專題66解三角形（舉一反三）（人教A版2019）

專題6.6解三角形【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1余弦定理邊角互化的應(yīng)用】 4【題型2余弦定理解三角形】 5【題型3正弦定理邊角互化的應(yīng)用】 7【題型4正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】 8【題型5正弦定理解三角形】 10【題型6三角形面積公式的應(yīng)用】 11【題型7正、余弦定理判定三角形形狀】 13【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】 15【題型9距離、高度、角度測(cè)量問(wèn)題】 20【知識(shí)點(diǎn)1余弦定理、正弦定理】1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式表述a2=b2+c22bccosA，b2=a2+c22accosB，c2=a2+b22abcosC.推論(2)對(duì)余弦定理的理解①余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個(gè)等式都包含四個(gè)量，因此已知其中三個(gè)量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來(lái)確定三角形的角的問(wèn)題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來(lái)判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見(jiàn)變式：+=2bcA，+=2acB，+=2abC.2．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見(jiàn)變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出，在任意三角形中，有“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的邊角關(guān)系.3．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問(wèn)題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；

③已知三邊，求三角形的三個(gè)角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式==反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程知，該公式實(shí)際表示為：=，=，=.上述的每一個(gè)等式都表示了三角形的兩個(gè)角和它們的對(duì)邊的關(guān)系.從方程角度來(lái)看，正弦定理其實(shí)描述的是三組方程，對(duì)于每一個(gè)方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來(lái)解決兩類解三角形的問(wèn)題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角.4．對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說(shuō)明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，以已知a,b和A，解三角形為例，用幾何法探究如下：圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)A為銳角①a=bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b兩解a<bsinA無(wú)解A為鈍角或直角a>b一解a≤b無(wú)解5．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計(jì)算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長(zhǎng).

②=，=，=.【題型1\o"余弦定理邊角互化的應(yīng)用"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例1】（2023下·貴州黔西·高一校考期中）在△ABC中，已知a+b+cb+c?a=3bc，則角A等于（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】因?yàn)閍+b+cb+c?a=3bc，整理得由余弦定理可得cosA=且0°<A<180°，所以A=60°.故選：C.【變式11】（2023上·陜西商洛·高二?？计谀┰凇鰽BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若A=2π3，bc=3，且b+c=52A．23 B．33 C．22【解題思路】利用余弦定理表示出cosA【解答過(guò)程】因?yàn)锳=2π3，由余弦定理知，cos==a解得a=23故選：A【變式12】（2023下·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a2=b2+A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】根據(jù)已知條件及余弦定理的推論即可求解.【解答過(guò)程】由a2=b由余弦定理的推理得cosA=又因?yàn)?<A<π所以A=2故選：C.【變式13】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）在銳角三角形ABC中，a=1，b=2，則邊c的取值范圍是（

）A．1<c<3 B．C．3<c<5 【解題思路】由銳角三角形及余弦定理列不等式組，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意cosC=a2+b同理a2+c2>b2綜上，3<c<故選：C.【題型2\o"余弦定理解三角形"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理解三角形】【例2】（2023上·新疆·高二學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，已知A=π3，a=3，b=1，則cA．1 B．2 C．3?1 D．【解題思路】利用余弦定理解三角形.【解答過(guò)程】由余弦定理a2將A=π3，a=3，b=1則有c2?c?2=0，且c>0，解得故選：B.【變式21】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，AC=5，BC=10，cosA=25A．52 B．5 C．10 D．【解題思路】運(yùn)用余弦定理解三角形即可.【解答過(guò)程】由余弦定理得BC即AB2?4AB?5=0故選：B.【變式22】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·?？寄M預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知A=π3，a=7，b?c=1，則cosA．13 B．77 C．27【解題思路】根據(jù)余弦定理求得c，進(jìn)而求得cosB【解答過(guò)程】由余弦定理，a2因?yàn)閎?c=1,a=7，所以c即c2+c?6=0，解得所以b=3,c=2，cosB=故選：D.【變式23】（2023上·四川成都·高二校考階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=π3，AC=2，M為AB邊上的中點(diǎn)，且CM的長(zhǎng)度為7，則BC=A．23 B．4 C．27 【解題思路】分別在△AMC和△BCM中利用余弦定理得到2BC2?20=AB2【解答過(guò)程】

