第04講線線線面面面平行的判定與性質(zhì)（核心考點講與練）-2023學年高二數(shù)學考試滿分全（滬教版2020必修三）

第04講線線、線面、面面平行的判定與性質(zhì)（核心考點講與練）考點考點考向1.平行直線(1)平行公理過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行.(2)基本性質(zhì)4(空間平行線的傳遞性)平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)定理如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，并且方向相同，那么這兩個角相等.2.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b3.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b方法方法技巧1．線面平行的證明方法（1）定義法：一般用反證法；（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程；（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面．2．構(gòu)造平行直線的常用方法（1）構(gòu)建三角形或梯形的中位線：可直接利用線段的中點、等腰三角形三線合一或利用平行四邊形對角線的交點找中點，從而構(gòu)建中位線；（2）構(gòu)建平行四邊形：可以利用已知的平行關(guān)系(如梯形的上下底邊平行)或構(gòu)建平行關(guān)系(如構(gòu)造兩條直線同時平行于已知直線)，從而構(gòu)建平行四邊形．應用線面平行的性質(zhì)定理時，關(guān)鍵是過已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行，還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)的直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面內(nèi)所有和交線平行的直線都與已知直線平行，所有和交線相交的直線都與已知直線異面．3.判定平面與平面平行的4種方法（1）面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)；（2）面面平行的判定定理(主要方法)；（3）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題可用)；（4）利用平面平行的傳遞性，兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題可用)．利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對于線段長或線段比例問題，常用平行線對應線段成比例或相似三角形來解決．能力拓展能力拓展題型一：線面平行的判定1．（2021·上海市延安中學高二期中）已知正方體，求證：平面.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面平行的判定，即可證明.【詳解】證明：在正方體中，易知，因為平面，平面，所以平面.2．（2021·上海市亭林中學高二階段練習）如圖，在正方體中，E、F分別為棱AD、AB的中點．求證：平面．【分析】連接BD，由三角形中位線定理，根據(jù)正方體的性質(zhì)，利用線面平行的判定定理證明.【詳解】連接BD，如圖所示.因為E、F分別為棱AD、AB的中點，所以EF∥BD,又∵根據(jù)正方體的性質(zhì)，BB1//DD1，∴四邊形BDD1B1為平行四邊形，∴BD//B1D1,∴EF//B1D1,又∵平面，B1D1?平面,∴平面．3．（2021·上海市徐匯中學高二階段練習）在正方體中，是棱的中點．（1）作出平面與平面的交線，保留作圖痕跡；（2）在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，說明點的位置，若不存在，請說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）存在，中點．【分析】（1）延長與交于點，連接即為所求；（2）存在，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，通過證明EG∥A1B可得四點共面，根據(jù)正方體的性質(zhì)得到B1F∥BG，根據(jù)線面平行判定定理即可得結(jié)論.【詳解】（1）延長與交于點，連接，由于，∴，平面又∵平面，∴為面和面的公共點，同時也為面和面的公共點，根據(jù)公理3可得為平面與平面的交線.（2）存在，當為的中點時，滿足題意，理由如下，如圖所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD1，F(xiàn)G，因為A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，因此D1C∥A1B，又E，G分別為D1D，CD的中點，所以EG∥D1C，從而EG∥A1B，這說明A1，B，G，E共面，所以平面A1BE，又F，G為C1D1和CD的中點，，且因此四邊形為平行四邊形B1F∥BG，而平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.題型二：線面平行的性質(zhì)一、單選題1．（2021·上海市第五十四中學高二階段練習）一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線與這兩個平面交線的位置關(guān)系是（

