整式的乘法七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三（滬科版）

專題8.2整式的乘法【十大題型】

【滬科版】

【題型?整式乘法中的求值問題】................................................................1

【題型2整式乘法中的不含某項問題】...........................................................2

【題型3整式乘法中的錯看問題】................................................................4

【題型4整式乘法中的遮擋問題】................................................................5

【題型5整式乘法的計算】......................................................................6

【題型6整式乘法的應(yīng)用】......................................................................7

【題型7整式除法的運算與求值】...............................................................10

【題型8整式除法的應(yīng)用】.....................................................................12

【題型9整式乘法中的新定義】.................................................................15

【題型10整式乘法中的規(guī)律探究】...............................................................18

”加產(chǎn)一支三

【知識點1整式的乘法】

（2個2）.（；孫）="丁3

單項式X單項式：系數(shù)相乘，字母相乘.

單項式X多項式：乘法分配律.m(a+b+c)=itui+mb+me

多項式X多項式：乘法分配律.(.'w+n)(a+b)=ma+mb+na+nh

【題型1整式乘法中的求值問題】

【例1】（x+〃?）（x-a）=^+ax+l（小，〃為整數(shù)），則。的值可能是（）

A.7B.-7C.8D.-9

【分析】根據(jù)多項式乘多項式的乘法法則(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+川解決此題.

【解答】解：(x+m)(x-ri')=JC-iix+mx-/??/:=x2+(m-n)x-mn.

*.*(x+w)(x~n)=x2+ax+7(m,〃為整數(shù))，

.\m-n=a,-mn=l.

?，?/〃=1,n=-7m=-1,〃=7或〃?=7,〃=-1或〃?=-7,n=1.

',a=m-〃=8或-8.

故選：C.

【變式1?1】(2022春?汝州市校級月考)若(5x+2)(3?x)=?5『+履+〃，則代數(shù)式；(k

-p)2的值為()

A.98B.49C.14D.7

【分析】根據(jù)多項式乘多項式的法則把等式的左邊進(jìn)行計算后，與等式的右邊對比，即

可求出&和〃的值，進(jìn)而即可得出答案.

【解答】解：???(5x+2)(3-x)=?5『+人?+",

:.15x-5^+6-2x=-5/+心+p,

:.-5/+13工+6=-5/+丘+〃，

??k—13,/?—6,

:.(k-p)2=(13-6)2=72=49,

故選：B.

【變式1-2](2022春?諸暨市期末)若A、B、C均為整式，如果4?8=C,則稱A能整除

C,例如由(x+3)(x-2)=/+工-6,可知x-2能整除『+.”6.若已知x-3能整除

W+云-7,則我的值為()

A.B.C.；D.；

3333

【分析】利用給出的定義進(jìn)行整式的相關(guān)運算，求出女的值.

【解答】解：由題意可令(x-3)(x+a)=f+履?7,

.,.x2+(a-3)x-3〃=/+"-7,

???-3〃=-7,a=p

a-3=&,k=——3=-

33

故選：B.

【變式1-3](2022春?江都區(qū)期中)如果(x+a)(A+Z))=^+mx-12(其中a,〃都是整

數(shù))，那么加可取的值共有()

A.2個B.4個C.6個D.8個

【分析】直接利用多項式乘以多項式分析得出答案.

【解答】解：V(x+fl)(.x+b)=x2+/?tr-121

:.當(dāng)a=1,b=-12時，m=-11；

當(dāng)a=?l,。=12時，〃?=11；

當(dāng)。=2,h=-6W,in=-4；

當(dāng)a=-2,。=6時，加=4；

當(dāng)4-3,b--4時，m--1；

當(dāng)a=-3,力=4時，川=1；

故m的值共6個.

故選：C.

【題型2整式乘法中的不含某項問題】

【例2】(2022秋?黔江區(qū)期末)要使(W-"5)(2_F-"-4)展開式中不含x2項，則。

的值等于()

A.-6B.6C.14D.-14

【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的法則進(jìn)行展開，然后按照x的降序排列，使工的二次

項的系數(shù)為0即可.

【解答】解：(f-x+5)(源-"-4)

=2x4-ax'-4JF-2x3+(7.r+4x+10.r-5cix-20

=2?-(〃+2)V+(a+6)(4-5a)x-20,

???展開式中不含f項，

?**a+6=0,

.?.〃=-6,

故選:4.

【變式2-1](2022春?雙流區(qū)校級期中)關(guān)于x的代數(shù)式("-3)(2v+l)-4/+加化簡

后不含有x2項和常數(shù)項，且an+mn=-5,求-4，尸+3〃1的值.