在△AMC中，cos∠AMC=在△BCM中，cos∠BMC=∵∠AMC+∠BMC=π∴cos∠AMC=?又AM=BM，∴AM2+CM∴2AM∴2BC在△ABC中，AB∴4+BC2?2BC=2BC2故選：B.【題型3\o"正弦定理邊角互化的應(yīng)用"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例3】（2023下·吉林通化·高一校考階段練習(xí)）在△ABC中，若A:B:C=3:4:5，則a:b:c等于（

）A．3:4:5 B．2:C．1:3:2 【解題思路】利用三角形的內(nèi)角和定理及正弦定理即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)锳:B:C=3:4:5，A+B+C=180所以A=45sin75由正弦定理，得a:b:c=sin故選：B.【變式31】（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B所對(duì)的邊分別為a,b.若5bsinA=2sinBA．255 B．52 C．5【解題思路】根據(jù)正弦定理，即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)正弦定理可知，sinA=a2R則5b?a2R故選：A.【變式32】（2023上·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinB=bsinA．π6 B．π4 C．π3【解題思路】利用正弦定理變形等式，可得三角形為等邊三角形，即得答案.【解答過(guò)程】因?yàn)閍sin有正弦定理得，a則b2所以b2c2=ac代入上邊等式可得，a=b=c，則三角形為等邊三角形，故C=故選：C【變式33】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）在△ABC中，sinA:sinB:sinC=k:A．2,+∞ B．12,+∞ C．【解題思路】利用正弦定理得邊長(zhǎng)關(guān)系，再利用三角形成立條件列不等式求解即可.【解答過(guò)程】由正弦定理asinA=a:b:c=k:k+1:2k因?yàn)閍+b>ca+c>b，所以mk+mk+1>2mkmk+2mk>mk+1，解得k>故選：B.【題型4\o"正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】【例4】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若B=π3,a=4，且該三角形有兩解，則bA．23,+∞C．0,4 D．3【解題思路】利用正弦定理推出b=23sinA，根據(jù)三角形有兩解，確定角【解答過(guò)程】由正弦定理得asinA=因?yàn)樵撊切斡袃山猓师?故sinA∈(32故選：B.【變式41】（2023下·浙江杭州·高一?？计谥校┓舷铝袟l件的三角形有且只有一個(gè)的是（）A．a(chǎn)=1，b=2，c=3 B．a(chǎn)=1，b=2C．a(chǎn)=1，c=3，A=30° D．a(chǎn)=b=1，B=30°【解題思路】根據(jù)兩邊之和大于第三邊及正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，a=1，b=2，c=3，由兩邊之和大于第三邊，1+對(duì)于B，由a=1，b=2，A=30°，可得sinB=22，對(duì)于C，a=1，c=3，A=30°，可得sinC=對(duì)于D，a=b=1，B=30°，符合條件的三角形有一個(gè)，是等腰三角形.故選：D.【變式42】（2023上·北京海淀·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）在△ABC中，a=42，A=45°，b=m，若滿足條件的△ABCA．8 B．6 C．4 D．2【解題思路】根據(jù)滿足條件的△ABC有兩個(gè)，可得出bsinA<a<b，求出【解答過(guò)程】因?yàn)锳=45°，a=42，b=m則bsinA<a<b，即22故選：B.【變式43】（2023下·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a=1，A=30°，b=x，則（

）A．當(dāng)x=2時(shí)，B=45° B．當(dāng)x>1時(shí)，△ABCC．當(dāng)0<x<1時(shí)，△ABC只有一個(gè)解 D．對(duì)一切x>0，△ABC都有解【解題思路】由正弦定理、正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【解答過(guò)程】因?yàn)閍=1，A=30°，b=x，所以由正弦定理asinA=當(dāng)x=2時(shí)sinB=22，又30°<B<150°，所以當(dāng)x=4時(shí)sinB=2，又0<sinB≤1當(dāng)0<x<1時(shí)b<a，則B<A，又sinB=12x<1故選：C.【題型5\o"正弦定理解三角形"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理解三角形】【例5】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一校考階段練習(xí)）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，則cosC=（