）A．異面 B．相交 C．不能確定 D．平行【答案】D【分析】由題意設，然后過直線作平面與都相交，利用線面平行的性質(zhì)定理與判定定理，即可求解.【詳解】設，過作平面與都相交，記，則有，,.故選:D【點睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理和判定定理綜合應用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題2．（2021·上海·華東師范大學松江實驗高級中學高二階段練習）a，b，c表示直線，M表示平面，給出下列四個命題：①若a∥M，b∥M，則a∥b；②若bM，a∥b，則a∥M；③若a⊥c，b⊥c，則a∥b；④若a⊥M，b⊥M，則a∥b其中正確命題有_________（填序號）【答案】④【分析】對于①②③：在正方體ABCDA1B1C1D1中，取特殊的平面和直線否定結(jié)論對于④：利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明.【詳解】在正方體ABCDA1B1C1D1中，對于①：取平面M為平面ABCD,取直線為直線a，直線為直線b，滿足a∥M，b∥M，但是a、b不平行.故①不正確；對于②：取平面M為平面ABCD,取直線為直線a，直線為直線b，滿足bM，a∥b，但是aM.故②不正確；對于③：取直線為直線a，直線為直線c，直線為直線b,滿足a⊥c，b⊥c，但是a、b不平行.故③不正確；對于④：因為a⊥M，b⊥M，由線面垂直的性質(zhì)定理可得：a∥b.故④正確.故答案為：④.3．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二期中）若直線平面，直線在平面內(nèi)，則直線與的位置關(guān)系為___________.【答案】平行或異面【分析】由直線平面，直線在平面內(nèi)，知，或與異面．【詳解】解：直線平面，直線在平面內(nèi)，則直線與平面內(nèi)任意直線無交點，，或與異面.故答案為：平行或異面.4．（2017·上海市建平中學高二期中）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．【答案】【分析】根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可得,再根據(jù)為的中點可得為的中點,從而根據(jù)三角形的中位線可得.【詳解】如圖:因為平面,平面,且平面平面,所以,又因為為的中點,所以為的中點,所以,因為正方體的棱長為2.所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)定理,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題5．（2021·上海市南洋模范中學高二階段練習）已知空間四邊形，、、、分別在、、、上.（1）當四邊形是平面四邊形時，試判斷、與三條直線的位置關(guān)系，并說明理由；（2）已知當，，異面直線、所成角為，當四邊形是平行四邊形時，試判斷、、、點在什么位置時，四邊形的面積最大，試求出最大面積并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）當、、、分別為、、、中點時，四邊形的面積最大，最大面積為，說明見解析.【分析】（1）先定位置，或、相交，再分情況證明，當時，利用線面平行的性質(zhì)可得，當、相交時，證明相交即可；（2）先根據(jù)線線角得四邊形一內(nèi)角為，利用平行四邊形的面積公式可得四邊形的面積，再根據(jù)相似比可得，即，最后結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：（1）、與三條直線平行，或者相交于一點，因為四邊形是平面四邊形，所以或、相交，①當時，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，所以，所以、與三條直線平行；②當、相交時，設交點為P，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面，又因平面平面，所以，所以、與三條直線相交于一點；（2）當四邊形是平行四邊形時，則，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，同理可得，所以即為異面直線、所成的角或補角，則或，則平行四邊形的面積，在中，，在中，，所以，又因為，當且僅當時，取得最大值，即分別為的中點時，四邊形的面積最大，最大值為.題型三：面面平行的判定一、單選題1．（2021·上海市進才中學高二期中）如圖為正方體ABCD﹣A1B1C1D1，動點M從B1點出發(fā)，在正方體表面沿逆時針方向運動一周后，再回到B1的運動過程中，點M與平面A1DC1的距離保持不變，運動的路程x與l＝MA1+MC1+MD之間滿足函數(shù)關(guān)系l＝f（x），則此函數(shù)圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】可知點M沿著運動，設點P為B1C的中點，分析當M從B1到P時，在平面A1B1CD內(nèi)，作點A1關(guān)于B1B的對稱點A′，由MA1+MD＝MA′+MD，MC1，分析排除即得解【詳解】由于點M與平面A1DC1的距離保持不變，且從B1點出發(fā)，因此點M沿著運動.設點P為B1C的中點，當M從B1到P時，如圖所示在平面A1B1CD內(nèi)，作點A1關(guān)于B1B的對稱點A′，則MA1+MD＝MA′+MD，由圖象可知，當M從B1到P時，MA1+MD是減小的，MC1是由大變小的，所以當M從B1到P時，l＝MA1+MC1+MD是逐漸減小的，故排除B，D；因為PC1是定值，MC1，函數(shù)是減函數(shù)，類似雙曲線形式，所以C正確；故選：C2．（2021·上海市七寶中學高二期中）在三棱臺中，點在上，且，點是三角形內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面平面，則動點的軌跡是（