【分析】先利用多項式乘多項式法則化簡整式，再根據(jù)化簡后不含有*項和常數(shù)項求出

a、代入方程-5求出，?，最后求出-4〃-的值.

【解答】解：(at-3)(2x+1)-4/+〃？

=2加-6x+ax-3-4.V+///

=(2a-4)(a-6)x+m-3.

???化簡后不含有1項和常數(shù)項，

，2a-4=0,ni-3=0.

；?a=2,機(jī)=3.

Van+mn=-5,

?二2〃+3〃=-5.

；?〃=-I.

:.-4rr+3m

=-4X(-1)2+3X3

=-4X1+9

=-4+9

=5.

【變式2-2](2022秋?耒陽市校級月考)已知多項式M=f+5x-a,N=-x+2,P=V+3f+5,

且例?N+P的值與/的取值無關(guān)，求字母〃的值.

【分析】根據(jù)多項式與多項式相乘的法則計算，根據(jù)題意列出方程，解方程即可.

【解答】解：M?N+P=(A2+5X-a)(-x+2)+(丁+3/+5)

=-N+ZF-S^+IO.r+av-2〃+/+3/+5

=(10+a)x-%+5,

由題意得，10+4=0,

解得，a=-10.

【變式2-3](2022春?上城區(qū)期末)若多項式(x-fl)G+2A)+4的值與x的取值大

小無關(guān)，那么“，〃一定滿足()

A.。=0且〃=0B.a=2bC.ab=0D.a=1

【分析】根據(jù)多項式與多項式相乘的法則進(jìn)行計算，根據(jù)題意列出算式，計算即可.

【解答】解；『-(x-a)(A+2Z,)+4

=.r-x2-2bx+ax+2ab-4

=(a-2b)x+2ab+4,

???多項式f-Cx-a)(x+2〃)+4的值與x的取值大小無關(guān)，

：.a-2b=0t即a=24

故選：B.

【題型3整式乘法中的錯看問題】

【例3】(2022春?濰坊期末)小明在進(jìn)仃兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘以(x-2v)

錯抄成除以(x-2y),結(jié)果得到(3%-y),則正確的結(jié)果是()

A.3X2-7xy+2/B.3f+7孫+2)?

C.3X3-I3X2V+16X>,2-4V3D.3AJ-1I6A}?2+4>,3

【分析】直接利用多項式乘多項式運算法則計算得出答案.

【解答】解：???小明在進(jìn)行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘以(X-2y)錯抄成除

以(x-2,y),結(jié)果得到(3A--y),

，原式=(3x-y)(x-2y)

=3.P-6xy-xy+ly2

=3.F-7x)H-2/,

則正確計算結(jié)果為：(3/-7?葉2尸)(x-2.y)

=3A?-Ix^y-^lxy1-6x2)，+14.ry2-4y3

=32-13f)，+16"2-4月

故選：C.

【變式3-1](2022春?蘆溪縣期中)某同學(xué)在計算一個多項式乘以?2〃時，因抄錯運算符

號，算成了加上-2a,得到的結(jié)果是/+2a-1,那么正確的計算結(jié)果是多少？

【分析】根據(jù)題意首先求出多項式，進(jìn)而利用單項式乘以多項式運算法則求出即可.

【解答】解：???計算一個多項式乘以-2a時，因抄錯運算符號，算成了加上-2a,得到

的結(jié)果是a2+2a-1,

???這個多項式為：a2+2a-\+2a=a2+4a-I,

，正確的計算結(jié)果是：-2a(a2+4?-1)=-2?3-8?2+2?.

【變式3-2](2022秋?云縣期末)在計算(x+a)G+b)時，甲錯把b看成了6,得到結(jié)

果『+81+12；乙錯把?？闯闪?a,得到結(jié)果-6.你能正確計算(x+a)(x+b)嗎？

(〃、一都是常數(shù))

【分析】根據(jù)甲的做法求出〃的值，根據(jù)乙的做法求出。的值，代入原式中計算即可.

【解答】解：?二(x+a)(a+6)=『+(6+〃)x+6a=F+8x+12,

:.6+a=8,

a=2；

*.*(x-a)(x+b)=r+Cb-A)x-ab=x1+x-6,

:.b-a=1,

:.b=3,

:.(x+a)(a+〃)

=(x+2)(x+3)

=x2+5.r+6.

【變式3-3](2022春?河源期末)甲、乙兩人共同計算一道整式；(和。)⑵、b),由于

甲抄錯了。的符號，得到的結(jié)果是2F?7X+3,乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到

的結(jié)果是.F+2x-3.