A．5314 B．±5314 【解題思路】根據(jù)正弦定理得到sinC=【解答過(guò)程】由題可得，sinB=32，由正弦定理可得AC又∠B=2π3，故C∈故選：C.【變式51】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）在△ABC中，已知A=7π12，C=π6，AC=2A．22 B．2 C．2 D．【解題思路】根據(jù)題意，求得B=π【解答過(guò)程】因?yàn)锳=7π12，C=由正弦定理可得ACsin故選：B.【變式52】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=1，b=2，sinA=A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】根據(jù)正弦定理，即可求解.【解答過(guò)程】根據(jù)正弦定理asinA=bsinsinA=22，a<b，則A=故選：B.【變式53】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，2cosB?3cbA．338 B．558 C．37【解題思路】先利用正弦定理、三角恒等變換等求出角B的大小，然后利用正弦定理即可求出sinA的值，進(jìn)而求出cos【解答過(guò)程】由2cosB?3由正弦定理得2sin故2sin又sinB>0，所以cos因?yàn)锽∈0,π，所以B=在△ABC中，由正弦定理得，asin所以sinA=因?yàn)閍<b，所以A為銳角，所以cosA=故選B．【題型6三角形面積公式的應(yīng)用】【例6】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）在△ABC中，若AB=3,AC=7,B=120°，則△ABC的面積為（

）A．63 B．3?14 C．3+14【解題思路】利用余弦定理求BC，進(jìn)而利用面積公式求面積.【解答過(guò)程】由題意可得：AC2=A整理得BC2+3BC?40=0，解得BC=5所以△ABC的面積為12故選：D.【變式61】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若b=1，B=π6，1tanA+A．14 B．12 C．3【解題思路】根據(jù)題意利用三角恒等變換并由正弦定理即可求得ac=1，再由面積公式即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)?=sin所以sin2BsinAsin故△ABC的面積為12故選：A.【變式62】（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC的外接圓半徑為4，sinB+sinC=34，sinBsinA．558 B．C．215564 【解題思路】根據(jù)正弦定理、面積公式、二倍角的正弦公式求解.【解答過(guò)程】由sinB+sinC=解得sinB=由正弦定理可得b=2RsinB=3，所以B=C，sinA=∴S故選：D.【變式63】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若c2=a?b2+6，且C=A．33 B．932 C．3【解題思路】根據(jù)題中條件結(jié)合余弦定理先求得ab=6，進(jìn)而利用面積公式求解.【解答過(guò)程】解：∵c2=∴a2∵C=π∴cosπ3=∴S△ABC故選：D.【題型7\o"正、余弦定理判定三角形形狀"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168411/_blank"正、余弦定理判定三角形形狀】【例7】（2023上·遼寧本溪·高二?？计谥校┰凇鰽BC中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形【解題思路】由正弦邊角關(guān)系得a:b:c=4:5:6，設(shè)a=4t（t>0），應(yīng)用余弦定理確定cosC的符號(hào)，結(jié)合C【解答過(guò)程】因?yàn)閟inA:sinB:設(shè)a=4t（t>0），則b=5t，c=6t，由余弦定理得cosC=a2又C為最大內(nèi)角，故△ABC為銳角三角形.故選：C.【變式71】（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，若acosA2=bcosBA．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】由余弦定理求得C=60°，根據(jù)題意和正弦定理可得【解答過(guò)程】由c2=a而cosC=a2所以C=60acosA2即2sinA2所以A2=B2或A2所以A=B，即△ABC為等邊三角形.故選：B.【變式72】（2023上·上海松江·高二?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若b=2acosC，則A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】利用余弦定理化角為邊即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)閎=2acos由余弦定理可得b=2a?a所以a2即a2=c所以△ABC為等腰三角形.故選：C.【變式73】（2023上·北京·高三北京二十中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，若cosAcosBA．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形【解題思路】cosAcosB=ba由正弦定理化簡(jiǎn)為sin2A=【解答過(guò)程】∵cosAcosB=b根據(jù)正弦定理可知：sinA∴sin2A=∴在△ABC中，A=B，或2A+2B=π，即A+B=π2，即∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選：C.【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】【例8】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┰凇鰽BC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且3c(1)求角A的大小；(2)若1tanB+1tan【解題思路】（1）由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到3sinA?cosA=1，從而得到（2）在（1）基礎(chǔ)上得到1tanB+1tanC=【解答過(guò)程】（1）3c由余弦定理得3c由正弦定理得3sin3sin即3sin故3sin因?yàn)镃∈0,π，所以所以3sinA?cos因?yàn)锳∈0,π，所以（2）由（1）知A=π故1tan∵tanA=tanπ聯(lián)立1tanB+∵B∈0,π，∴B=C=π∴△ABC為等邊三角形，∴S△ABC【變式81】（2023上·安徽合肥·高三?？计谀┰凇鰽BC內(nèi)，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bcos(1)求角B的值；(2)若△ABC的面積為33，b=13，求【解題思路】（1）由正弦定理和三角恒等變換得到cosB=12（2）由余弦定理和面積公式得到方程，求出a+c，進(jìn)而求出周長(zhǎng).【解答過(guò)程】（1）由cosA+C=?∴由正弦定理，得sinB∴sin∴sin又A+B+C=π∴sin又∵0<C<π∴cos又B∈0,∴B=π（2）由（1）知B=π∴b又S=12ac∴ac=12，②又∵b=13∴由①②，得a2+c∴a+c2故a+c=7，周長(zhǎng)為7+13【變式82】（2023上·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，為c(1)求角A的大小；(2)當(dāng)a=3時(shí)，求b+c【解題思路】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)正弦定理先得出b+c2【解答過(guò)程】（1）由正弦定理得：sinC所以sin(C+B)=2sinA因?yàn)閟inA≠0，所以cos又A∈(0,π)（2）a=3，A=π3所以b+c2因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以B∈(π6,所以cosB?所以b+c【變式83】（2023上·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從①(a+b+c)?(sinA+sin在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足：______．(1)求角C的大小；(2)若c=3，△ABC的內(nèi)心為I，求△ABI注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解題思路】（1）運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，借助于三角形的邊角關(guān)系即可求得；（2）先求出∠AIB，在△ABI中，通過(guò)設(shè)角θ，利用正弦定理求出三邊得出三角形周長(zhǎng)表達(dá)式，將其轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，利用角的范圍即可求得周長(zhǎng)范圍.【解答過(guò)程】（1）選擇條件①，(a+b+c)(sin在△ABC中，由正弦定理得(a+b+c)(a+b?c)=ab+2ba，整理得a2+b又C∈(0,π)，所以選擇條件②，2asin于是asin在△ABC中，由正弦定理得，sin2因?yàn)閟inA≠0，則sinAcos因?yàn)锳+B+C=π，因此sinC=3cosC，即tan（2）