）A．三角形邊界的一部分 B．一個點C．線段的一部分 D．圓的一部分【答案】C【分析】過作交于，連接，證明平面平面，得，即得結(jié)論．【詳解】如圖，過作交于，連接，，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，所以，（不與重合，否則沒有平面），故選：C．3．（2020·上海虹口·高二期末）設，是兩個不同的平面，是直線且．“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B試題分析：，得不到，因為可能相交，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項.二、填空題4．（2020·上海交大附中高二期中）給出下列命題：①任意三點確定一個平面；②三條平行直線最多可以確定三個個平面；③不同的兩條直線均垂直于同一個平面，則這兩條直線平行；④一個平面中的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面平行；其中說法正確的有_____（填序號）.【答案】②③【解析】對四個選項進行逐一分析即可.【詳解】對①：根據(jù)公理可知，只有不在同一條直線上的三點才能確定一個平面，故錯誤；對②：三條平行線，可以確定平面的個數(shù)為1個或者3個，故正確；對③：垂直于同一個平面的兩條直線平行，故正確；對④：一個平面中，只有相交的兩條直線平行于另一個平面，兩平面才平行，故錯誤.綜上所述，正確的有②③.故答案為：②③.【點睛】本題考查立體幾何中的公理、線面平行的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.5．（2021·上海市亭林中學高二階段練習）正方體中，平面和平面的位置關(guān)系為________；【答案】平行【詳解】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，AB1∩AD1=AC1D?平面BC1D，BC1?平面BC1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我們易得平面AB1D1∥平面BC1D故答案為平行6．（2021·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期中）如圖，在棱長為2的正方體中，??分別為??的中點.點在底面內(nèi)，若直線與平面無公共點，則線段的最小值為___________.【答案】【分析】連結(jié)，，，推導出平面，平面，從而平面平面，推導出點在直線上，在中，，，由此能求出當時，線段的長度最小，并能求出最小值．【詳解】如圖連結(jié)，，，，，分別為，，的中點，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面，平面，點在直線上，在中，當時，線段的長度最小，，，當時，線段的長度最小，最小值為．故答案為：．7．（2021·上海市延安中學高二期中）已知正方體的體積為64，點分別是線段的中點，點在四邊形內(nèi)運動（含邊界），若直線與平面無交點，線段的取值范圍為___________.【答案】【分析】分別取線段、的中點P、Q，連接、、，證明平面平面，可得當G與P（或Q）重合時，CG取最大值，當G在PQ的中點R時，CG有最小值，利用勾股定理求得線段CG的取值范圍．【詳解】分別取線段、的中點P、Q，連接、、，連接EF，，由三角形中位線定理可得，，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理可證，平面，又，∴平面平面，故點G在線段PQ上運動（含端點位置）．當G與P（或Q）重合時，；當G在PQ的中點R時，．∴．故答案為：.8．（2020·上?！とA師大二附中高二期中）已知正三角形的邊長，則到三個頂點的距離都為2的平面有___個；【答案】8【分析】分類討論，三個頂點都在平面的同一側(cè)，三個頂點在平面的兩側(cè)，一側(cè)一個，另一側(cè)兩個．【詳解】若此平面與平面平行，這樣的平面有2個到三頂點距離為；若此平面與平面相交，則一定過三角形其中兩邊的中點，由于三角形邊長為，因此如過的中點和的中點的平面，到三頂點距離為的有兩個，這樣共有6個，所以所求平面?zhèn)€數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題考查點到平面的距離，由于是三角形的三個頂點到平面的距離相等，因此要分類討論，即三角形所在平面與所求平面平行和相交兩種情形，相交時為保證距離相等，平面必定過三角形兩邊中點．屬于較易題.三、解答題9．（2021·上?！の挥袑W高二期中）如圖，在斜三棱柱中，，D為AB的中點，為的中點，平面平面，異面直線與互相垂直.(1)求證：平面平面；(2)已知，設到平面的距離為，試問取何值時，三棱柱的體積最大？并求出最大值.【答案】(1)證明見解析(2)時，體積最大為36【分析】（1）由平面與平面平行的判定證明；（2）結(jié)合幾何關(guān)系（線面垂直、相似三角形）設法先求出，再求出的體積，由體積對應關(guān)系推導出，利用函數(shù)思想通過二次函數(shù)求最值．(1)證明：在斜三棱柱中，四邊形是平行四邊形，且為的中點，為的中點，且，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，連接，如圖所示，，且，則四邊形為平行四邊形，，且平面，平面，平面，，且，平面，平面平面；(2)，為的中點，，平面平面，平面平面，且平面平面，，平面，平面，平面，與平面的距離，平面，，在△中，，則，，平面，則平面，而平面，，且，又，，平面，平面，且平面，，記交點為，則三角形為直角三角形，△，且，，，，，，，，，設，即，當時，即，三棱柱的體積最大，36.題型四：面面平行證明線線平行一、單選題1．（2021·上海大學附屬南翔高級中學高二期中）已知正方體，平面和線段，，，分別交于點E，F(xiàn)，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（

