2025年中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克模擬試題組合數(shù)學(xué)與數(shù)論解題技巧

2025年中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克模擬試題組合數(shù)學(xué)與數(shù)論解題技巧一、組合數(shù)學(xué)要求：本題主要考查組合數(shù)的計(jì)算、組合問題的解決方法以及組合與排列的區(qū)分。1.計(jì)算下列組合數(shù)的值：（1）C(5,2)（2）C(7,3)（3）C(10,5)2.從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)，有多少種不同的取法？3.有10個(gè)不同的球，任意取出3個(gè)，求取出3個(gè)球的不同組合數(shù)。4.有5個(gè)不同的球，任意取出3個(gè)，求取出3個(gè)球的不同組合數(shù)。5.有10個(gè)不同的球，從中取出3個(gè)，求取出3個(gè)球的組合數(shù)，使得這3個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)。二、數(shù)論要求：本題主要考查數(shù)論中的質(zhì)數(shù)、合數(shù)、同余以及歐拉函數(shù)等概念。1.判斷下列數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)：（1）23（2）28（3）492.計(jì)算下列數(shù)的最大公約數(shù)：（1）120和180（2）210和330（3）35和633.已知a和b是兩個(gè)整數(shù)，且a≠b，求滿足條件a×b≡1(mod11)的整數(shù)a和b的個(gè)數(shù)。4.設(shè)m是正整數(shù)，求滿足條件2^m≡1(mod11)的m的個(gè)數(shù)。5.設(shè)p是質(zhì)數(shù)，求滿足條件p^2-1是合數(shù)的質(zhì)數(shù)p的個(gè)數(shù)。四、數(shù)論應(yīng)用題要求：本題主要考查數(shù)論在實(shí)際問題中的應(yīng)用，包括同余定理和模逆元的計(jì)算。1.已知整數(shù)a=17，b=23，m=29，求滿足條件a^x≡b^y(modm)的最小正整數(shù)x和y。2.計(jì)算下列數(shù)的模逆元：（1）求23在模29下的模逆元。（2）求7在模11下的模逆元。3.已知整數(shù)a=8，b=15，m=21，求滿足條件a^x≡b^y(modm)的所有整數(shù)對(duì)(x,y)。4.設(shè)p是質(zhì)數(shù)，求滿足條件p^3-1是合數(shù)的質(zhì)數(shù)p的個(gè)數(shù)。5.已知整數(shù)a=2，b=5，m=13，求滿足條件a^x≡b^y(modm)的所有整數(shù)對(duì)(x,y)。五、組合數(shù)學(xué)應(yīng)用題要求：本題主要考查組合數(shù)學(xué)在計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用，包括排列組合的運(yùn)用。1.從6個(gè)不同的學(xué)生中選出3個(gè)代表參加比賽，不同的選法有多少種？2.一個(gè)密碼鎖由4位數(shù)字組成，每一位數(shù)字可以是0到9中的任意一個(gè)，求這樣的密碼鎖有多少種不同的組合。3.有5個(gè)不同的球，任意取出3個(gè)，求取出3個(gè)球的所有可能順序數(shù)。4.一個(gè)班級(jí)有10名學(xué)生，其中有3名男生和7名女生，從中選出2名學(xué)生參加比賽，不同的選法有多少種？5.有5個(gè)不同的球，任意取出3個(gè)，求取出3個(gè)球的組合數(shù)，使得這3個(gè)球中至少有一個(gè)是紅色的。六、數(shù)論與組合數(shù)學(xué)綜合題要求：本題結(jié)合數(shù)論和組合數(shù)學(xué)的知識(shí)，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。1.已知整數(shù)a=3，b=5，m=7，求滿足條件a^x≡b^y(modm)的所有整數(shù)對(duì)(x,y)，其中x和y都是正整數(shù)。2.一個(gè)密碼鎖由4位數(shù)字組成，其中第一位數(shù)字必須是偶數(shù)，第二位數(shù)字必須是奇數(shù)，第三位和第四位數(shù)字可以是任意數(shù)字，求這樣的密碼鎖有多少種不同的組合。3.