專題9導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)交匯問(wèn)題（學(xué)生版答案解析）

專題9導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)交匯問(wèn)題—答案解析【專題探究】例1【解析】（1）由a=14，得f(x)=x?sinxf'(x)=1?12cosx?當(dāng)x∈0,π2時(shí)，T'(x)<0，T(x)單調(diào)遞減，當(dāng)T(x)的最小值為T(mén)π2=1?π4所以f(x)在(0,π)上單調(diào)遞增，所以f(x)<f(π)=π?0?π2=（2）f(x)≥令g(x)=2ax?sinx2+cosx令t=cosx，?(t)=2t+1(2+t)所以?(t)在[?1,1]上單調(diào)遞增，所以?(?1)≤?(t)≤①當(dāng)2a≥13，即a≥16時(shí)，g'②當(dāng)2a≤0，即a≤0時(shí)，③當(dāng)0<2a<13，即0<a<16時(shí)，若令φ(x)=2ax?13sinx，x∈故存在x0，使x∈0,x0時(shí)，φ所以φ(x)<φ(0)=0，即x∈0,x綜上，a的取值范圍是(1練1【解析】（1）①由題意得，f'0∵f'x=?sinx+xcosx+a,∴f②證明：由①可知，f'x=?sinx+xcosx當(dāng)x∈π2,π時(shí)，f當(dāng)x∈π,3π2時(shí)，f''又f'所以存在唯一的x0∈π,當(dāng)x∈π2,x0當(dāng)x∈x0,3π2時(shí)，所以函數(shù)fx在π2,3π（2）要證對(duì)于區(qū)間π,3π2內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，都有fx由（1）可知，f'x在π,3π所以f'π=?π+a,f'3π當(dāng)f'3π2=1+a≤0，即a≤?1時(shí)，由則f'x<f'3π所以fx<fπ=?2+πa≤?2+π?(ii)當(dāng)f'3π2由（1）②可知：fπ=?2+πa<0f綜上，當(dāng)a≤2π時(shí)，對(duì)于區(qū)間π,3π練2【解析】（1）由題意，函數(shù)fx=a因?yàn)閒x≤0，且f1令gx=a?a因?yàn)間1=0，且g'1=0當(dāng)a=12時(shí)，g'x=1x當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，g'x<0，所以實(shí)數(shù)a的值為12（2）由函數(shù)fx可得f'令?x=3當(dāng)x∈0,3時(shí)，?'當(dāng)x∈3,+∞時(shí)，?'又由?1=0，?e所以?x0∈當(dāng)x∈0,1時(shí)，?x>0，即f當(dāng)x∈1,x0時(shí)，?x<0當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，?x>0所以fx存在唯一極小值點(diǎn)x因?yàn)閤0∈e,又因?yàn)?x0=0，所以lnx0當(dāng)x∈0,3時(shí)，φ'x<0，φx單調(diào)遞減；當(dāng)因?yàn)閤0∈e,綜上可得：?e（3）對(duì)?x∈0,π，F(xiàn)x+1≤G即不等式?1當(dāng)x=0時(shí)，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)b都成立；當(dāng)x∈0,π時(shí)，sinx>0，所以b≥可得g'令?x則?'令φx=1所以φx在0,π上單調(diào)遞減，所以φ所以?'x<0，?x單調(diào)遞減，所以?x又由當(dāng)x→0時(shí)，?12x所以b≥?2，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是[?例2【解析】（1）當(dāng)a＝12時(shí)，則f'x＝e?'x＝ex因此?'x≥1?cosx≥0,所以于是f'x≥f'0＝0，因此函數(shù)fx（2）由（1）知，當(dāng)a≤12當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)函數(shù)fx僅有1當(dāng)a>12時(shí)，因?yàn)閒x設(shè)g(x)=f'(x)=當(dāng)x∈π2,π時(shí)，g'x當(dāng)x∈0,π2φ'因?yàn)閑x>0,a(3所以φ(x)即g'x單調(diào)遞增．又因此g'x在0,π2上存在唯一的零點(diǎn)x當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g'x<0當(dāng)x∈(x0,π2)時(shí)，又f'0因此f'x在x0,π且x1∈x0,π．當(dāng)x∈當(dāng)x∈x1,π時(shí)，f'又f0＝0,fx1＜f因此fx在0,π上有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，a的取值范圍是1練3【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=ex(sinx?e)，