）A．梯形 B．正方形 C．長方形 D．菱形【答案】A【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可以得出，，由此可推斷四邊形EFGH一定為平行四邊形，從而可得出答案.【詳解】因為面面，面面，面面，所以，同理可得，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以截面EFGH的形狀不可能是梯形.若面面，此時四邊形EFGH是正方形，也是菱形；當是所在棱的中點，分別與重合時，四邊形EFGH是長方形.故選：A.2．（2021·上?！じ叨ｎ}練習）如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點??的平面截該正方體所得的截面記為，給出下列三個結(jié)論：①當時，為四邊形；②當時，為等腰梯形；③當時，的面積為；以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)題意作出滿足條件的圖形，由線線，線面，面面關(guān)系結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征找出截面再論證得到結(jié)論.【詳解】當時，即Q為CC1中點時，如圖所示：因為平面平面，所以，又，所以截面APQD1為等腰梯形，故②正確；由上圖當點Q向C移動時，滿足，只需在DD1上取點M滿足，如圖所示：故可得截面APQM為四邊形，故①正確；當時，Q與C1重合，如圖所示：取的中點F，連接AF，因為平面平面，所以，且，又，所以截面APC1F為菱形，所以其面積，故③正確.故選：D【點睛】本題主要考查命題的真假判斷以及正方體的截面問題，還考查了空間想象和推理論證的能力，屬于中檔題.二、填空題3．（2021·上海市進才中學高二期中）已知正三棱錐底面面積，點Q在高上且，則經(jīng)過點且平行于底面的截面面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得經(jīng)過點且平行于底面的截面三角形的邊長與底面邊長之比，由面積之比等于邊長之比的平方即可求解.【詳解】如圖：正三棱錐中，，因為，所以，經(jīng)過Q點且平行于底面的截面為平面，因為平面面，平面面，平面面，所以，同理可證明，所以，所以，所以，故答案為：.三、解答題4．（2021·上海市徐匯中學高二期中）已知正三棱柱的所有棱長都是1(1)畫經(jīng)過ABC三點的截面(2)過棱BC作和底面成二面角的截面，求此截面面積.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接AB與交于點P，連接AC與交于點Q，再連接PQ即可；（2）取BC的中點E，連接AE，EF，得到是截面與底面所成的角，由，得到截面不與棱相交，與平面相交于，得到截面為梯形求解.(1)如圖所示；連接AB與交于點P，連接AC與交于點Q，然后連接PQ與交于點M，與交于點N，所以經(jīng)過ABC三點的截面是ABMN；(2)如圖所示：取BC的中點E，連接AE，EF，則，所以是截面與底面所成的角，即，因為，所以，所以截面不與棱相交，與平面相交于，因為平面平面ABC，所以，所以截面為梯形，又，，所以，因為，所以，所以截面的面積為.5．（2021·上?！偷└街懈叨谥校┮阎襟w的棱長為2，若，分別是的中點，作出過，，三點的截面，并求出這截面的周長.【答案】作圖答案見解析，周長為.【分析】根據(jù)一個平面與兩個平行平面相交交線平行即可做出截面，再根據(jù)平行線分線段成比例，三角形相似、三角形全等利用勾股定理求出截面圖形各個邊長即可求周長.【詳解】連接，因為面面，所以截面與兩平面的交線平行，過點作交于點，連接，同理過點作交于，連接，則五邊形即為所求截面，因為，是的中點，所以，可得，因為，所以，所以，可得，，，因為，所以，所以，，所以，，，，，所以這截面五邊形的周長為.題型五：面面平行證明線面平行一、單選題1．（2019·上?！偷└街懈叨谥校┤鐖D，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面不存在公共點，則三角形的面積的最小值為A． B．1 C． D．【答案】C【分析】延展平面，可得截面,其中分別是所在棱的中點，可得平面,再證明平面平面,可知在上時，符合題意，從而得到與重合時三角形的面積最小，進而可得結(jié)果.【詳解】延展平面，可得截面,其中分別是所在棱的中點，直線與平面不存在公共點，所以平面,由中位線定理可得,在平面內(nèi)，在平面外，所以平面,因為與在平面內(nèi)相交，所以平面平面,所以在上時，直線與平面不存在公共點，因為與垂直，所以與重合時最小，此時，三角形的面積最小，最小值為，故選C.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.二、填空題2．（2021·上海市七寶中學高二階段練習）若直線、是平面內(nèi)的兩條直線，且、均在平面外.則“，”是“”的______條件.【答案】必要不充分【分析】根據(jù)面面平行的判定定理及性質(zhì)結(jié)合充分性和必要性的定義即可得出答案.