2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)解三角形第3節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案含解析理

PAGE1-第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)[考綱傳真]1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性．1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]圖象的五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]圖象的五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))值域[－1,1][－1,1]R周期性周期為2π周期為2π周期為π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性遞增區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，遞減區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z遞增區(qū)間：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z遞增區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z對稱性對稱中心(kπ，0)，k∈Z對稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z對稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z對稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)對稱軸x＝kπ(k∈Z)eq\o([常用結(jié)論])1．對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．2．奇偶性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，則①f(x)為奇函數(shù)的充要條件：φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z；②f(x)為偶函數(shù)的充要條件：φ＝kπ，k∈Z.[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)正切函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)． ()(2)y＝sin|x|是偶函數(shù)． ()(3)函數(shù)y＝sinx的圖象關(guān)于點(diǎn)(kπ，0)(k∈Z)中心對稱． ()(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1. ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))的最小正周期為()A.eq\f(2,π)B.eq\f(π,2) C．2π D．2D[T＝eq\f(2π,π)＝2，故選D.]3．函數(shù)y＝tan2x的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,8)，k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))D[由2x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，∴y＝tan2x的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)))).]4．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，x∈[－2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π，－\f(5π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2π，－\f(5π,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，\f(π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2π))C[令z＝eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)，函數(shù)y＝sinz的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)得4kπ－eq\f(5π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(π,3)，而x∈[－2π，2π]，故其單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，\f(π,3)))，故選C.]5．(教材改編)函數(shù)f(x)＝4－2coseq\f(1,3)x的最小值是________，取得最小值時(shí)，x的取值集合為________．2{x|x＝6kπ，k∈Z}[f(x)min＝4－2＝2，此時(shí)，eq\f(1,3)x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合為{x|x＝6kπ，k∈Z}．]三角函數(shù)的定義域、值域【例1】(1)函數(shù)y＝eq\r(2sinx－\r(3))的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,3)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)(2)函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(3\r(3),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，3))(3)(2024·長沙模擬)函數(shù)f(x)＝cos2x＋6coseq\f(π,2)－x的最大值為()A．4B．5 C．6 D．7(1)B(2)B(3)B[(1)由2sinx－eq\r(3)≥0得sinx≥eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(π,3)＋2kπ≤x≤eq\f(2,3)π＋2kπ(k∈Z)，故選B.(2)因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))，故選B.(3)∵f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))2＋eq\f(11,2)，又sinx∈[－1,1]，∴當(dāng)sinx＝1時(shí)，f(x)取得最大值5.故選B.][規(guī)律方法]1三角函數(shù)定義域的求法,求三角函數(shù)定義域事實(shí)上是構(gòu)造簡潔的三角不等式組，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.2三角函數(shù)值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域干脆求.②把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asinωx＋φ的形式求值域.③把sinx或cosx看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.④利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.(1)函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．2－eq\r(3) B．0C．－1 D．－1－eq\r(3)(2)函數(shù)y＝eq\f(1,tanx－1)的定義域?yàn)開_______．(3)函數(shù)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開_______．(1)A(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)＋\r(2)))[(1)因?yàn)?≤x≤9，所以－eq\f(π,3)≤eq\f(πx,6)－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).所以y∈[－eq\r(3)，2]，所以ymax＋ymin＝2－eq\r(3).(2)要使函數(shù)有意義，必需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))故函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).(3)設(shè)t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝eq\f(t2－1,2)(－eq\r(2)≤t≤eq\r(2))，y＝t＋eq\f(1,2)t2－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，當(dāng)t＝eq\r(2)時(shí)，y取最大值為eq\r(2)＋eq\f(1,2)，當(dāng)t＝－1時(shí)，y取最小值為－1.所以函數(shù)值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)＋\r(2))).]三角函數(shù)的單調(diào)性【例2】(1)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))的單調(diào)減區(qū)間為________．(2)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的一個單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(5π,8)))，則ω＝________.(3)(2024·全國卷Ⅱ改編)若函數(shù)f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是________．(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z(2)2(3)eq\f(3π,4)[(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間就是函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的增區(qū)間．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z.故所給函數(shù)的減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.(2)由eq\f(π,8)≤x≤eq\f(5π,8)得eq\f(π,8)ω＋eq\f(π,4)≤ωx＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,8)ω＋eq\f(π,4).