(1)求(?2a+2)(a+b)的值;

(2)若整式中的。的符號不抄錯，月.a=3,請計算這道題的正確結(jié)果.

【分析】(1)按甲乙錯誤的說法計算得出的系數(shù)的數(shù)值求出。，〃的值；

(2)將m力的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果.

【解答】解：(1)甲抄錯J'a的符號的計算結(jié)果為：(“a)(2x+力)=*+(-2。+〃)

x-ab=2r-7x+3,

故：對應(yīng)的系數(shù)相等，-2a+〃=-7,ab=-3；

乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，計算結(jié)果為：J+4)(x+b)=A~+(a+b)x+ab=

f+Zr-3.

故：對應(yīng)的系數(shù)相等，a+b=2,ab=-3,

,(-2a+b=-7

**ia4b=2

解得：

:.(-2a+b)Ca+b)=[(-2)X3-1](3-1)=-7X2=-14；

(2)由(1)可知，力=-I正確的計算結(jié)果：Cr+3)(2r-1)=*+5.?3.

【題型4整式乘法中的遮擋問題】

【例4】(2022秋?天津期末)在一次數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了單項式乘多項式，小明回家后，拿

出課堂筆記本復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)這樣一道題：-3x(-2P+3X-1)=6/+口+3]，“口”的地方

被墨水污染了，你認(rèn)為“口”內(nèi)應(yīng)填寫()

A.9『B.-9x2C.9xD.-9x

【分析】根據(jù)單項式與多項式相乘的運算法則計算可得出答案.

[解答]解：-3x(-2A2+3X-1)=6『-9f+3x,

故選：B.

【變式4-1](2022秋?河南月考)今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項式乘多項式，放學(xué)回到家，

小明拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：-Ixy(2y-A-3)=-14天+7丹口，口的地方

被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫()

A.+2IxyB.-2\xyC.-3D.-

【分析】先把等式左邊的式子根據(jù)單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，

再把所得的積相加，所得結(jié)果與等式右邊的式子相對照即可得出結(jié)論.

【解答】解：?7孫(2y-x-3)=-14孫2+7/討2Ixy.

故選：A.

【變式4-2](2022春?江都區(qū)期中)今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項式乘以多項式，放學(xué)后，

小華回到家拿出課堂筆記，認(rèn)真復(fù)習(xí)老師課上講的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道題3.?v：2xy2

-盯-1)=6小\0?l?y2?3*V，空格的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為橫線上應(yīng)填寫

【分析】直接利用單項式乘以多項式運算法則計算得出答案.

【解答】解：V3fy(Ixy2-xy-1)-1?/-3f)，，

???橫線上應(yīng)填寫-3.工，

故答案為：-3,<y,-3x-y.

【變式4-3](2022秋?岳麓區(qū)校級期中)已知x3-6f+11."6=(x-1)(『+〃氏+〃)，其

中〃?、〃是被墨水弄臟了看不清楚的兩處，請求出〃戶+6〃皿+9層的值.

【分析】將(X-I)(/+〃”+〃)展開求得和〃的值后代入代數(shù)式即可求得其值.

【解答】解：Vx3-6A~+1\X-6=(x-1)(.V+Z/LV+ZZ)=/+(m-1)/+(〃-，〃)x-n,

m-1=-6,〃=6,

；?，"=-5?

：,m2+6mn+9n2=(-5)2+6X(-5)X6+9X6?=25-180+324=169.

【題型5整式乘法的計算】

【例5】(2022春?冠縣期中)計算：

(1)(x-2y)(x+2y-1)+4y2

(2)(a2b)[Cab2)2+(2出?)3+3a2].

【分析】(I)原式利用多項式乘以多項式法則計算，去括號合并即可得到結(jié)果；

(2)原式先利用事的乘方與積的乘方運算法則計算，再利用單項式乘以多項式法則計算

即可得到結(jié)果.

【解答】解：(1)原式=(x-2y)Cx+2y)-x+2>'+4r-4/-x+2)>+4y^=jc-x+2y；

(2)原式="b(/"位刖3+3/)=a55+8//+3a”

【變式5-1](2022春?西城區(qū)校級期中)求(x-1)(2v+l)-2(x-5)(x+2)的值，

其中x=-2.

【分析】根據(jù)多項式乘多項式的運算法則把要求的式子進(jìn)行整理，然后代值計算即可.

【解答】解：(x-1)(2x+1)-2(x-5)(x+2)

=2JT-x-1-2(x2-3A--10)

=2r-x-1-2r+6j+20

=5.v+19,

把x=-2代入原式得：

原式=5X(-2)+19=-10+19=9.