【詳解】解：若直線、是平面內(nèi)的兩條直線，且、均在平面外，當，，且相交時，，當不相交時，無法判斷兩平面的位置關(guān)系，故“，”不是“”的充分條件，當，則，，所以“，”是“”的必要條件，所以“，”是“”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分.3．（2021·上海市文來中學高二期中）如圖，長方體中，，分別為中點，點P在平面內(nèi)，若直線平面，則線段長度的最小值是___________.【答案】【分析】首先找出過點且與平面平行的平面，然后在所作的平面內(nèi)找線段長度的最小值即可.【詳解】連接，因為分別為中點，所以，又因為面，面，所以面，同理面，又因為，所以面面，因為直線平面，所以點在直線上，且當時，線段的長度最小，在中，，，，所以，，所以，在中，設邊上的高為，則，所以，即線段長度的最小值為.故答案為：.三、解答題4．（2021·上海浦東新·高二期中）已知是矩形所在平面外一點，，分別是，的中點，求證：平面.【分析】解法1：取中點，連接，，由三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊形是平行四邊形，從而得，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論，解法2：取中點，連接，，則由三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)可得，，再由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)論【詳解】解法（1）取中點，連接，，是中點，是中點，，，是矩形邊中點，，，，，所以四邊形是平行四邊形，，且是平面外的一條直線，是平面上的一條直線，平面.解法（2）取中點，連接，，是中點，是中點，所以，因為是的中點，是的中點，所以,因為，，所以，,所以四邊形為平行四邊形所以，因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因為所以平面平面，因為平面，所以平面.題型六：空間平行的轉(zhuǎn)化一、填空題1．（2021·上海市復興高級中學高二期中）過平面外一點與這個平面平行的直線有___________條【答案】無數(shù)【分析】結(jié)合平面的基本性質(zhì)，以及線，面平行判定定理和性質(zhì)定理，即可得到結(jié)論.【詳解】如圖所示，因為點，在平面作兩條相交直線，由直線與點可以確定一個平面，在平面內(nèi)過點作，由直線與點可以確定一個平面，在平面內(nèi)過點作，因為且，設直線與確定平面，則平面，在平面內(nèi)過點的所有直線都平行與平面，故過平面外一點能作出無數(shù)條直線和這個平面平行.故答案為：無數(shù)條.2．（2019·上?！偷└街懈叨谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體中，是平面與平面的交線，則點到的距離是______.【答案】【分析】由//，得到點到的距離即是兩條平行線間的距離，通過A到的距離求出和兩條平行線的距離．【詳解】在正方體中，平面//平面//平面，是平面與平面的交線，//，則點到的距離即是和兩條平行線的距離，而A到的距離也是和兩條平行線的距離．在正方體中，,是正三角形，A到的距離為，則點到的距離也是．故答案為【點睛】本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)，和兩條平行線之間的距離，注意當某些條件不易直接求時，可轉(zhuǎn)換成與其相等的另外條件來求，屬于中等題．二、解答題3．（2021·上海市延安中學高二期中）如圖，作出平面EFG截長方體所得的截面（不必寫出畫圖步驟，但需保留作圖痕跡）．【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理，平面與長方體左右面的交線平行，上下兩個面的交線平行，因此還需過作，交于；過作，交于，連接即可.【詳解】說明：由于不知道三個點的具體位置，故該圖只是可能的一種情形.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海市徐匯中學高二期中）若，是平面外的兩條不同直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)線線、線面的平行關(guān)系，結(jié)合條件間的推出關(guān)系，判斷“”、“”之間的充分、必要關(guān)系.【詳解】∵，是平面外的兩條不同的直線，，∴若，則推出“”；若，則或與相交；∴若，是平面外的兩條不同直線，且，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（2021·上?！じ叨ｎ}練習）在正方體中，為上一點，且，是側(cè)面上的動點，且平面，則與平面所成角的正切值構(gòu)成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別在、上取點、，使得，，連接、，可證明平面平面，由平面知點在線段上，易證為與平面所成角，，設出棱長，可求得的最大值、最小值，從而可得答案．【詳解】解：如圖：分別在、上取點、，使得，，連接、，則，，，，，，，四邊形為平行四邊形，則，，，，，，又，，，，四邊形為平行四邊形，則，且，平面平面，平面，點必在線段上，連接，平面，即為與平面所成角，設正方體棱長為3，則，當為中點時，最短為，當與或重合時，最長為2，，即所求正切值的取值范圍是，故選：C．【點睛】本題主要考查直線與平面所成的角、面面平行的判定及性質(zhì)，考查學生分析問題解決問題的能力及空間想象能力，屬于難題．二、填空題3．