線性代數(shù)本科試題及答案

線性代數(shù)本科試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設\(A\)是\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)的行向量組線性無關B.\(A\)的列向量組線性無關C.\(A\)不可逆D.\(A\)可逆3.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)4.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.05.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(\vert\lambdaE-A\vert\)=（）A.0B.1C.-1D.\(\vertA\vert\)6.若\(A\)是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）A.\(A^TA=E\)B.\(\vertA\vert=1\)C.\(A^{-1}=A^T\)D.\(A\)的列向量組是正交單位向量組7.設\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)=（）A.4B.8C.16D.328.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣）有非零解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=n\)B.\(r(A)\ltn\)C.\(r(A)\gtn\)D.\(r(A)=m\)9.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(A=B\)D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)10.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關于行列式性質的說法正確的是（）A.行列式與它的轉置行列式相等B.交換行列式的兩行（列），行列式變號C.行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù)\(k\)，等于用數(shù)\(k\)乘以此行列式D.若行列式某一行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和2.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列運算正確的是（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\((A^k)^l=A^{kl}\)（\(k\)，\(l\)為正整數(shù)）D.\(A^mA^n=A^{m+n}\)（\(m\)，\(n\)為正整數(shù)）3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關的充分必要條件是（）A.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.向量組中存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.向量組的秩小于\(s\)D.向量組的秩等于\(s\)4.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((\lambdaE-A)\xi=0\)C.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.\(\lambda\)是方程\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)的根5.下列矩陣中，是對稱矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&3\\0&3&-1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\)6.設\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，下列說法正確的是（）A.\(A\)的秩為\(n\)B.\(A\)的行向量組線性無關C.\(A\)的列向量組線性無關D.\(A\)可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣7.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎解系所含向量個數(shù)為（）A.\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)，\(r(A)\)為矩陣\(A\)的秩）B.\(r(A)\)C.方程組的自由未知量個數(shù)D.\(n\)8.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的跡（主對角線元素之和）B.\(A\)與\(B\)有相同的行列式C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)合同9.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，下列說法正確的是（）A.二次型的矩陣是\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)B.二次型的秩為1C.二次型經(jīng)正交變換可化為標準形\(y_1^2\)D.二次型是正定的10.下列關于矩陣的初等變換說法正確的是（）A.初等行變換不改變矩陣的秩B.初等列變換不改變矩陣的秩C.矩陣的初等變換是可逆的D.任何矩陣都可以經(jīng)過初等變換化為行最簡形矩陣三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關，則其中任意部分向量組也線性無關。（）3.設\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)的列向量組線性相關。（）4.矩陣\(A\)的特征值一定是實數(shù)。（）5.正交矩陣的行列式的值為\(\pm1\)。（）6.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)一定合同。（）7.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解的充分必要條件是\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）。（）8.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)的標準形是唯一的。（）9.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(k\)為常數(shù)，則\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)。（）10.兩個\(n\)階可逆矩陣的乘積一定是可逆矩陣。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求矩陣\(A\)的逆矩陣的方法。答：可以用伴隨矩陣法，若\(A\)可逆，\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^{}\)，\(A^{}\)是\(A\)的伴隨矩陣；也可用初等行變換法，對\((A\vertE)\)作初等行變換，將\(A\)化為\(E\)時，右邊就是\(A^{-1}\)。2.說明向量組線性相關和線性無關的定義。答：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則線性相關；若僅當\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時上式成立，則線性無關。3.簡述矩陣秩的定義。答：矩陣\(A\)中非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣\(A\)的秩，記為\(r(A)\)。即若存在\(r\)階子式不為零，而所有\(zhòng)(r+1\)階子式（若存在）全為零，則\(r(A)=r\)。4.簡述二次型正定的判定方法。答：可通過二次型矩陣\(A\)的順序主子式全大于零來判定；也可根據(jù)\(A\)的特征值全大于零判定；還能由對任意非零向量\(x\)，\(x^TAx\gt0\)來判定。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組\(Ax=b\)有解、無解、有唯一解、有無窮多解的條件。答：設\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)=r\)，\(r(\overline{A})=r_1\)（\(\overline{A}\)是增廣矩陣）。當\(r=r_1=n\)時，有唯一解；\(r=r_1\ltn\)時，有無窮多解；\(r\neqr_1\)時，無解；有解的充要條件是\(r=r_1\)。2.討論相似矩陣的性質及相似的意義。答：性質有相似矩陣有相同的特征值、行列式、秩、跡。相似的意義在于相似矩陣代表同一線性變換在不同基下的矩陣，研究相似矩陣可簡化線性變換的研究，比如通過相似對角化求矩陣的高次冪等。3.討論正交矩陣在實際中的應用。答：在計算機圖形學中用于圖形的旋轉、反射等變換；在物理學中，描述剛體的轉動；在數(shù)據(jù)處理中，正交變換可保持向量的長度和夾角不變，用于數(shù)據(jù)的正交化處理，去除數(shù)據(jù)中的相關性，提高計算效率和穩(wěn)定性。4.討論矩陣的初等變換在解線性代數(shù)問題中的作用。答：可用于求矩陣的秩，將矩陣化為階梯形矩陣即可看出秩；求逆矩陣，對\((A\vertE)\)作初等行變換求\(A^{-1}\)；解線性方程組，對增廣矩陣作初等行變換化為行最簡形求解；判斷向量組的線性相關性，對向量組