2025年春人教版數(shù)學(xué)九年級下冊教案 28.1 第2課時 銳角的余弦和正切

第2課時銳角的余弦和正切教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入1.如圖，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，得__eq\f(AC1,AB1)＝eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(AC3,AB3)__＝k.在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)__一定__時，無論這個直角三角形大小如何，∠A的鄰邊與斜邊的比是__唯一確定__的．2．當(dāng)∠A＝30°或∠A＝45°時，∠A的鄰邊與斜邊的比是多少？【歸納】當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，無論直角三角形大小如何，∠A的鄰邊與斜邊的比是唯一確定的．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過銳角確定的直角三角形圖形的變化，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)鄰邊與斜邊的比是確定的．建議：讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，歸納規(guī)律．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)提問：1．在直角三角形中，當(dāng)一個銳角的大小一定時，它的對邊與斜邊之間有什么關(guān)系？2．什么是正弦？如何求一個角的正弦？3．探究正弦的概念時，我們用了什么方法？4．類比正弦的情況，當(dāng)銳角A大小確定時，∠A鄰邊與斜邊的比也是確定的嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：先復(fù)習(xí)提問，再類比探究銳角的正弦的過程來探究銳角的余弦和正切．建議：通過畫圖強(qiáng)調(diào)銳角的正弦的內(nèi)涵是無論直角三角形大小如何，當(dāng)銳角的度數(shù)一定時，它的對邊與斜邊的比都是固定值．*命題角度1直接求直角三角形銳角的三角函數(shù)值已知直角三角形的兩邊長，用勾股定理求出第三邊長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求銳角三角函數(shù)值．【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，則cosB＝__eq\f(12,13)__，tanA＝__eq\f(12,5)__．*命題角度2構(gòu)造直角三角形，求銳角的三角函數(shù)值根據(jù)等腰三角形、菱形、圓等圖形的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，再求直角三角形的銳角三角函數(shù)值．【例2】如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是(D)A．2B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(1,2)【例3】已知等腰三角形的腰長為6cm，底邊長為10cm，則底角的正切值為__eq\f(\r(11),5)__．【例4】如圖，在⊙O中過直徑AB延長線上的點(diǎn)C作⊙O的一條切線，切點(diǎn)為D.若AC＝7，AB＝4，則sinC的值為__eq\f(2,5)__.*命題角度3轉(zhuǎn)化等角，求銳角的三角函數(shù)值借助幾何圖形的性質(zhì)或全等(或相似)等知識進(jìn)行等角的轉(zhuǎn)化，從而求解．【例5】如圖，A，B，C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為(B)A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(\r(2),4)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6題圖）))【例6】如圖所示，∠1的正切值等于__eq\f(1,3)__．*命題角度4利用已知角的某一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值根據(jù)已知角的三角函數(shù)值確定其他三角函數(shù)值，設(shè)參數(shù)表示兩邊長，結(jié)合勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義求解．【例7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝eq\f(3,5)，則cosB的值是(B)A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)【例8】在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(1,3)，則cosB＝__eq\f(\r(10),10)__．*命題角度5利用銳角三角函數(shù)求邊長根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值表示出直角三角形的邊，結(jié)合勾股定理求解．【例9】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D，連接BD，若cos∠BDC＝eq\f(5,7)，則BC的長是(D)A．10B．8C．4eq\r(3)D．2eq\r(6)【例10】如圖，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sinA的值．解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(2S△ABC,AB)＝eq\f(2×84,15)＝eq\f(56,5).在Rt△ACD中，sinA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\f(56,5),13)＝eq\f(56,65).高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．理解余弦、正切的概念，了解銳角三角函數(shù)的定義．2．能運(yùn)用余弦、正切的定義解決問題．▲重點(diǎn)理解銳角三角函數(shù)的意義，用它們進(jìn)行簡單的計(jì)算．▲難點(diǎn)以函數(shù)的角度理解正弦、余弦、正切．◆活動1新課導(dǎo)入1．sin30°＝__eq\f(1,2)__，sin45°＝__eq\f(\r(2),2)__．2．在Rt△ABC中，各邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍，那么銳角∠A的正弦值__不變__.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝eq\f(2,3)，則AC的長為__eq\r(5)__．◆活動2探究新知1．教材P64探究．學(xué)生完成并交流展示．2．如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.(1)求證：eq\f(AC,AB)＝eq\f(A′C′,A′B′)；eq\f(BC,AC)＝eq\f(B′C′,A′C′)；(2)當(dāng)∠A確定后，∠A的鄰邊與斜邊的比確定嗎？它的對邊與鄰邊的比呢？◆活動3知識歸納1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的__鄰__邊與__斜__邊的比，叫做∠A的余弦，記作__cos__A__，即cosA＝__eq\f(b,c)__．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的__對__邊與__鄰__邊的比，叫做∠A的正切，記作__tan__A__，即tanA＝__eq\f(a,b)__．3．銳角A的__正弦__、__余弦__、__正切__都叫做∠A的三角函數(shù)值．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P65例2.例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(2,3)，求sinA和cosA的值．解：∵tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2,3)，設(shè)BC＝2k，則AC＝3k，∴AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝eq\r(（2k）2＋（3k）2)＝eq\r(13)k，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2k,\r(13)k)＝eq\f(2\r(13),13)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3k,\r(13)k)＝eq\f(3\r(13),13).例3已知關(guān)于x的方程x2－5x·sinα＋1＝0的一個根為2＋eq\r(3)，且α為銳角，求cosα.解：設(shè)方程的另一個根為x2，則(2＋eq\r(3))x2＝1，∴x2＝2－eq\r(3).根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得5sinα＝(2＋eq\r(3))＋(2－eq\r(3))，解得sinα＝eq\f(4,5).設(shè)銳角α所在的直角三角形的對邊長為4k(k>0)，則斜邊長為5k，鄰邊長為3k，∴cosα＝eq\f(3k,5k)＝eq\f(3,5).練習(xí)1．教材P65練習(xí)第1，2題．2．如圖，點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥BC于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，下列用線段比表示cosα的值，錯誤的是(C)A．eq\f(BD,BC)B．eq\f(BC,AB)C．eq\f(AD,AC)D．eq\f(CD,AC)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9eq\r(2)，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD.若tan∠CAD＝eq\f(1,3)，則BD的長為__6__．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α.(1)試寫出α的正弦、余弦、正切這三個三角函數(shù)值；(2)若∠B與∠ADC互余，求BD及AB的長．解：(1)在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD＝3eq\r(5)，∴sinα＝eq\f(2\