（2021·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期中）如圖，四邊形為四面體的一個截面，若四邊形為平行四邊形，，，則四邊形的周長的取值范圍是___________.【答案】【分析】依題意可得，，設，，求出、的關(guān)系式，再求四邊形的周長的取值范圍即可．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，；平面，平面，平面；又平面，平面平面，，同理可得；設，，，，；又，，，，且；四邊形的周長為，；四邊形周長的取值范圍是．故答案為：4．（2021·上?！の挥袑W高二階段練習）已知點M為正方體內(nèi)（含表面）的一點，過點M的平面為，有以下四個結(jié)論：（1）與和都平行的有且只有一個；（2）過點M至少可以作兩條直線與和所在的直線都相交；（3）與正方體的所有棱所成的角都相等的有且只有四個；（4）過點M可以作四條直線與正方體的所有棱所成的角都相等.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】（4）【分析】直接利用線面的夾角，異面直線的定義，三棱錐體的定義和性質(zhì)，線線夾角的應用判斷四個命題的結(jié)論．【詳解】解：已知點為正方體內(nèi)（含表面）的一點，過點的平面為，如圖所示：對于（1）：在平面與平面之間與平面與平面平行的平面均與和平行，如平面，此時點為與正方體相交的任一點，所以與和都平行的有無數(shù)個，故（1）錯誤；對于（2）：不妨設點在處，此時與直線連成的所在線都在平面內(nèi)，而易知與平面平行，所以此時不可能有平面與直線相交，故（2）錯誤；對于（3）：連接△，由于為正方體，所以，且，所以三棱錐為正三棱錐體，所以、、與平面所成的角都相等，由于，，，都平行，，，，都平行，，，，都平行，所以平面與正方體所有的棱所成的角都相等，故只需讓所在的平面與平面平行即可，易知有無數(shù)個，故（3）錯誤；對于（4）：同（3），要使直線與正方體所有棱所成的角相等，只需該直線與正方體某個頂角周圍的三條棱所成的角相等即可，在中，由于為正三棱錐，所以只有過點和△中心的直線與，，所成的角相等，易知該直線為正方體的體對角線，由于正方體由4條互不相同的體對角線，所以只需在點處作與該4條體對角線平行的直線即可，使該4條直線與正方體所有棱所成的角都相等，故（4）正確．故答案為：（4）.5．（2021·上海市新場中學高二期中）以下五個命題，真命題的有_______．（填上全部真命題的序號）（1）垂直于同一直線的兩條直線互相平行；（2）若、是異面直線，則一定存在平面過且與平行；（3）若平面內(nèi)有不在同一直線的三點、、到平面的距離都相等，則；（4）分別位于兩個給定的不同平面、內(nèi)的兩條直線、一定是異面直線；（5）已知直線、和平面，不在內(nèi)，在內(nèi)，若，則平行.【答案】（2）（5）【分析】根據(jù)空間中線線位置關(guān)系可判斷（1），根據(jù)線面平行的判定定理可判斷（2）（5）；舉反例可判斷（3）；根據(jù)面面和線線位置關(guān)系可判斷（4）；進而可得答案.【詳解】對于（1）：在空間中，垂直于同一直線的兩條直線可以平行、相交、異面故（1）是假命題；對于（2）：過上一點作的平行線，則、所確定的平面過且與平行，故（2）是真命題；對于（3）若平面內(nèi)有不在同一直線的三點、、到平面的距離都相等，則或與相交，（當不共線的三點、、在平面的兩側(cè)時，與相交），故（3）是假命題；對于（4）：分別位于兩個給定的不同平面、內(nèi)的兩條直線、可能相交、平行或異面，故（4）是假命題；對于（5）：已知直線、和平面，不在內(nèi)，在內(nèi)，若，則平行，由線面平行的判定定理可知（5）是真命題，所以真命題有（2）（5），故答案為：（2）（5）.6．（2021·上海靜安·高二期末）如圖，在底面邊長為8cm，高為6cm的正三棱柱中，若D為棱的中點，則過BC和D的截面面積等于_________cm2.【答案】【分析】過點作，交于點，連接，四邊形BCED即為過BC和點D的截面，求出四邊形BCED的面積即可.【詳解】過點作，交于點，連接，,則，即四點共面，四邊形BCED即為過BC和點D的截面，因為D為棱的中點，所以DE是的中位線，所以，又因為，所以DE//BC，所以四邊形BCED是梯形；過點D作于點F，則所以截面BCED的面積為故答案為：7．（2021·上海·曹楊二中高二期末）若直線上有三點、、到平面的距離均為1，則直線與平面的位置關(guān)系為______．【答案】平行【分析】由線面的位置關(guān)系和點到平面的距離的定義，可得結(jié)論．【詳解】解：若直線上有三點、、到平面的距離均為1，則直線與平面平行，不可能相交，故答案為：平行．8．（2021·上海南匯中學高二階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別為線段、、的中點，下述四個結(jié)論：①直線、、共點；②直線、為異面直線；③四面體的體積為；④線段上存在一點使得直線平面．其中所有正確結(jié)論的序號為___________．【答案】①②【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對①，如圖，由條件可知，延長、交于點，由平面，平面，平面平面，故，故①正確；對②，平面，而和平面相交一點，且和不相交，故②正確；對③，到平面的距離為到平面的一半，所以，故③錯誤；對④，和相交故不存在使得直線平面，故④錯誤.故答案為：①②9．（2021·上?！じ叨ｎ}練習）如圖，在四面體中，分別為的中點，過任作一個平面分別與直線相交于點，則下列結(jié)論正確的是___________．①對于任意的平面，都有直線，，相交于同一點；②存在一個平面，使得點在線段上，點在線段的延長線上；③對于任意的平面，都有；④對于任意的平面，當在線段上時，幾何體的體積是一個定值.【答案】③④【分析】當分別為中點時，可知三線互相平行，排除①；若三線相交，交點必在上，可排除②；取中點，利用線面平行判定定理可證得平面，平面，再結(jié)合為中點可得到平面的距離相等，進一步得到到直線的距離相等，從而證得面積相等，③正確；首先通過臨界狀態(tài)與重合，與重合時，求得所求體積為四面體體積一半；當不位于臨界狀態(tài)時，根據(jù)③的結(jié)論可證得，從而可知所求體積為四面體體積一半，進而可知為定值，④正確.【詳解】當分別為中點時，，則①錯誤若三線相交，則交點不存在在線段上，在線段延長線上的情況，則②錯誤取中點，如圖所示：分別為中點

