數(shù)學(xué)二考研試題及答案

數(shù)學(xué)二考研試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處（）A.連續(xù)B.可導(dǎo)C.有定義D.極限存在2.若$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinkx}{x}=2$，則$k$的值為（）A.1B.2C.-1D.-23.函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$3x^2$B.$x^2$C.$3x$D.$3$4.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程是（）A.$y=x+1$B.$y=x-1$C.$y=-x+1$D.$y=-x-1$5.不定積分$\intx^2dx$等于（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^2+C$C.$x^3+C$D.$x^2+C$6.定積分$\int_{0}^{1}2xdx$的值為（）A.1B.2C.0D.-17.設(shè)函數(shù)$z=x^2+y^2$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.$2x$B.$2y$C.$x$D.$y$8.下列矩陣中，（）是單位矩陣。A.$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$9.向量組$\vec{a}=(1,0)$，$\vec=(0,1)$的關(guān)系是（）A.線性相關(guān)B.線性無(wú)關(guān)C.相等D.平行10.齊次線性方程組$Ax=0$（$A$為系數(shù)矩陣）有非零解的充要條件是（）A.$|A|\neq0$B.$|A|=0$C.$r(A)=n$D.$r(A)\ltn$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$2.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的充分條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.極限$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在3.下列積分中，計(jì)算正確的有（）A.$\int\cosxdx=\sinx+C$B.$\int\sinxdx=-\cosx+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$4.對(duì)于二元函數(shù)$z=f(x,y)$，以下說(shuō)法正確的是（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)連續(xù)B.函數(shù)連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)存在C.可微則偏導(dǎo)數(shù)存在D.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則函數(shù)可微5.下列矩陣運(yùn)算中，正確的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$D.$A(B+C)=AB+AC$6.向量組$\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n$線性相關(guān)的判定方法有（）A.存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得$k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n=0$B.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于向量個(gè)數(shù)D.向量組中存在零向量7.下列關(guān)于線性方程組的說(shuō)法正確的是（）A.非齊次線性方程組$Ax=b$有解的充要條件是$r(A)=r(A|b)$B.齊次線性方程組$Ax=0$一定有解C.非齊次線性方程組$Ax=b$解唯一時(shí)，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組$Ax=0$只有零解D.齊次線性方程組$Ax=0$有非零解時(shí)，非齊次線性方程組$Ax=b$有無(wú)窮多解8.函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件有（）A.在$[a,b]$上連續(xù)B.在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)C.$f(a)=f(b)$D.$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)有極值9.下列哪些是求極限的常用方法（）A.等價(jià)無(wú)窮小替換B.洛必達(dá)法則C.夾逼準(zhǔn)則D.重要極限公式10.關(guān)于定積分的性質(zhì)，正確的有（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.若$f(x)\geqg(x)$在$[a,b]$上成立，則$\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。（）2.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處極限存在，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。（）3.不定積分$\intf(x)dx$的結(jié)果是唯一的。（）4.若$f(x)$為奇函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。（）5.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)處函數(shù)一定可微。（）6.矩陣乘法滿足交換律，即$AB=BA$。（）7.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。（）8.齊次線性方程組$Ax=0$只有零解時(shí)，系數(shù)矩陣$A$的秩等于未知數(shù)個(gè)數(shù)。（）9.函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。（）10.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+1$的單調(diào)區(qū)間與極值。答案：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime=0$，得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x\lt0$或$x\gt2$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$0\ltx\lt2$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值為$y(0)=1$，極小值為$y(2)=-3$。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx$。答案：根據(jù)定積分運(yùn)算法則，$\int_{0}^{1}(x^2+e^x)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}e^xdx$。$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}$，$\int_{0}^{1}e^xdx=[e^x]_0^1=e-1$，所以結(jié)果為$\frac{1}{3}+e-1=e-\frac{2}{3}$。3.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣$A^{-1}$。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，則$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。4.簡(jiǎn)述向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義。答案：對(duì)于向量組$\vec{a}_1,\vec{a}_2,\cdots,\vec{a}_n$，若存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得$k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2+\cdots+k_n\vec{a}_n=0$，則稱向量組線性相關(guān)；若僅當(dāng)$k_1=k_2=\cdots=k_n=0$時(shí)，上式成立，則稱向量組線性無(wú)關(guān)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\2x+1,x\gt0\end{cases}$在$x=0$處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：連續(xù)性：$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(x^2+1)=1$，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(2x+1)=1$，且$f(0)=0^2+1=1$，所以函數(shù)在$x=0$處連續(xù)?？蓪?dǎo)性：左導(dǎo)數(shù)$f^\prime_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0$，右導(dǎo)數(shù)$f^\prime_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2$，左右導(dǎo)數(shù)不相等，函數(shù)在$x=0$處不可導(dǎo)。2.討論矩陣的秩在解線性方程組中的作用。答案：對(duì)于線性方程組$Ax=b$（齊次為$Ax=0$），矩陣的秩很關(guān)鍵。當(dāng)$r(A)=r(A|b)$時(shí)，非齊次方程組有解，$r(A)=r(A|b)=n$（$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)）有唯一解，$r(A)=r(A|b)\ltn$有無(wú)窮多解；齊次方程組$Ax=0$，$r(A)=n$只有零解，$r(A)\ltn$有非零解。3.討論利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性的方法及意義。答案：方法：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，則函數(shù)在$I$內(nèi)是凹的；若$f^{\prime\prime}(x)\lt0$，則函數(shù)在$I$內(nèi)是凸的。意義：凹凸性可幫助了解函數(shù)圖像形狀，在實(shí)際問(wèn)題中，如經(jīng)濟(jì)、物理等領(lǐng)域，能分析函數(shù)變化趨勢(shì)，對(duì)優(yōu)化決策等有重要作用。4.討論多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法原理。答案：拉格朗日乘數(shù)法原理是