第十三章立體幾何初步（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第十三章立體幾何初步（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．菱形ABCD在平面α內(nèi)，PC⊥α，則PA與對(duì)角線BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交但不垂直C．異面垂直 D．相交垂直【答案】C．【解析】因?yàn)镻C⊥平面α，所以PC⊥BD.又在菱形ABCD中，AC⊥BD，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC.又PA?平面PAC，所以BD⊥PA.顯然PA與BD異面，故PA與BD異面垂直．2．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿(mǎn)足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【答案】C【解析】選項(xiàng)A，只有當(dāng)m∥β或m?β時(shí)，m∥l；選項(xiàng)B，只有當(dāng)m⊥β時(shí)，m∥n；選項(xiàng)C，由于l?β，∴n⊥l；選項(xiàng)D，只有當(dāng)m∥β或m?β時(shí)，m⊥n.3.我國(guó)古代《九章算術(shù)》里，記載了一個(gè)“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈．問(wèn)積幾何？其意思是：今有上、下底面皆為長(zhǎng)方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長(zhǎng)3丈，上底寬3丈，長(zhǎng)4丈，高3丈．問(wèn)它的體積是多少？該書(shū)提供的算法是：上底長(zhǎng)的2倍與下底長(zhǎng)的和與上底寬相乘，同樣下底長(zhǎng)的2倍與上底長(zhǎng)的和與下底寬相乘，將兩次運(yùn)算結(jié)果相加，再乘以高，最后除以6.則這個(gè)問(wèn)題中的芻童的體積為()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈【答案】B【解析】由題意知，芻童的體積為[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．4.已知圓臺(tái)的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓環(huán)(如圖所示)，則圓臺(tái)的下底面積與上底面積之差為()A．1cm2 B．πcm2C．eq\f(1,2)cm2 D．eq\f(π,2)cm2【答案】選B．【解析】設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r1，r2，因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓環(huán)，所以圓臺(tái)的側(cè)面積為eq\f(1,2)π(2r2)2－eq\f(1,2)π(2r1)2＝2π，所以πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝π，所以圓臺(tái)的下底面積與上底面積之差為πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝π；故選B．5．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1＝BC，P為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線PB與B1C所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】選D．【解析】如圖，連接B1C，BC1，AD1，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1＝BC，所以BC1⊥B1C.因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，所以AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥B1C.因?yàn)锳B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.因?yàn)镻B?平面ABC1D1，所以B1C⊥PB，故異面直線PB與B1C所成角的大小為90°.故選D．6．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿(mǎn)足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定【答案】選D．【解析】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，滿(mǎn)足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C．若l4＝DC1，則l1與l4相交；若l4＝BA，則l1與l4異面；若l4＝C1D1，則l1與l4相交且垂直．綜上，l1與l4的位置關(guān)系不確定．故選D．7．如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】選C．【解析】因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC?平面ABC，AC?平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故選C．8．已知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于4＋4eq\r(3)，則球O的體積等于()A．eq\f(4\r(2),3)π B．eq\f(8\r(2),3)πC．eq\f(16\r(2),3)π D．eq\f(32\r(2),3)π【答案】選B．【解析】由題意可知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)體積最大時(shí)，可以判定該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可知底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度的一半為球的半徑r，且四棱錐的高h(yuǎn)＝r，進(jìn)而可知此四棱錐的四個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為eq\r(2)r的正三角形，底面為邊長(zhǎng)為eq\r(2)r的正方形，所以該四棱錐的表面積為S＝4×eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)r)2＋(eq\r(2)r)2＝2eq\r(3)r2＋2r2＝(2eq\r(3)＋2)r2＝4＋4eq\r(3)，因此r2＝2，r＝eq\r(2)，所以球O的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×2eq\r(2)＝eq\f(8\r(2)π,3)，故選B．二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PCC．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC【答案】選ABC．【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中點(diǎn)，所以AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC，故B，C正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，因此PB與CD不垂直，從而PB不與平面ADC垂直，D錯(cuò)誤．故選ABC．10．正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為棱BC和CC1的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是()A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．異面直線A1C與PQ所成的角為90°D．平面AQP截正方體所得截面為等腰梯形【答案】選ACD．【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，P，Q分別為棱BC和CC1的中點(diǎn)，所以PQ∥BC1，利用線面平行的判定定理可得BC1∥平面AQP，所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，在正方體中AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又A1D⊥AD1，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，若A1D⊥平面AQP，則平面ABC1D1∥平面AQP，這與平面ABC1D1與平面AQP相交矛盾，所以B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，與選項(xiàng)B同理可證BC1⊥平面A1B1C，又PQ∥BC1，所以PQ⊥平面A1B1C，從而得到PQ⊥A1C，即異面直線A1C與PQ所成角為90°，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，在正方體中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，平面AQP∩平面AA1D1D＝AD1，平面AQP∩平面BB1C1C＝PQ，所以AD1∥PQ，所以平面AQP截正方體所得截面為四邊形APQD1，因?yàn)镻Q≠AD1，AP＝D1Q，即四邊形APQD1為等腰梯形，所以D正確；故選ACD．