又平面，平面

平面同理可得：平面到平面的距離相等；到平面的距離相等又為中點

到平面的距離相等到平面的距離相等連接交于，則為中點

到距離相等，則③正確當與重合，與重合時，此時幾何體體積為三棱錐的體積為中點

三棱錐的體積為四面體體積的一半當如圖所示時，由③可知又為中點

到截面的距離相等

綜上所述，幾何體的體積為四面體體積的一半，為定值，則④正確本題正確結(jié)果：③④【點睛】本題考查立體幾何中的截面問題，涉及到幾何體體積的求解、點到面的距離、直線交點問題等知識；要求學生對于空間中的直線、平面位置關(guān)系等知識有較好的理解，對學生的空間想象能力和邏輯推理能力有較高的要求，屬于難題.三、解答題10．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學高二階段練習）如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點P為DD1的中點.(1)求證：直線BD1平面PAC；(2)求異面直線BD1與AP所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連結(jié)，先證線線平行，再證線面平行即可；（2）由（1）知，，所以即為異面直線與所成的角或補角，然后再解三角形即可.(1)證明：設和交于點O，則O為的中點.連結(jié)，又因為P是的中點，所以.又因為平面平面所以直線平面.(2)由（1）知，，所以即為異面直線與所成的角或補角.在中可得，因為，且，所以.又，所以故異面直線與所成角的大小為.11．（2021·上海市市西中學高二期中）正四棱錐P—ABCD，棱長都為2，E、F、G分別是棱PA、PB、PC的中點(1)求證：平面EFG//平面ABCD；(2)求直線AB到平面PCD的距離【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用中位線先由直線與直線平行得到直線和平面平行，進而證明平面和平面平行；（2）將直線AB到平面PCD的距離利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為點B到平面PCD的距離，再利用等體積公式即可求解.(1)解：因為E、F分別是棱PA、PB的中點，所以EF//AB，又AB在平面ABCD上，且EF不在平面ABCD上所以EF//平面ABCD因為F、G分別是棱PB、PC的中點，所以FG//BC，又BC在平面ABCD上，且FG不在平面ABCD上所以FG//平面ABCD，直線EF與FG交于點F所以平面EFG//平面ABCD(2)解：在正四棱錐中，點P在底面的投影為底面的中心，連接AC、BD交于O，連接PO，如下圖所示由題知，CD//AB，且CD在平面PCD上，AB不在平面PCD上AB//平面PCD，所以直線AB到平面PCD的距離即B到平面PCD的距離設距離為所以由得即解得：所以直線AB到平面PCD的距離為12．（2021·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二階段練習）（1）如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點，、分別是、上的點，且．求證：直線與的交點在直線上．（2）如圖，，點是平面、外一點，從點引三條不共面的射線，，，與平面分別相交于點、、，與平面分別相交于，，，求證△ABC～△A'B'C'．【分析】（1）由已知可得且，所以四邊形為梯形，設兩腰和延長線相交于一點，再證明點面，同理面，點在兩個平面的交線上即可求證；（2）由面面平行的性質(zhì)定理可得，，，再由平行線分線段成比例可得即可求證.【詳解】（1）因為，所以，且，因為、分別是、的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為梯形，所以梯形的兩腰和延長線相交于一點，設交點為，因為，平面，故平面，同理平面，又因為面面，所以，所以三條直線、、交于一點．（2）由題意可知、、、、在同一平面上，面面，面面，又因為，所以，，由題意可知、、、、在同一平面上，面面，面面，又因為，所以，，由題意可知、、、、在同一平面上，面面，面面，又因為，所以，，所以，故△ABC～△13．（2021·上海市復興高級中學高二階段練習）如圖，菱形ABCD的邊長為1，，O為平面ABCD外一點，平面ABCD，，M，N分別為OA與BC的中點.（1）證明：平面OCD；（2）求異面直線AB與MD所成角的大?。唬?）求點B到平面OCD的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）若為中點，連接，易得為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證結(jié)論.（2）由題設，易知異面直線AB與MD所成角即為，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)易知，，應用勾股定理求、，進而利用余弦定理求即可得大小.（3）由等體積法，分別求出、，結(jié)合棱錐的體積公式即可求B到平面OCD的距離.