【變式5-2](2022秋?長寧區(qū)校級期中)-2x)-2(3-22(4x+l).

【分析】利用單項式乘多項式、多項式乘多項式法則，先算乘方，再加減.

【解答】解：原式二%?4-1?2x-2(3?4x+3?l-2t?4x-2r?l)

=2X-X2-2([2x+3-8A2-2x)

=2x-x2-24%-6+16f+4x

=15f-18x-6.

【變式5-3](2022春?海陵區(qū)校級月考)計算：

(1)-3A2(2V-4V)+2x(%2-孫).

(2)(3x+2y)(2x-3y)-3x(3x-2y).

【分析】(I)根據(jù)多項式乘多項式，多項式乘單項式進(jìn)行計算即可；

(2)根據(jù)多項式乘多項式，多項式乘單項式進(jìn)行計算即可.

【解答】解：(1)原式=-6A3+12r>'+2r3-2ry

=-4.戶+1Ox2〉，；

(2)原式=61-9xy+4xy-by2-9『+6.r.y

=-3/+.寸-6y2.

【題型6整式乘法的應(yīng)用】

【例6】(2022春?杭州期中)如圖，正方形卡片A類、8類和長方形卡片C類各若干張，

如果要拼一個長為(2a+3〃)，寬為(a+2b)的大長方形，則需要4類、B類和C類卡

片的張數(shù)分別為()

A.2,8,5B.3,8,6C.3,7,5D.2,6,7

【分析】由（2a+3b）X（a+2b）=2a2+lab+6b2,得A類卡片的面積為3類卡片的

面積為〃，C類卡片的面積為時，因此需要4類卡片2張，B類卡片6張，C類卡片7

張.

【解答】解：長為（2"3匕），寬為（行2/0的大長方形的面積為：（2a+3〃）X（a+2b）

=2/+7〃〃+6",

???4類卡片的面積為〃，B類卡片的面積為后，C類卡片的面積為時，

???需要A類卡片2張，8類卡片6張，C類卡片7張.

故選：

【變式6-1]（2022春?吳江區(qū)期末）從前，古希臘一位莊園主把一塊長為。米，寬為。米

（?>/?>100）的長方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的

長增加1。米，寬減少10米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如

果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（）

A.變小了B.變大了C.沒有變化D.無法確定

【分析】原面積可列式為H，第二年按照莊園主的想法則面積變?yōu)椋?+10）（…0）,

又Qb,通過計算可知租地面積變小了.

【解答】解：由題意可知：原面積為加（平方米），

第二年按照莊園主的想法則面積變?yōu)椋?+10）（/?-10）=ab-\0a+\0b-100=[?Z?-10

（a-b）-100]平方米,

：,ab-10Ca-b）-\00<ab,

???面積變小了，

故選：A.

【變式6-2]（2022秋?安溪縣期中）如圖1,在某住房小區(qū)的建設(shè)中，為了提高業(yè)主的宜

居環(huán)境，小區(qū)準(zhǔn)備在一個長為（4〃+3。）米，寬為（2〃+3〃）米的長方形草坪上修建一橫

一豎，寬度均為分米的通道.

------4a-3b<----------4a+30----------->

圖1圖2

（I）通道的面積共有多少平方米？

（2）若修兩橫一豎，寬度均為。米的通道（如圖2）,已知。=2力，剩余草坪的面積是

162平方米，求通道的寬度是多少米？

【分析】（1）根據(jù)通道的面積=兩個長方形面積-中間重疊部分的正方形的面積計算即

可；

（2）根據(jù)剩余草坪的面積=大長方形面積-通道的面積，求得剩余草坪的面積，再根據(jù)

a=2b,剩余草坪的面枳是162平方米，列出方程求解即可.

【解答】解：（1）S通電=/〉（2“+3/力+b（4//+3b）-b2

=2ab+3lr+4ab+3b2-IT

=（6而+5〃）平方米，

答：通道的面積共有（6H+5護(hù)）平方米；

（2）S草坪=（4。+3〃）（24+38）-[2b（2a+3b）+b：4。+3%）-2b1]

=8?2+1Sab+9b2-（4ab+6b2+4ab+3b2-2b2）

=8/+18"+982-&必-7爐

=8〃+10曲+2兒

?:a=2b,

：.Sa2+\0ab+2b2

=8X（2b）2+10X26?什乃2

=32/+20必+2從

=54護(hù)

=162,

???廬=3,

???〃=土遮（負(fù)值舍去）（米）.

答：通道的寬度是百米.