11．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論不正確的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′－BCD的體積為eq\f(1,3)【答案】ACD【解析】因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因?yàn)镃D∩A′D＝D，CD，A′D?平面A′CD，所以BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，所以∠BA′C＝90°，B正確，其余均不正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12.如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm.當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的eq\f(2,3)(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高是________cm.【答案】eq\f(16,9)【解析】由題意得當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，底面半徑為2cm.高為4cm，所以體積為eq\f(1,3)×4π×4＝eq\f(16π,3)(cm3)，當(dāng)細(xì)沙全部在下部時(shí)，底面半徑為3cm，高為hcm，所以體積為eq\f(1,3)×9π×h＝3πh(cm3).所以eq\f(16π,3)＝3πh，解得h＝eq\f(16,9).故答案為eq\f(16,9).13．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E是SA上一點(diǎn)，當(dāng)SE∶SA＝________時(shí)，SC∥平面EBD.【答案】1∶2【解析】連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．因?yàn)镾C∥平面EBD.且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以點(diǎn)E是SA的中點(diǎn)，此時(shí)SE∶SA＝1∶2.14．一塊正方形薄鐵皮的邊長(zhǎng)為4，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，剪下一個(gè)最大的扇形，用這塊扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的容積為_(kāi)_______．(鐵皮厚度忽略不計(jì))【答案】eq\f(\r(15)π,3)【解析】如圖所示，剪下最大的扇形的半徑即圓錐的母線長(zhǎng)l等于正方形的邊長(zhǎng)4，扇形的弧長(zhǎng)＝eq\f(1,4)×(2π×4)＝2π，即為圓錐的底面周長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(15)，所以圓錐的容積為eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(15)π,3).四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15.(本小題滿(mǎn)分13分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O.(1)求證：BD1∥平面MAC；(2)求證：平面BDD1⊥平面MAC．證明：(1)連接MO，因?yàn)镸，O分別為DD1，BD的中點(diǎn)，所以BD1∥MO，因?yàn)锽D1?平面MAC，MO?平面MAC，所以BD1∥平面MAC.(2)正方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC.因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC.因?yàn)锽D，DD1是平面BDD1內(nèi)兩相交直線，所以AC⊥平面BDD1，因?yàn)锳C?平面MAC，所以平面BDD1⊥平面MAC.16.(本小題滿(mǎn)分15分)在①PA⊥平面ABC，②∠ABC＝60°，③點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的垂心，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．在三棱錐P-ABC中，PA＝AB＝AC＝6.若________，求三棱錐P-ABC的體積．【解析】若選擇①和②，因?yàn)锳B＝AC＝6，∠ABC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，所以S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA即為點(diǎn)P到平面ABC的距離，且PA＝6，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).若選擇①和③，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以點(diǎn)A為點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影，又因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的垂心，所以點(diǎn)A即為△ABC的垂心，所以∠BAC＝90°，因?yàn)锳B＝AC＝6，所以三角形ABC是等腰直角三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×62＝18，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA即為點(diǎn)P到平面ABC的距離，且PA＝6，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×18×6＝36.若選擇②和③，因?yàn)锳B＝AC＝6，∠ABC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，所以S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，設(shè)△ABC的中心為點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為等邊△ABC的重心、垂心，且OA＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×6))＝2eq\r(3)，因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的垂心，即O點(diǎn)，所以PO⊥平面ABC，所以PO即為點(diǎn)P到平面ABC的距離，且PO＝eq\r(62－（2\r(3)）2)＝2eq\r(6)，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PO＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×2eq\r(6)＝18eq\r(2).17.(本小題滿(mǎn)分15分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1⊥CC1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，A1B1的中點(diǎn)，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1.(1)求證：B1C1⊥A1C；(2)求證：EF∥平面A1C1CA.【解析】證明：(1)因?yàn)锽1C1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1＝C1C，B1C1?平面BCC1B1，則B1C1⊥平面ACC1A1.又因?yàn)锳1C?平面A1C1CA，所以B1C1⊥A1C.(2)取A1C1的中點(diǎn)G，連接FG，GC.在△A1B1C1中，因?yàn)镕，G分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以FG∥B1C1且FG＝eq\f(1,2)B1C1.在平行四邊形BCC1B1中，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以EC∥B1C1且EC＝eq\f(1,2)B1C1，所以EC∥FG，且EC＝FG，所以四邊形FECG是平行四邊形，所以EF∥GC.又因?yàn)镋F?平面A1C1CA，GC?平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.18.(本小題滿(mǎn)分17分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)求證：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大?。窘馕觥?1)證明：如圖所示，連接BD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形且∠BCD＝60°，所以△BCD是等邊三角形．因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD.因?yàn)锳B∥CD，所以BE⊥AB.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.因?yàn)镻A∩AB＝A，所以BE⊥平面PAB.又因?yàn)锽E?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知BE⊥平面PAB，PB?平面P