【詳解】（1）若為中點，連接，由M，N分別為OA與BC的中點，∴且，，又ABCD為菱形即，∴且，即為平行四邊形，故，又面OCD，面OCD，則平面OCD；（2）由ABCD為菱形，知：，故異面直線AB與MD所成角即為，連接，又，則，又平面ABCD，面，即，，而，則，，在△中，，又，故.（3）連接，則，由（2）可知：，，∴，即，∴，而，若B到平面OCD的距離為，∴，即.14．（2021·上海市進才中學高二階段練習）已知在正方體中，M，N，P分別為，AD，的中點，棱長為1，（1）求證：平面；（2）過M，N，P三點作正方體的截面，畫出截面（保留作圖痕跡），并計算截面的周長.【答案】（1）證明見解析；（2）截面見解析，截面周長為【分析】（1）連接，先證明，即可證明平面；（2）先作出過M，N，P三點作正方體的截面為，再求出相關(guān)線段的長度，即可求解【詳解】（1）連接，如圖：則易知，，所以,因為平面，平面，所以平面；（2）過M，N，P三點作正方體的截面為，如圖所示：則截面的周長為：，因為正方體棱長為1，則，，所以，所以截面的周長為15．（2021·上?！の挥袑W高二階段練習）用中文表述直線與平面平行的判定定理，并加以證明.【分析】對定理的證明，利用反證法先假設平面外的直線與該平面有公共點，進而得出矛盾即可證明問題.【詳解】線面平行判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.已知：.求證：.證明：因為，所以經(jīng)過a,b確定一個平面β，因為，而，所以.假設與α有公共點P，則，點P是a,b的公共點，這與矛盾，∴.16．（2021·上海市徐匯中學高二階段練習）四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點．（1）證明：平面；（2）設，，求到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，通過中位線證明結(jié)合線面平行的判定定理完成證明；（2）作，先判斷出平面，由此得到線段長度即為到平面的距離，根據(jù)長度以及等面積完成計算.【詳解】（1）如下圖，連接，因為底面為矩形，所以為中點，又因為為的中點，所以，且平面，平面，所以平面；（2）過點作，如圖所示，因為平面，平面，所以，又，，所以平面，所以到平面的距離即為線段的長度，又因為，，所以，所以，即到平面的距離為.17．（2021·上?！とA師大二附中高二階段練習）（1）請用文字語言敘述直線與平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理寫成“已知：……求證：……”的形式，并用反證法證明；（3）如圖，在正方體中，點N在上，點M在，且，求證：平面（用（1）中所寫定理證明）【分析】（1）直接寫出直線與平面平行的判定定理；（2）畫出圖形，根據(jù)圖形寫出已知和求證；先假設a與不平行，則相交，設交點為A，在內(nèi)過A作，再利用平行公理四找出矛盾即可；（3）作,交于點,作,交于點,連接，易證四邊形MEFN是平行四邊形,得到，再利用線面平行的判定定理證明.【詳解】（1）平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.（2）如圖所示：已知：，求證：，證明：假設a與不平行，則它們相交，設交點為A，那么A∈，∵，∴A不在b上，在內(nèi)過A作，則，又∵，，∴，與矛盾，∴假設不成立，.（3）如圖，作,交于點,作,交于點,連接，則,因為在正方體中，，，所以,則,因為,所以,又,則，所以四邊形MEFN是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面.18．（2021·上海市建平中學高二期中）在四棱錐中，底面是正方形，平面，，．（1）分別取側(cè)棱、中點、，證明：直線與平面平行；（2）求四棱錐的表面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理即可證明；（2）先證明的形狀，再根據(jù)圖形面積公式計算即可．【詳解】（1）連接，因為、分別為、中點，所以又因為平面，面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，同理又平面，所以又因為是正方形，所以，，所以平面又平面，所以，同理則四棱錐的表面積19．（2021·上海市延安中學高二期中）如圖所示，有矩形所在平面外一點，平面，，，，為的中點．（1）求點到平面的距離；（2）探究在直線上是否存在點，使得面？若存在，求出此時的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）求出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得到平面的距離；（2）分別取、的中點、，連接、、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，延長至點，使得，利用中位線的性質(zhì)得出，進而得出，利用線面平行的判定定理可得出面，并求出此時的長，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）如下圖所示，連接，為的中點，則，且平面，故，平面，、平面，則，，由勾股定理可得，，，，所以，，故，所以，，故，解得；（2）分別取、的中點、，連接、、，、分別為、的中點，則且，因為四邊形為矩形，則且，為的中點，則且，故且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，延長至點，使得，則為的中點，又因為為的中點，故，，因為平面，平面，故平面，此時.20．（2021·上海市控江中學高二期中）中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只