【變式6-3]（2022春?蓮湖區(qū)期末）已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示，面

積分別為S，S2.

（1）S]與S2的大小關(guān)系為：S1<S?.

（2）若一個正方形的周長與甲的周長相等.

①求該正方形的邊長(用含用的代數(shù)式表示).

②若該正方形的面積為S3,試探究：§3與S2的差(H】S3?S2)是否為常數(shù)？若為常數(shù),

求出這個常數(shù)，如果不是，請說明理由.

*6

m+2甲

【分析】(1)根據(jù)長方形的面積公式列式，然后根據(jù)整式的混合運算法則進(jìn)行計算求解;

(2)①根據(jù)正方形和長方形的周長公式計算求解；

②根據(jù)正方形和長方形的面積公式列式，然后利用整式的混合運算法則進(jìn)行計算求解.

【解答】解：(1)由題意：

Si=(〃?+2)(，〃+6)=nr+6m+2m+12=nr+Sm+12,

S2=(〃?+5)(m+3)=〃0+5〃?+3"1+15=〃尸+8〃?+15,

,:S\-S?=(/n2+8m+12)-(nt2+^m+15)=m2+8/n+12-ZM2-8m-15=-3<0?

ASi<52,

故答案為：V，

(2)①甲的周長為25?+2+〃?+6)=4加+16,

???正方形的周長與甲的周長相等，

正方形的邊長為嗎蘭=m+4,

4

②由①可得，正方形的面積S3=(6+4)2,

:.S3?$2=(/M+4)2-(nr+Sm+15)

="戶+8/〃+16-m2--15

=1,

???S3與S2的差(即S3?S2)是常數(shù)，這個常數(shù)是1.

【知識點2整式的除法】

單項式+單項式：系數(shù)相除，字母相除.(2盯2)+I1=6y

多項式.單項式：除法性質(zhì).

多項式+多項式：大除法.(3X2+3X)^-(X+1)=3X

【題型7整式除法的運算與求值】

【例7】(2022?襄都區(qū)校級開學(xué))先化簡，再求值：［1尹2)(盯-2)?2戶)分4］：孫,

其中A--10,y=尚.

【分析】先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算，再合并同類項，算除法，最后代入求出答案即可.

【解答】解：[(AJH-2)(xy-2)-2X2J?2+4]4-xy

=(x2y2-4-2r}^+4)-i-xy

--^y-i-xy

=~xy,

當(dāng)x=-10,y=2時，原式=-(-10)x-=-.

25255

【變式7I](2022春?秀洲區(qū)校級月考)若等式(6々3+3々2)+(6a)=(a+1)(々+2)成

立，則〃的值為一：.

【分析】根據(jù)多項式除以單項式，多項式乘以多項式的法則計算，再解關(guān)于。的方程即

可求解.

【解答】解：(6/+3/)+(6a)=(a+1)(a+2)

a2-^--a=a2+3a+2,

2

解得―

故答案為：-

【變式7-2](2022春?蕭山區(qū)月考)若4與一的積為一4。3b3+3a2b2—(ab,貝ijA為

()

A.-Sa2b2+6ab-1B.-2a2b2+-ab+-

24

C.Sa2b2-6ab+\D.2a2b2--ab+1

2

【分析】由題意可得所求的式子為：(一4a3b3+3。2b2+(-1ab),利用整式

的除法的法則進(jìn)行運算即可.

【解答】解：由題意得：

(-4a3b3+3a2b2--ab)4-(--ab)

22

=-4tz3/?34-(--ab)+3岸及+C--ab)--ab-s-(--czb)

2222

=8a-6ah+1.

故選：C.

【變式7-3】(2022?四川石室佳興外國語學(xué)校七年級階段練習(xí))已知多項式4x7除

以一個多項式A,得商式為2%,余式為x-1,則這個多項式A=.

【分析】根據(jù)“除式二(被除式-余式)?商”列式，再利用多項式除單項式，先把多項

式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，計算即可.

【解答】解：由題意可得：

A=[(2x2-4x-1)-(x-1)]+2x

=（2x2—5x）+2x

5

=x—

2

故答案為：x—1

【題型8整式除法的應(yīng)用】

【例8】（2022秋?渝中區(qū)校級期中）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件,

其中，配件①是由大、小兩個長方體構(gòu)成的，大長方體的長、寬、高分別為：夕、2”、

小長方體的長、寬、高分別為：2人〃、支配件②是一個正方體，其棱長為。

（1）生產(chǎn)配件①與配件②分別需要多長體積的原材料（不計損耗）？

（2）若兩個配件①與一個配件②可以用于加工一個玩具，每個玩具在市場銷售后可獲利

30元，則1000/體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？

①②

【分析】（1）先算出兩個長方體的體積，再相加，即可得出配件①的體積，求出楂長為

〃的正方體體積，即可得出配件②的體積；

（2）根據(jù)題意列出算式1000/?（2x^W）X30,求出即可.