則f'(x)=ex(sinx?e)+excosx=ex(sinx?e+cosx)，

∵sinx+cosx=2sin(x+π4)≤2<e，∴sinx+cosx?e<0，

則只需要證明對(duì)任意的x∈0,+∞，sinx?ax2+2a?e<0．

設(shè)ga=sinx?ax2+2a?e=?x2+2a+sinx?e，看作以a為變量的一次函數(shù)，

要使sinx?ax2+2a?e<0，則g12<0g1<0，即sinx?12x2+1?e<0;=1\?GB3①sinx?x2+2?e<0;=2\?GB3②，

∵sinx+1?e<0恒成立，∴=1\?GB3①恒成立，=(sint2+1)2+34?e≤(54)練4【解析】解：(1)當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)=e則f′(x)=e當(dāng)x∈0,π2所以2所以1≤又ex≥1，所以2所以f(x)在區(qū)間0,π所以f(x)的最小值為f(0)=0．(2)由f(x)=e.xsinx+ax,x∈則f(x)在區(qū)間0,π2上有且只有f′(x)=exsinx+excosx+a，

令?(x)=e所以f′(x)在區(qū)間0,π故f(x)min=f(0)=1+a當(dāng)a≥?1時(shí)，f′(x)≥f′(0)≥0，

則f(x)在區(qū)間0,π2上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間當(dāng)a≤?eπ2時(shí)，f′(x)≤f′π2≤0，則f(x)在區(qū)間0,π2當(dāng)?eπ2則f′(x)在區(qū)間0,π2上只有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為當(dāng)x∈[0,x0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈x0又f(0)=0，fπ2=eπ2+π2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?2例3【解析】（1）由gx=x+mlnx,∴g'當(dāng)m≥0時(shí)，g'x>0，gx當(dāng)m<0時(shí),當(dāng)0<x<?m時(shí)，g'x<0；當(dāng)x>?m時(shí)gx在0,?m上為減函數(shù)，在∴x=?m，gx有極小值綜上知：當(dāng)m≥0，gx無(wú)極值，當(dāng)m<0，gx有極小值（2）證明：令?x=x?asinx，∴∵?1≤cosx≤1,且0<a<1，∴?'x所以當(dāng)0<a<1時(shí)，?x=x?asinx在所以當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，恒有?x當(dāng)m≥0，gx在0,+∞上為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1，?x=x?asinx這時(shí)，y=fx在0,+∞所以不可能存在x1,x2∈0,+∞，滿足當(dāng)設(shè)0<x1<x2∴?mlnx∵x1?sinx1由①②式可得：?mlnx2又lnx1<lnx2，要證x1x2<ma?1④，所以由設(shè)t=x2x1>1令?由?'t=t?12∴?t>?1=0，∴x2?練5【解析】（1）依題意知：x∈0,+∞，f'x=a∴g(x)=alnx+1x+1∵g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴g'x在令g'x=0得：a∴關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等的正根，記為x1,∴Δ>0x1+x2>0x故a的取值范圍為：0,1（2）依題意，要證：xlnx①當(dāng)0<x≤1時(shí)，xlnx②當(dāng)x>1時(shí)，要證：xlnx即要證：xlnx令?(x)=xlnx?ex?″x=1x?令φ(x)=ex?x?1,(x>1)，則當(dāng)x>1時(shí)，φ'x>0，∴φ(x)在1，+∞單調(diào)遞增，即：ex>x+1，(x>1)，當(dāng)x>1時(shí)，0<1x?″x=∴?'x在1，+∞單調(diào)遞減，∴?(x)在1，+∞單調(diào)遞減，∴?(x)<?(1)=1?e?即：xlnx練6【解析】（1）設(shè)g(x)=f'(x)，則g(x)=cosx?當(dāng)x∈?1,π2時(shí)，g'(x)可得g'(x)在?1,π2有唯一零點(diǎn)，設(shè)為α，故則當(dāng)x∈(?1,α)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x∈α,π2所以g(x)在(?1,α)單調(diào)遞增，在α,π2單調(diào)遞減，故g(x)在即f'(x)在?1,π（2）f(x)的定義域?yàn)??1,+∞)．（i）當(dāng)x∈(?1,0]時(shí)，由（1）知，f'(x)在(?1,0)單調(diào)遞增，而所以當(dāng)x∈(?1,0)時(shí)，f'(x)<0，故f(x)在(?1,0)單調(diào)遞減，又從而x=0是f(x)在(?1,0]的唯一零點(diǎn)．（ii）當(dāng)x∈0,π2時(shí)，由（1）知，f'(x)在(0,α)而f'(0)=0，所以存在β∈α,π2且當(dāng)x∈(0,β)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)x∈β,π2故f(x)在(0,β)單調(diào)遞增，在β,π又f(0)=0，fπ2=1?ln1+從而f(x)在0,π2（iii）當(dāng)x∈[π2,π]時(shí)，f'(x)<0，所以f(x)在π2所以f(x)在[π（iv）當(dāng)x∈(π,+∞)時(shí)，ln(x+1)>1，所以f(x)<0，從而f(x)在綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【專題訓(xùn)練】1.【解析】解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x22?x+2sinx，