又函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)ω＋\f(π,4)＝2kπ＋\f(π,2)，,\f(5,8)πω＋\f(π,4)＝2kπ＋\f(3,2)π，))k∈Z即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝16k＋2,ω＝\f(16,5)k＋2))，解得ω＝2.(3)f(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，當(dāng)x∈[0，a]時(shí)，eq\f(π,4)≤x＋eq\f(π,4)≤a＋eq\f(π,4)，由題意知a＋eq\f(π,4)≤π，即a≤eq\f(3π,4)，故所求a的最大值為eq\f(3π,4).][拓展探究]本例(2)中，若函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是減函數(shù)，試求ω的取值范圍．[解]由eq\f(π,2)＜x＜π，得eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)＜ωx＋eq\f(π,4)＜πω＋eq\f(π,4)，由題意，知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)，πω＋\f(π,4)))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))，k∈Z，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)≥2kπ＋\f(π,2)，k∈Z,πω＋\f(π,4)≤2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z，))∴4k＋eq\f(1,2)≤ω≤2k＋eq\f(5,4)，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4).[規(guī)律方法]三角函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略1已知三角函數(shù)的解析式求單調(diào)區(qū)間①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡潔化原則，將解析式先化簡，并留意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φ其中ω＞0的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.但假如ω＜0，那么肯定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.2已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),已知函數(shù)y＝Asinωx＋φ的單調(diào)性求參數(shù)，可先求t＝ωx＋φ的范圍a，b，再依據(jù)a，b是函數(shù)y＝Asint的單調(diào)區(qū)間的子集關(guān)系列不等式組求解.(1)函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)遞增區(qū)間是________．(2)若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω＝________.(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z)(2)eq\f(3,2)[(1)由－eq\f(π,2)＋kπ＜2x－eq\f(π,3)＜eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)＜x＜eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)(k∈Z)．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12))).(2)∵f(x)＝sinωx(ω＞0)過原點(diǎn)，∴當(dāng)0≤ωx≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,2ω)時(shí)，y＝sinωx是增函數(shù)；當(dāng)eq\f(π,2)≤ωx≤eq\f(3π,2)，即eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)時(shí)，y＝sinωx是減函數(shù)．由f(x)＝sinωx(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減知，eq\f(π,2ω)＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(3,2)，此時(shí)，eq\f(3π,2ω)＝π＞eq\f(π,2)，符合題意，故ω＝eq\f(3,2).]三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性?考法1三角函數(shù)的周期性【例3】(2024·大連模擬)在函數(shù)：①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋eq\f(π,6)，④y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期為π的全部函數(shù)為()A．②④ B．①③④C．①②③ D．①③C[①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝π.②由圖象知，函數(shù)的周期T＝π.③T＝π.④T＝eq\f(π,2).綜上可知，最小正周期為π的全部函數(shù)為①②③，故選C.]?考法2三角函數(shù)的奇偶性【例4】函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))，φ∈(0，π)滿意f(|x|)＝f(x)，則φ的值為________．eq\f(5π,6)[由題意知f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，∴f(0)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ－\f(π,3)))＝±3，∴φ－eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝eq\f(5π,6).]?考法3三角函數(shù)的對稱性【例5】(1)下列函數(shù)的最小正周期為π且圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱的是()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))(2)假如函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心對稱，那么|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)(1)B(2)A[(1)依據(jù)函數(shù)的最小正周期為π知，解除C，又當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，2x＋eq\f(π,3)＝π，2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，2x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)，故選B.(2)由題意得3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(4π,3)＋φ))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ＋2π))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值為eq\f(π,6).][規(guī)律方法]三角函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性問題的解題思路1奇偶性的推斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式.2周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y＝Asinωx＋φ，y＝Acosωx＋φω＞0的最小正周期為，函數(shù)y＝Atanωx＋φω＞0的最小正周期為求解.3對稱性的推斷：對于函數(shù)y＝Asinωx＋φ，其對稱軸肯定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)肯定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在推斷直線x＝x0或點(diǎn)x0，0是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢驗(yàn)fx0的值進(jìn)行推斷.(1)(2024·石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，則|φ|的最小值為()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(5π,12)(2)若函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω∈N*)圖象的一個對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，則ω的最小值為()A．1B．2 C．4 D．8(1)B(2)B[(1)由題意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，|φ|取得最小值eq\f(π,6)，故選B.(2)由題意知eq\f(πω,6)＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2，故選B.]1．(2024·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期為()A．4πB．2π C．π D.eq\f(π,2)C[函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.故選C.]2．(2024·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)的最小正周期為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C．π D．2πC[f(x)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)＝eq\f(\f(sinx,cosx),1＋\f(sin2x,cos2x))＝eq\f(sinxcosx,cos2x＋sin2x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.故選C.]3．(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，則下列結(jié)論錯誤的是()A．f(x)的一個周期為－2πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對稱C．f(x＋π)的一個零點(diǎn)