有6個(gè)不同的球，其中3個(gè)是紅色的，2個(gè)是藍(lán)色的，1個(gè)是綠色的，任意取出3個(gè)球，求取出3個(gè)球的所有可能顏色組合數(shù)。4.已知整數(shù)a=2，b=3，m=5，求滿足條件a^x≡b^y(modm)的所有整數(shù)對(duì)(x,y)，其中x和y都是不超過4的正整數(shù)。5.一個(gè)班級(jí)有8名學(xué)生，其中有4名男生和4名女生，從中選出3名學(xué)生參加比賽，求不同的選法有多少種，并計(jì)算其中至少有2名男生的選法數(shù)。本次試卷答案如下：一、組合數(shù)學(xué)1.（1）C(5,2)=10解析思路：根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]，代入n=5，k=2，得到C(5,2)=5!/[2!(5-2)!]=(5×4)/(2×1)=10。（2）C(7,3)=35解析思路：同理，代入n=7，k=3，得到C(7,3)=7!/[3!(7-3)!]=(7×6×5)/(3×2×1)=35。（3）C(10,5)=252解析思路：代入n=10，k=5，得到C(10,5)=10!/[5!(10-5)!]=(10×9×8×7×6)/(5×4×3×2×1)=252。2.從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)，有C(5,3)種不同的取法。解析思路：使用組合數(shù)公式C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]，代入n=5，k=3，得到C(5,3)=5!/[3!(5-3)!]=(5×4)/(2×1)=10種取法。3.有10個(gè)不同的球，任意取出3個(gè)，有C(10,3)種不同的取法。解析思路：同理，代入n=10，k=3，得到C(10,3)=10!/[3!(10-3)!]=(10×9×8)/(3×2×1)=120種取法。4.有5個(gè)不同的球，任意取出3個(gè)，有C(5,3)種不同的取法。解析思路：同理，代入n=5，k=3，得到C(5,3)=5!/[3!(5-3)!]=(5×4)/(2×1)=10種取法。5.有10個(gè)不同的球，從中取出3個(gè)，求取出3個(gè)球的組合數(shù)，使得這3個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)。解析思路：考慮到編號(hào)之和為偶數(shù)，可以是三個(gè)偶數(shù)相加，也可以是一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)相加。偶數(shù)球的編號(hào)可以是0,2,4,6,8，奇數(shù)球的編號(hào)可以是1,3,5,7,9。計(jì)算偶數(shù)球組合數(shù)C(5,3)和奇數(shù)球組合數(shù)C(5,1)×C(4,2)×2（因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)奇數(shù)相加都是偶數(shù)），然后相加得到結(jié)果。二、數(shù)論1.（1）23是質(zhì)數(shù)解析思路：質(zhì)數(shù)定義為只有1和它本身兩個(gè)正因數(shù)的自然數(shù)，23不能被除了1和它本身之外的任何自然數(shù)整除，因此是質(zhì)數(shù)。（2）28是合數(shù)解析思路：28可以被1,2,4,7,14,28整除，除了1和它本身還有其他因數(shù)，因此是合數(shù)。（3）49是合數(shù)解析思路：49可以被1,7,49整除，除了1和它本身還有其他因數(shù)，因此是合數(shù)。2.（1）最大公約數(shù)是60解析思路：120和180的公因數(shù)有1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60，其中最大的公因數(shù)是60。（2）最大公約數(shù)是30解析思路：210和330的公因數(shù)有1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30，其中最大的公因數(shù)是30。（3）最大公約數(shù)是7解析思路：35和63的公因數(shù)有1,7，其中最大的公因數(shù)是7。3.3對(duì)整數(shù)解析思路：在模11下，整數(shù)a和b的乘積要等于1，可以找到3對(duì)整數(shù)：1×1=1，2×6=12≡1(mod11)，5×9=45≡1(mod11)。4.4個(gè)整數(shù)解析思路：在模11下，2的冪次方要等于1，可以找到4個(gè)整數(shù)：2^0=1，2^10=1024≡1(mod11)，2^20=1048576≡1(mod