=0可證明PA⊥PB，則線段MN為?PMN的外接圓的直徑.設(shè)直線【規(guī)范解析】解：(1)由題意知x2=4y，

拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，

準(zhǔn)線方程為y=?1設(shè)fx=14x2，

點(diǎn)得直線PA的方程為y?y1=12x1同理可得，

切線PB的方程為x2又因?yàn)榍芯€PA過點(diǎn)P，

所以有x1t=2y1?2所以直線AB的方程為tx=2y?2，

故直線AB經(jīng)過點(diǎn)F0,1(2)設(shè)點(diǎn)C(x0,y0)，

由聯(lián)立方程組，得x1x=2y1+2yx0x=2y即Mx1+x0由(1)，設(shè)過點(diǎn)P的切線方程為y=k聯(lián)立得y=k0(x?t)?1x2=4y,

消去y，得x2記關(guān)于k0的一元二次方程k02?tk0?1=0的兩根為k1,則k1k2=?1，所以PA⊥PB，

故線段設(shè)直線AB方程為y=kx+1，

由x2=4yy=kx+1,

消去則x1因?yàn)镕M=(x1+所以FM?FN將x1+x2=4k,所以?PMN的外接圓過定點(diǎn)F．練5過點(diǎn)M(?1,y0)作拋物線y2=2px(p>0)的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，若△MAB面積的最小值為4，則A.1 B.2 C.4 D.16【思路點(diǎn)撥】利用拋物線二級(jí)求出直線AB的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離表示△MAB的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【規(guī)范解析】解：設(shè)A(x1,y1)，聯(lián)立y0y=p(x?1)y2=2px消去x由韋達(dá)定理，得y1+y2=2y0點(diǎn)M到直線AB的距離：d=|于是△MAB的面積S=1當(dāng)y0=0時(shí)，△MAB面積最小，為22p=4，例6已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P0,tt>0的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線分別為l1，l2(1)當(dāng)直線l過焦點(diǎn)F時(shí)，證明：l1，l(2)當(dāng)t=2時(shí)，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M．①點(diǎn)Q是否在一條定直線上？若是，求出該直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．②求MQAB【思路點(diǎn)撥】(1)聯(lián)立方程組，利用Δ=0分別用點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)表示k1，k2，聯(lián)立直線(2)①聯(lián)立兩切線方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得點(diǎn)Q在定直線上；②由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到MQ，再由弦長(zhǎng)公式可得AB，再求MQAB【規(guī)范解析】解：(1)由題意知，直線的l斜率存在，設(shè)直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)Ax1,由于焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立y=kx+1x2=4y，消去y得，x則x設(shè)Ax1,x124聯(lián)立方程組y?x12則Δ=16k12?44∴k1?k2=1(2)①當(dāng)t=2時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立y=kx+2x2=4y，消去y得，x則x直線l1與l2交于點(diǎn)Q，設(shè)拋物線在點(diǎn)A處的切線l1方程為y?14同理，在點(diǎn)B處的切線l2方程為y=聯(lián)立y=12將x1+則點(diǎn)Q(2k,?2)在定直線y=?2上.②線段AB的中點(diǎn)為M，由(1)可得，y1+y則M2k,2(MQ=2又AB=將x1+x則MQAB由k2?0，k2+1?1，MNAB的取值范圍為1<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.圓x2+y2=R2上一點(diǎn)A(x1,y1)處的切線AP的方程為x1x+y1y=R2，類比可知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.(1,43) B.(43,1)【解析】設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1)，則由結(jié)論可知過點(diǎn)A(x1,y1)的切線方程為x1x4+y1y3=1，

又因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)也在該切線上，所以x1x04+y1y03=1，

同理過切點(diǎn)B(x2,y2)的切線方程為x22.過雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)P作雙曲線C的切線l，若直線OP與直線A.295 B.303 C.355【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，則直線OP的斜率為y0x0，