【解答】解：⑴生產(chǎn)配件①需要的原材料的體積是：

生產(chǎn)配件②需要的原材料的體枳是：

（2）根據(jù)題意得：1000〃+（2x-fP+d3）X30=陋（元），

23

答：1000/體積的這種原材料可使該廠最多獲利等元.

【變式8-1]（2022春?托州期末）如圖1,將一張長方形紙板四角各切去一個同樣的正方

形，制成如圖2的無蓋紙盒，若該紙盒的容積為4/從則圖2中紙盒底部長方形的周長

為（）

【分析】根據(jù)長方體紙盒的容積等于底面積乘以高，底面積等于底面長方形的長與寬的

乘積可以先求出寬，再計算紙盒底部長方形的周氏即可.

【解答】解：根據(jù)題意，得

紙盒底部長方形的寬為華=4小

???紙盒底部長方形的周長為：2（4a+b）=8a+24

故選：D.

【變式8-2]（2022春?蜀山區(qū)期中）愛動腦筋的麗麗與娜娜在做數(shù)學(xué)小游戲，兩人各報一

個整式，麗麗報的整式A作被除式，娜娜報的整式8作除式，要求商式必須為-3切，（即

4+B=-3g，）

（1）若麗麗報的是乃廣6"，則娜娜應(yīng)報什么整式？

（2）若娜娜也報力，-6沖2,則麗麗能報一個整式嗎？若能，則是個什么整式？說說你的

理由.

【分析】根據(jù)A+B=-3-，可知：

（1）8=（X3>?6x）2）4-（-3x）0=一好+2y；

?5

（2）A=（x^y-6盯2）（-3與，）=-3心2+1&自，3；

【解答】解：（1）人=4，-6冷2,

；.B=（乃，-6."）4-（-3xy）=一#+2），；

（2）4=（力，-6xy2）（-3x）0=-3乃2+18『,3；

【變式8-3]（2022秋?思明區(qū)校級期中）【閱讀材料】多項式除以多項式,，可用豎式進(jìn)行

演算，步驟如下：

①把被除式、除式按某個字母作降塞排列，并把所缺的項用零補(bǔ)齊（或留出空白）；

②用被除式的第一項去除除式第一項，得到商式的第一項，寫再被除式的同次品上方；

③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），從被除式中減去這

個積；

④把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次

數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式=除式X商式+余式，若余式為零，說明這個多項式能

被另一個多項式整除.

例如：計算2?+3/+5f-2i+10除以『+1的商式和余式，可以用豎式演算如圖.

所以+3/+5X2-2r+10除以『+1的商式為2?+x+5,余式為-3x+5.

（1）計算（2尸-3?+以-5）+（x+2）的商式為（-7戶18,余式為-41；

（2）2/-4/+加+7/％能被/+工-2整除，求。、〃的值.

_______2x3十一5

+3:-2x+10

2x5+及3___________

x3+5x2—2x+10

?±x

5"-3rH0

52十5

一3好5

【分析】(I)根據(jù)整式除法的豎式計算方法，整體進(jìn)行計算即可；

(2)根據(jù)整式除法的豎式計算方法，要使N-F+ax+8能被F+2X+2整除，即余式為0,

可以得到。、〃的值.

【解答】解：(1)(2?-3/+4/-5)+(x+2)=2r-7x+18....-41,

2-2―7升18

c+2)2z3—3z2-1-4r—5

2〃+4又2______

—7爐+4々—5

-7X2-14X

18」—5

18a；+36

■^41

故答案為：2r-7.r+18,-41；

(2)由題意得:

2?—6/+(Q+10)

?+2_2.4-4爐+ax2+7x+b

2①4+2x3—4k2

—6t3+(Q+4)x2+7H+b

—6①3—Qx2+121

(Q+10)x2—5i+b

(a+10)x2+(Q+10)c—2(a+10)

0

VZ/-4x^+ax2+lx+b能被f+x-2整除,

-5-(4+10)=0,b+2(a+10)=0

即：a=-15,8=10.

