2025年春人教版數(shù)學九年級下冊課件 28.2.2 第1課時 與視角有關的解直角三角形的應用

第二十八章銳角三角函數(shù)28.2.2應用舉例第1課時與視角有關的解直角三角形的應用新課導入要想使人安全地攀上斜靠在墻上的梯子的頂端，梯子與地面所成角α一般要滿足50°≤α≤75°.現(xiàn)有一個長5m的梯子．試問：當梯子的底端距離墻角2.4m時，梯子與地面所成的角α等于多少(精確到1°)？這時人是否能夠安全使用這個梯子？解：角α約為61°；這時人能安全使用這個梯子．探究新知2012年6月18日，“神州”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現(xiàn)交會對接.“神州”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運行.如圖，當組合體運行到離地球表面P點的正上方時，

1從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P

點的距離是多少(地球半徑約為6400km，π取3.142，結果取整數(shù))？解:設∠POQ=α

，∵FQ是☉O的切線，

∴△FOQ是直角三角形.

∴a≈18.36°.

∴

PQ的長為⌒

(1)上題中是如何將實際物體抽象為數(shù)學模型的？(2)飛船能直接看到的地球表面的最遠點的位置是如何確定的？本題可以抽象為以地球中心為圓心的、地球半徑為半徑的⊙O的有關問題.飛船能直接看到的地球表面的最遠點，是視線與地球相切時的切點.(3)最遠點Q與點P的距離是弦長還是弧長？弧長熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（結果取整數(shù)）？

2(1)什么叫俯角？什么叫仰角？在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角.解：如圖，α=30°，β=60°，AD=120．

∴BD=AD·

tana=120×

tan30°

∴CD=AD·

tanβ=120×

tan60°

因此，這棟樓高約為277m.(2)請閱讀解題過程，你能談談其解題思路嗎？你還有其他的解題思路嗎？（1）從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°→α=30°．（2）從熱氣球看一棟樓底部的俯角為60°→β=60°．（3）熱氣球與高樓的水平距離為120m→AD=120m，AD⊥BC．利用直角三角形的知識求出BD和CD，進而求出BC.利用銳角為30°的直角三角形，它的對邊是斜邊的一半和勾股定理也可以解題.知識歸納如圖，當我們測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必須是視線與水平線所夾的角，而不是與鉛垂線所夾的角；(2)仰角和俯角都是銳角．例題與練習例1

如圖，某城市在發(fā)展規(guī)劃中，需要移走一棵古樹AB，在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與AB等長的圓形為危險區(qū)，現(xiàn)在一名工人站在離點B3m遠的D處測得樹的頂端點A的仰角為60°，樹的底部點B的俯角為30°，問距離點B8m遠的保護物是否在危險區(qū)內(nèi)？E解：過點C作CE⊥AB于點E.在Rt△CBE和Rt△ACE中，∴距離點B8m遠的保護物不在危險區(qū)內(nèi)．AE＝CE·tan60°＝3(m)

,BE＝CE·tan30°＝

(m),

∴AB＝4m≈6.93m<8m．

例2

如圖，河的兩岸l1與l2相互平行，A，B是l1上的兩點，C，D是l2上的兩點，某人在點A處測得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前進20m到達點E(點E在線段AB上)，測得∠DEB＝60°，求C，D兩點間的距離．CDAEB30°60°l1l2CDAEB30°60°l1l2F解：過點D作l1的垂線，垂足為F.∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，∴DE＝AE＝20m．∵DF⊥l1，AC⊥l1，∴AC∥DF，在Rt△DEF中，EF＝DE·cos60°＝20×＝10(m)

.

∴四邊形ACDF為平行四邊形．又∵∠CAF＝90°，∴四邊形ACDF為矩形，∴CD＝AF＝AE＋EF＝30(m)．答：C，D兩點間的距離為30m.CDAEB30°60°l1l2F課堂小結1．理解俯角、仰角的概念．在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.水平線鉛垂線視點視線仰角俯角2．會解決與視角有關的問題．隨堂檢測1．教材P76練習第1，2題．2．如圖，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1m的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30°，再從D處向電視塔方向前進100m到達F處，測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個電視塔的高度AB為(

)CA．50m

B．51m

C．(50＋1)m

D．101m

3．如圖，在離鐵塔(軸線)100m的A處，用測角儀測得塔頂B的仰角為30°.已知測角儀的高AD＝1.5m，則鐵塔的高BE＝___________m.

4．觀光塔是濰坊市區(qū)的標志性