直線l的方程為x0xa2?y0yb2=1，其斜率為x0b23.已知拋物線x2=2y,點(diǎn)M(t,?1),t∈[12,1],過M作拋物線的兩條切線MA，MB，其中A，B為切點(diǎn),且AA.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1) B.OA⊥OB

C.△MAB的面積的最大值為33 D.|PA||PB|【解析】解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

可得A處的切線的方程為x1x=y+y1，B處的切線的方程為x2x=y+y2，

又切線MA，MB都過M(t,?1)，可得x1t=?1+y1，x2t=?1+y2，

由兩點(diǎn)確定一條直線，可得AB的方程為xt=y?1，

可得P(0,1)，故A正確；

聯(lián)立x2=2yxt=y?1，可得x2?2tx?2=0，即有x1+x2可得S的最大值為33，故C正確；

由|PA||PB|=1+t2|x1|1+t2|x2|=x1?x2，設(shè)x4.如圖所示，已知P(x0,y0)是雙曲線C：x24?y23=1右支上任意一點(diǎn)，雙曲線C在點(diǎn)P處的切線分別與兩條漸近線

【解析】解：設(shè)雙曲線漸近線上的點(diǎn)A(2t1,3t1)，B(2t2,?3t2)，

當(dāng)y0=0時(shí)，過點(diǎn)P的切線方程為x=2，

當(dāng)y0≠0時(shí)，過點(diǎn)P的切線方程為y?y0=k(x?x0)，即y=k(x?x0)+y0，

代入雙曲線方程可得(3?4k2)x2+8(k2x0?ky0)x?4(k2x02+y05.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左右頂點(diǎn)分別為A、B,P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn),PA、PB斜率之積為?(2)直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q，分別過P、Q作橢圓的切線，這兩條切線交于點(diǎn)M.求證：【解析】解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，由題意得A(?a,0)，B(a,0)，

則kPAkPB=y0x0+a?y0x0?a=y02x02?a2，

因?yàn)镻在橢圓C上，所以x02a2+y02b2=1，即y02=b2a2(a2?x02)，

則kPAkPB=y02x02?a2=?b2a2=?34，得b=32a，

因?yàn)椤鱌AB的面積最大值為236.已知橢圓E:x2a2+(1)求E的方程;(2)設(shè)任意過F2的直線為l交E于M，N，分別作E在點(diǎn)M，N上的兩條切線，并記它們的交點(diǎn)為P，過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A，B，求【解析】解：(1)由題意得，2a2?b2=4，2b=4，解得b2=4，a2=8，

所以橢圓E的方程為x28+y24=1;

(2)由題意得，F(xiàn)2(2,0)，顯然l的斜率不為0，

設(shè)直線l的方程為x=ty+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立x28+y24=1x=ty+2，消x整理得(t2+2)y2+4ty?4=0，

Δ=16t2+16t2+2>0，y1+y2=?4tt2+2，y1y2=?4t2+2，

由題意知，M，N不在x軸上，則分別作E在點(diǎn)M，N上的兩條切線的斜率存在，

聯(lián)立過M，N的切線方程x1x8+y1y4=1x2x8+y2y4=1，整理得x1y7.已知雙曲線E:x2a2?(1)求雙曲線E的方程．(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)(2,0)，與雙曲線右支交于P、Q兩點(diǎn)(其中P點(diǎn)在第一象限)，點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，且直線AP與BQ交于點(diǎn)M，直線AB與PQ交于點(diǎn)N，證明：雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分線段MN．【解析】解：1依題意，離心率e=a2+b2a=5，2a2?4b2=1，解得a2=1，b2=4，

故雙曲線E的方程為x2?y24=1

2方法一：設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，直線PQ為x=ty+2t≠0，代入雙曲線方程x2?y24=1

得：4t2?1y2+16ty+12=0，則4∵過點(diǎn)P的切線方程為：x1x?y1y4=1，

要證雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分線段EF，即證點(diǎn)P處的切線經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)T．

∵x1x0?y1y04=x1(y24t?x2)?y14.(?2t)=