【題型9整式乘法中的新定義】

【例9】(2022秋?夏津縣期中)閱讀并解決其后的問題：

我們將四個有理數(shù)小〃，c,"寫成，的形式，稱它為由有理數(shù)小b,c,4組成的

二階矩陣，mb,c,d為構(gòu)成這個矩陣的元素，我們定義矩陣的運算為：°|=ad-

ca

反，對于兩個矩陣相加我們定義為：F)=吃：匕"下面是兩個二

Icd人yc十xQ十y

階矩陣的加法運算過程：I：-3|+|-2二1=2：]，)(之：(；；)|=

135?1—13十15十(一JL)

?"7|=0X4-4X(-7)=28.

44

⑴計算邛:l+|:S/+層51I的值;

(2)計算12T3+2j+\-2x4X+8|+|-2X4X+8

I25x-7I62x+3162x4-3

【分析】(I)原式利用題中的新定義計算即可求出值；

(2)原式利用題中的新定義化簡.夫括號合并即可得到結(jié)果.

【解答】解：(1)根據(jù)題中的新定義得：

原式.17-15-5+121

原式-6+162-8I

7I

122-61

=2X(-6)-7X22

=-12-154

=-166：

(2)根據(jù)題中的新定義得：

由2x—3_2xx+2+4x+8I

小式=2+65x-7+2x+3l

|—35x+10

=匕7x-4

=-3(7x-4)-8(5x+10)

=-2Lv+12-40x-80

=-6Lv-68.

【變式9-1](2022秋?蘭陵縣期中)定義：若則稱A與B是關(guān)于1的單位數(shù).

(1)3與4或2是關(guān)于1的單位數(shù)，x-3與x-4是關(guān)于1的單位數(shù).(填一個

含我?的式子)

(2)若A=3x(x+2)-1,F=2(|X2+3X-1),判斷A與4是否是關(guān)于1的單位數(shù)，

并說明理由.

【分析】(I)根據(jù)關(guān)于1的單位數(shù)的定義，計算和確定3與X-3的單位數(shù)；

(2)計算A-8,根據(jù)關(guān)于1的單位數(shù)的定義判斷.

【解答】解：(1)因為4-3=1,3-2=1,

所以3與4、2是關(guān)于1的單位數(shù).

設(shè)x-3與M是關(guān)于1的單位數(shù)，

即x-3-M=l,或M-(x-3)=1

所以M=x-4或M=x-2.

故答案為：4或2：x-4.

(2)4與8是關(guān)于1的單位數(shù).

VA-B=3x(x+2)-1-2(蓊+3x-1)

2

=3爐+6,(-1-3A2-6.v+2

=1

???A與B是關(guān)于1的單位數(shù).

【變式9-2](2022?順平縣二模)如果一個兩位數(shù)。的個位數(shù)字與十位數(shù)字都不是零，且

互不相同，我們稱這個兩位數(shù)為“跟斗數(shù)”，定義新運算：將一個“跟斗數(shù)”的個位數(shù)

字與十位數(shù)字對調(diào)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與II的商記(0(。)，例如：。=13,

對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)31,新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和，31+13=44,和

與11的商44?11=4,所以3(13)=4.根據(jù)以上定義，回答下列問題：

(1)計算：co(23)=5.

(2)若一個“跟斗數(shù)”b的十位數(shù)字是h個位數(shù)字是2(女+1),且s(b)=8,則“跟

斗數(shù)”b=26.

(3)若機(jī)，〃都是“跟斗數(shù)”，且加+〃=100,則co(機(jī))+(o(/?)=19.

【分析】(1)根據(jù)題目中“跟斗數(shù)”的定義，可以計算出/(23)的值；

(2)根據(jù)題意，可以得到關(guān)于左的方程，從而可以求得Z的值，然后即可得到。的值；

(3)根據(jù)題意，可以表示出〃?、〃，然后即可計算出/(〃?)+f⑺的值.

【解答】解：(1)3(23)=誓=5.

故答案為:5；

(2)???一個“跟斗數(shù)”〃的十位數(shù)字是七個位數(shù)字是2(&+1),且s(b)=8,

.[10/c+2(k+l)]+[10x2(/c+l)+k]_0

??---------------------------------------------=o,

11

解得A=2,

：.2(4+1)=6,

???。=26.

故答案為:26：

(3)V/n,n都是“跟斗數(shù)”，且機(jī)+〃=100,設(shè)m=10x+y,貝ijn=10(9-x)+(10-y),

Aco(〃?)+co(〃)

(10x+y)+(10y+x)+[10(9T)+(10-y)]+[10(10-y)+(9r)]

1111

lOx+y+lOy+x90-10x+10-y+100-10y+9-X

+11

_llx+iiy209-llx-lly

—~I■

1111

=x+y+19-x-y

=19.

故答案為：19.