如圖，由（1）知，C=π3，有因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)心為I，所以∠ABI+∠BAI=π3，于是設(shè)∠ABI=θ，則∠BAI=π3?θ在△ABI中，由正弦定理得，BIsin所以BI=2sin所以△ABI的周長(zhǎng)為3+2sinπ由0<θ<π3，得π3所以△ABI周長(zhǎng)的取值范圍為(23【知識(shí)點(diǎn)2測(cè)量問(wèn)題】1．測(cè)量問(wèn)題(1)測(cè)量距離問(wèn)題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法A,B間不可達(dá)也不可視測(cè)得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點(diǎn)A可視但不可達(dá)測(cè)得BC=a，B，C的大小，則A=π(B+C)，由正弦定理得C,D與點(diǎn)A,B均可視不可達(dá)測(cè)得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.(2)測(cè)量高度問(wèn)題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法底部

可達(dá)測(cè)得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點(diǎn)B與C,D共線測(cè)得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數(shù).

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點(diǎn)B與C,D不共線測(cè)得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.(3)測(cè)量角度問(wèn)題測(cè)量角度問(wèn)題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問(wèn)題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【題型9距離、高度、角度測(cè)量問(wèn)題】【例9】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤鐖D所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°，航行半小時(shí)后船到達(dá)C點(diǎn)，觀測(cè)燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是多少.

【解題思路】利用正弦定理可求AC的長(zhǎng)度.【解答過(guò)程】由題設(shè)可得∠ABC=30°，而∠ACB=40°+65°=105°，故A=180°?30°?105°=45°，由正弦定理可得ACsin30°=【變式91】（2023下·廣東湛江·高一?？茧A段練習(xí)）為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問(wèn)題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)，B，C，D三地位于同一水平面上，這種儀器在B地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，C,D兩地相距100m，∠BCD=60°，在C地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比D地晚217秒，在C地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)A處的仰角為30°．（已知聲音的傳播速度為

(1)B，C兩地間的距離；(2)這種儀器的垂直彈射高度AB．【解題思路】（1）設(shè)BC=x，利用在C地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比D地晚217秒