設(shè)切線斜率為k，因?yàn)閒′(x)=x?1+2cosx，所以k=f′(0)=1，

又f(0)=0，

所以，切線方程是y=x．

(2)?①當(dāng)a≥1時(shí)，因?yàn)閤∈(0,π)，所以sinx>0，所以f(x)=x22?x+asinx≥x22?x+sinx.

記g(x)=x22?x+sinx，則g′(x)=x?1+cosx，令?x=g′x，

?′x=1?sinx.

因?yàn)楫?dāng)x∈(0,π)時(shí)，?′x≥0，所以g′(x)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增，

所以，g′(x)>g′(0)=0，

所以，g(x)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增，

所以，g(x)>g(0)=0，所以f(x)>0．

?②當(dāng)a<1時(shí)，f′(x)=x?1+acosx，令φx=f′x，

2.【解析】(1)f'①當(dāng)a≤0時(shí)，fx在?∞,?1上單調(diào)遞減，在?1,+∞上單調(diào)遞增，所以x=?1為fx②當(dāng)a>0時(shí)，由f'x=0得x=?1（?。┊?dāng)a=1e時(shí)，fx（ⅱ）當(dāng)0<a<1e時(shí)，fx在?∞,在?1,+∞上單調(diào)遞增，所以x=?1為fx（ⅲ）當(dāng)a>1e時(shí)，fx在?∞,?1在lna,+∞上單調(diào)遞增，所以x=?1為fx的極大值點(diǎn)，綜上，a(2)根據(jù)（1）可知a≤0，f?1為唯一的極值，所以?1e所以即證?x≥?1，xex?sinx設(shè)?x=g設(shè)φx=?'x，則φ'x當(dāng)x∈(?1,0]時(shí)，cosx>0,φ當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，所以φ'x=x+3?'0=2>0，?所以?'?1<0，所以?因此當(dāng)x∈?1,x0時(shí)，?'x得g'x在?1,x又g'?1=?因此當(dāng)x∈?1,0時(shí)，g'x<0，當(dāng)所以gx在?1,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，得g所以xe3.【解析】（1）a=2時(shí)，fx=e當(dāng)x≤0時(shí),f'當(dāng)0<x≤π2時(shí),f'x單調(diào)遞增,∴存在x0∈0,π2，使得f'∴fx在?∞,x0∵f0=0，fx∴fx（2）gx=e顯然x=0是gx的極小值點(diǎn)的必要條件為g'0此時(shí)g'x=則?'x又?'x在?1,0上單調(diào)遞增，且?'當(dāng)0<x<π2時(shí),ex>1,cosx>0,0<當(dāng)x>π2時(shí),ex>2,?1<cosx<1,0<故?'x存在唯一的零點(diǎn)x0∴?x在?1,x0∵?0=0，∴?x∴?x即g'x在?1,x0存在唯一的零點(diǎn)x∴gx在?1,x1上單調(diào)遞增，在x∴當(dāng)a=2時(shí)，x=04.【解析】(1)g(x)=a2x2+xcosx?sinx,x∈0,π2,