【變式9-3](2022?渝中區(qū)校級模擬)閱讀以下材料：

材料一：如果兩個兩位數(shù)。力，cd,將它們各自的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置后得到兩

個完全不同的新數(shù)/%,這兩個兩位數(shù)的乘枳與交換后的兩個兩位數(shù)的乘積相等，則

稱這樣的兩個兩位數(shù)為一對“有緣數(shù)對”.

例如:46X96=64X69=4416,所以，46和96是一對“有緣數(shù)對”，

材料二：在進(jìn)行一些數(shù)學(xué)式計算時，我們可以把某一單項式或多項式看作一個整體，運

用整體換元，使得運算更簡單.

例如：計算(AT+3X-1)(f+3x-8),令：(/+3x)=A,

原式=(A-1)(A-8)=A2-9A+8=(.r+3x)2-9(^+3x)+8

=X4+6AJ-27x+8

解決如下問題：

(1)①請任寫一對“有緣數(shù)對”43和68.

②并探究“有緣數(shù)對"如和cd,a,b,c,"之間滿足怎樣的等量關(guān)系.并寫出證明過程.

(2)若兩個兩位數(shù)(f+2x+3)(f-2x+4)與(f-2x+5)(f+2x+5)是一對“有緣

數(shù)對”，請求出這兩個兩位數(shù).

【分析】(1)①根據(jù)寫出一對“有緣數(shù)對”；

②根據(jù)定義得：(10。+〃)(10c+d)=(10/7+d)(KW+c),化簡得

(2)根據(jù)定義列等式，化簡解方程可得x的值，可得這兩個兩位數(shù).

【解答】解：(1)?743X68=2924,34X86=2924,

A43和68是一對“有緣數(shù)對”，

故答案為：43,68；

②“有緣數(shù)對”外和cd,a,b,c,d之間滿足：ac=bd,

理由是：由題意得：(10。+〃)(10c+J)=(\Ob+a')(10J+c),

100“c+1Obc+10a(Mcl=1OObd+1Obc+]Oacl+ac,

99ac=99bd,

ac=bd\

(2).?,兩位數(shù)(f+2x+3)(A2-Zv+4)與(『-2x+5)(A~+2X+5)是一對“有緣數(shù)對”，

:.(f+2x+3),(x2-2A+5)=(x2-2.V+4)?(f+Zr+5),

(f+2x)(x2-2A-)+5(f+Zr)+3(x2-2x)+15=(x2-2A)(f+2x)+5(x2-2A)+4

(AT+ZV)+20,

f+2x-2r+4v-5=0,

x2-6x+5=0,

x=1或5,

當(dāng)x=l時，/+2x+3=6,『?"+4=3,JT-2X+5=4,A2+2X+5=8,

當(dāng)x=5時，f+2Y+3=38,不符合題意，

.??這兩個兩位數(shù)分別是63和48.

【題型10整式乘法中的規(guī)律探究】

【例10】(2022春?江都區(qū)期中)探究規(guī)律，并回答問題：

(1)運用多項式乘法，計算下列各題：

①(xt2)(xi3)=f+5x+6；

②(x+2)(x-3)=f-x-6:

③(x-3)(x?1)=W-4x+3；

(2)若(x+a)(x+b)=x1+px+q,貝p=a+b,q=ab；

(3)根據(jù)此規(guī)律，直接寫出以下結(jié)果：

①(x+5)(x+7)=⑵+35；

②(Z+2)(/-1)=P+t-2.

【分析】根據(jù)多項式與多項式相乘的運算法則計算即可.

【解答】解：①(x+2)(x+3)=f+5x+6：

②(x+2)(x-3)-x-6：

③(x-3)(x-I)=,v2-4x+3；

故答案為：『+5x+6；AT-x-6；x2-4x+3：

(2)若(x+a)(x+b)=x2+px+q,則〃=a+力，q=ab：

故答案為：a+b,abx

(3)①(x+5)(x+7)=f+12x+35；

②(z+2)(r-1)=P+L2.

故答案為：/+I2x+35；P+t-2.

【變式10-1】(2022春?永豐縣期末)探究發(fā)現(xiàn)：在數(shù)學(xué)中，有些大數(shù)值問題可以通過用字

母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決.

閱讀解答：比較20182019X20182016與20182017X20比2018的大小.

解：設(shè)20182017=。，那么20182019X20182016=(a+2)(?-i)=a2+a-2；20182017

義20182018=4+4.

因為島也?2V(填<>、或=),

所以20182019X20182016V20182017X20182018(填V、>、或=).

問題解決：化簡求代數(shù)式的值.

(ZH