湖北省武漢市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷含解析

Page14湖北省武漢市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷試卷滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則集合A真子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】先解不等式得到，從而求出真子集個(gè)數(shù).【詳解】，共有4個(gè)元素，故集合A的真子集個(gè)數(shù)為.故選：C2.已知集合，，則（）A.2,+∞ B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別求出集合A、B，再求.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單減，在上單增，所以，要使函數(shù)有意義，只需，解得，所以，所以3.集合，下列不能表示從A到B函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】ABD選項(xiàng)，求出值域均為集合的子集，且對(duì)每一個(gè)，有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)；C選項(xiàng)，求出值域不是集合的子集，故C不能表示從A到B的函數(shù).【詳解】A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)每一個(gè)，有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)，故A能表示從A到B的函數(shù)；B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)每一個(gè)，有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)，故B能表示從A到B的函數(shù)；C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，故C不能表示從A到B的函數(shù)；D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)每一個(gè)，有唯一確定與其對(duì)應(yīng)，故D能表示從A到B的函數(shù)；故選：C4.命題“對(duì)，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出命題為真命題時(shí)的充要條件，然后再結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行選擇即可．【詳解】因?yàn)椋葍r(jià)于，恒成立，設(shè)，則．所以命題為真命題的充要條件為，所以命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以為a≥1．故選C．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是得到命題為真命題時(shí)的充要條件，由于求的是命題為真時(shí)的一個(gè)充分不必要條件，故所選的范圍應(yīng)是充要條件對(duì)應(yīng)范圍的真子集，考查對(duì)充分條件、必要條件概念的理解．5.一元二次不等式的解集是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，一元二次不等式對(duì)任意恒成立，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，一元二次不等式對(duì)任意的恒成立，所以，，解得.故選：D.6.命題使得成立，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由是假命題，則命題的否定為真命題，寫出命題的否定，利用分離參數(shù)的方法求解即可．【詳解】命題，使得成立，若是假命題，則命題的否定為：，成立，為真命題．所以在上恒成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以.故選：A7.若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.8.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)基本不等式求得，進(jìn)而由高斯函數(shù)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，，則，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中正確的為（）A.集合，若集合有且僅有2個(gè)子集，則的值為B.若一元二次不等式的解集為，則的取值范圍為C.設(shè)集合，，則“”是“”的充分不必要條件D.若正實(shí)數(shù)，，滿足，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中的條件逐一分析，對(duì)于選項(xiàng)A，結(jié)合條件可知集合中只有一個(gè)元素，分類討論和兩種情況，求出的值，即可判斷A選項(xiàng)；對(duì)于選項(xiàng)B，一元二次不等式的解集為，可得，求出的取值范圍，即可判斷B選項(xiàng)；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)子集的含義和充分不必要條件的定義，即可判斷C選項(xiàng)；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)基本不等式求和的最小值，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】解：對(duì)于A，因集合有且僅有2個(gè)子集，則集合中只有一個(gè)元素，當(dāng)，，符合題意；當(dāng)，，綜上所述，可得，，故A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B，因一元二次不等式的解集為，已知為一元二次不等式，可知，可得且，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，則或，所以“”是“”的充分不必要條件，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，因正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10.已知不等式的解集是，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.B.C.若不等式的解集為，則D.若不等式的解集為，且，則【答案】ABD【解析】【分析】由三個(gè)“二次”的關(guān)系可知，相應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，結(jié)合韋達(dá)定理就可判斷.【詳解】由題意．，∴，所以A正確；對(duì)于B：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，所以B正確；對(duì)于C：由韋達(dá)定理，知，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由韋達(dá)定理，知，則，解得，所以D正確；故選：ABD．11.下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若，則最小值為4B.若，則的最大值為C.若，則的最小值為2D.若，且，則的最大值為7【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，直接使用基本不等式即可；B選項(xiàng)，變形后使用基本不等式；C選項(xiàng)，使用基本不等式，但不滿足等號(hào)成立的條件，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，則，，從而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，從而得到的最大值.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；B選項(xiàng)，若，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，B正確；C選項(xiàng)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但無(wú)解，故最小值取不到，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，則，，則，因?yàn)?，所以，其中，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】利用基本不等式求解最值問題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時(shí)，常常需要變形，比如湊項(xiàng)法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等三、填空題，本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用集合法，將是的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為兩集合間真包含關(guān)系，列出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】因?yàn)?，，且是的必要不充分條件，所以是的真子集，且不是空集.所以且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為:.【點(diǎn)睛】解決根據(jù)充分條件和必要條件條件求參數(shù)取值范圍的問題：一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的包含、相等關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.13.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域，利用替換思想求解即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14.已知存在，不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為即可，，由，令，，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，從而求出的范圍即可．【詳解】若存在，不等式成立，即即可，，由，令，，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，而，的最大值是2，故，故，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的有解問題，一般通過變量分離，將不等式有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題：1.有解；2.有解.四、解答題，本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）求；（2）若是的必要條件，求m的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，，利用并集和補(bǔ)集的概念求出答案；（2）根據(jù)必要條件得到，從而得到不等式，求出m的取值范圍.【小問1詳解】等價(jià)于，解得，，故，則或；【小問2詳解】是的必要條件，故，，，故，解得，故m的取值范圍是16.（1）已知不等式的解集為，求的最小值．（2）設(shè)不等式的解集為A，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，再利用基本不等式求出最小值；（2）分與兩種情況，得到不等式，求出a的取值范圍.【詳解】（1）由題意得為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，則，因?yàn)?，所以，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4；（2），當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，要滿足，則，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.17.2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本3000萬(wàn)元，生產(chǎn)（百輛），需另投入成本萬(wàn)元，且,由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)為6萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出2019年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2019年年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？求出最大利潤(rùn)？【答案】（1）；（2）產(chǎn)量為百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）分與兩種情況分別求出的表達(dá)式后，將其寫成分段函數(shù)的形式即可．（2）當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，當(dāng)時(shí)，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，再比較即可得到的最大值和相應(yīng)的的取值．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，．（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即年年產(chǎn)量為百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.18.已知．（1）當(dāng)，時(shí)，求的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，求時(shí)的取值集合．【答案】（1）或；（2）答案見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)分式的性質(zhì)，利用分子常數(shù)化，轉(zhuǎn)化為基本不等式進(jìn)行求解即可．（2）將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，討論參數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；所以的取值范圍為或（2）當(dāng)時(shí)，，即，，①當(dāng)時(shí)，解集為；②當(dāng)時(shí)，解集為或；③當(dāng)，即，解集為；④當(dāng)，即時(shí)，解集為；⑤當(dāng)，即時(shí)，解集為；19.已知實(shí)數(shù)集，定義．（1）若，求；（2）若，求集合A；（3）若A中的元素個(gè)數(shù)為9，求的元素個(gè)數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）或者.（3）13【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的新定義直接求解即可；（2）根據(jù)可得，然后分中4個(gè)非零元素，符號(hào)為一負(fù)三正或者一正三負(fù)進(jìn)行討論即可；（3）分中沒有負(fù)數(shù)和中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況進(jìn)行討論即可求解.【小問1詳解】;【小問2詳解】首先，；其次中有4個(gè)非零元素，符號(hào)為一負(fù)三正或者一正三負(fù).記，不妨設(shè)或者--①當(dāng)時(shí)，，相乘可知，從而，從而，所以；②當(dāng)時(shí)，與上面類似的方法可以得到進(jìn)而，從而所以或者.【小問3詳解】估值+構(gòu)造需要分