所以g'(x)=x(a?sinx)，當(dāng)a≥1時(shí)，a?sinx≥0，所以g(x)在0,π2單調(diào)遞增，

又因?yàn)間(0)=0，所以g(x)在0,π2上無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)0<a<1時(shí)，?x0∈0,π2使得sinx0=a，所以g(x)在x0,π2單調(diào)遞減，在0,x0單調(diào)遞增，

又因?yàn)間(0)=0，g(π2)=aπ28?1，

所以若（2）由xex?a=fx?則有ex?a+x?a=x+lnx,令?x=x+lnx?'x=1+1x所以ex?a=x，則有即a=x?lnx,x>0,因?yàn)殛P(guān)于x的方程則方程a=x?lnx,x>0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令φx當(dāng)0<x<1時(shí)，φ'x<0，當(dāng)x>1所以函數(shù)φx=x?lnx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x→0時(shí)，φx→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，5.【解析】解：(1)當(dāng)

a=0

時(shí)，

f(x)=xsinx

，

f′(x)=當(dāng)

x∈0,π2

時(shí)，

sinx>0

，

cosx>0

所以

f(x)

在

0,π2又f(?x)=?xsin(?x)=x所以

f(x)

為偶函數(shù)，所以

f(x)

在

?π2綜上，

f(x)

在

?π2,0

上單調(diào)遞減，在

(2)①由題意可得

f′(x)=sinx+xcosx?acosx=當(dāng)

0<x<π2

時(shí)，

f′(x)=函數(shù)

y=tanx+x

在

0,π2

上單調(diào)遞增，值域?yàn)楫?dāng)

a>0

時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)

x0∈0,π2

又

cosx>0

，所以當(dāng)

0<x<x0

時(shí)，

f′(x)<0

，

當(dāng)

x0<x<π2

時(shí)，

f′(x)>0

，所以當(dāng)

a>0

時(shí)，

f(x)

在

0,π2

上存在極小值點(diǎn)

x當(dāng)

π2<x<π

時(shí)，

f′(x)=函數(shù)

y=tanx+x

在

π2,π

上單調(diào)遞增，值域?yàn)楫?dāng)

a<π

時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)

x′0∈π2,π又

cosx<0

，所以當(dāng)

π2<x<x′0

時(shí)，

f′(x)>0

當(dāng)

x′0<x<π

時(shí)，

f′(x)<0

，

所以當(dāng)

a<π

時(shí)，

f(x)

在

π2,π

上存在極大值點(diǎn)

x又

f′π2=1≠0

，

綜上，若

f(x)

在區(qū)間

(0,π)

上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為

②由

f′x1=0

，得所以

fx1同理可得

fx2由

fx1+fx2=0又

0<x1<x2<π所以

cosx1=?cosx2=cosx2?π

，解得所以

x1+6.【解析】解：(1)

f′(x)=1x+1①當(dāng)

x∈?1,0

時(shí)，易證：

sinx≥x

，所以

f′(x)≥1x+1?x+2x=x2+x+1x+1=x+②當(dāng)

x∈0,π2

時(shí)，設(shè)

g(x)=1x+1?x+2sinx

，則

g′(x)=?1x+12?1+2cosx

，

又設(shè)?(x)=?1(x+1)2?1+2cosx，

則?′(x)=2(x+1)3?2sinx

，由于

2x+13

和

?2sinx當(dāng)

x∈0,x0

時(shí)，

?′(x)>0

，?(x)單調(diào)遞增，即g′x

單調(diào)遞增；

當(dāng)

x∈x0,π2

因?yàn)?/p>

g′(0)=0,g′(π2)<0

，所以存在當(dāng)

x∈0,x1

時(shí)，

g′x>0

，

gx

單調(diào)遞增；

當(dāng)

x∈x1,π因?yàn)?/p>

g0=1,gπ2=2?π2+22+π>0

，所以

綜上所述，函數(shù)

fx

在

?1,π2(2)由(1)知：當(dāng)

x∈(0,x1)

時(shí)，

g′x>0

，

gx

單調(diào)遞增；

當(dāng)

x∈(x1,π2)

時(shí)，

g′x<0

，

gx

單調(diào)遞減；

因?yàn)?/p>

g0=1,gπ令

x=1k2k≥2

，則所以

k=2nsi