2024-2025學(xué)年IBHL數(shù)學(xué)AI模擬試卷：數(shù)據(jù)分析與建模策略解析與實(shí)戰(zhàn)技巧

2024-2025學(xué)年IBHL數(shù)學(xué)AI模擬試卷：數(shù)據(jù)分析與建模策略解析與實(shí)戰(zhàn)技巧一、數(shù)據(jù)分析基礎(chǔ)要求：請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，運(yùn)用描述性統(tǒng)計(jì)方法，分析數(shù)據(jù)的基本特征，并回答相關(guān)問題。1.已知某班級(jí)30名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5，92，78，88，90，95，80，82，75，88，85，90，93，85，87，88，89，91，94，86，90，87，92，88，89，83，84，85，90，86，88。請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。（4分）（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，分析這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度。（2分）（3）將這組數(shù)據(jù)繪制成直方圖，并標(biāo)注出平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的位置。（4分）二、線性回歸模型要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立線性回歸模型，并分析模型的擬合效果。2.某公司過去10年的年銷售額（單位：萬元）和廣告費(fèi)用（單位：萬元）如下：年份：2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020，2021，2022，2023年銷售額：200，220，250，280，300，320，350，380，400，420廣告費(fèi)用：20，25，30，35，40，45，50，55，60，65請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，建立年銷售額與廣告費(fèi)用之間的線性回歸模型。（4分）（2）計(jì)算模型的判定系數(shù)R2，并分析模型的擬合效果。（2分）（3）根據(jù)模型預(yù)測(cè)，當(dāng)廣告費(fèi)用為60萬元時(shí)，預(yù)測(cè)年銷售額是多少？（2分）三、時(shí)間序列分析要求：根據(jù)所給時(shí)間序列數(shù)據(jù)，分析其趨勢(shì)和季節(jié)性，并回答相關(guān)問題。3.某城市近5年的年降水量（單位：毫米）如下：年份：2019，2020，2021，2022，2023年降水量：1000，1200，1500，1300，1100請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）繪制年降水量的時(shí)間序列圖，并分析其趨勢(shì)和季節(jié)性。（4分）（2）根據(jù)時(shí)間序列圖，預(yù)測(cè)2024年的年降水量。（2分）（3）分析造成年降水量波動(dòng)的原因。（2分）四、概率與統(tǒng)計(jì)推斷要求：運(yùn)用概率論的基本原理和統(tǒng)計(jì)推斷方法，解決實(shí)際問題。4.甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)足球比賽，甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，平局的概率為0.3，乙隊(duì)獲勝的概率為0.1。假設(shè)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，隨機(jī)抽取10場(chǎng)比賽，請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）計(jì)算10場(chǎng)比賽中甲隊(duì)至少獲勝7場(chǎng)的概率。（2分）（2）假設(shè)在10場(chǎng)比賽中，甲隊(duì)獲勝的場(chǎng)次服從二項(xiàng)分布，求甲隊(duì)獲勝場(chǎng)次X的期望值和方差。（4分）（3）根據(jù)上述概率分布，判斷甲隊(duì)獲勝場(chǎng)次X是否接近正態(tài)分布，并說明理由。（2分）五、多元統(tǒng)計(jì)分析要求：運(yùn)用多元統(tǒng)計(jì)分析方法，分析多變量數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。5.某研究調(diào)查了10名運(yùn)動(dòng)員的身高（單位：cm）、體重（單位：kg）和跑步速度（單位：秒/公里）。數(shù)據(jù)如下：運(yùn)動(dòng)員編號(hào)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10身高：180，175，170，165，160，155，150，145，140，135體重：75，70，68，65，62，60，58，56，54，52跑步速度：4.5，4.6，4.7，4.8，4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，5.4請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）計(jì)算身高、體重和跑步速度的相關(guān)系數(shù)矩陣。（4分）（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣，分析身高、體重和跑步速度之間的關(guān)系。（2分）（3）使用多元線性回歸模型，分析身高和體重對(duì)跑步速度的影響。（4分）六、數(shù)據(jù)可視化要求：運(yùn)用數(shù)據(jù)可視化方法，展示數(shù)據(jù)特征，并分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。6.某公司近一年的銷售數(shù)據(jù)如下：月份：1月，2月，3月，4月，5月，6月，7月，8月，9月，10月銷售額（單位：萬元）：20，25，30，35，40，45，50，55，60，65請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）繪制銷售額的時(shí)間序列圖，并標(biāo)注出銷售額最高的月份。（4分）（2）根據(jù)時(shí)間序列圖，分析銷售額的變化趨勢(shì)。（2分）（3）使用散點(diǎn)圖展示銷售額與月份之間的關(guān)系，并添加趨勢(shì)線。（4分）本次試卷答案如下：一、數(shù)據(jù)分析基礎(chǔ)1.（1）平均數(shù)=(85+92+78+88+90+95+80+82+75+88+85+90+93+85+87+88+89+91+94+86+90+87+92+88+89+83+84+85+90+86+88)/30=86.2中位數(shù)=88眾數(shù)=88標(biāo)準(zhǔn)差=√[Σ(x-平均數(shù))2/n]=√[Σ(x-86.2)2/30]≈4.95（2）平均數(shù)為86.2，說明這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)在86分左右。中位數(shù)和眾數(shù)均為88，表明大多數(shù)學(xué)生的成績集中在88分左右。標(biāo)準(zhǔn)差為4.95，說明數(shù)據(jù)的離散程度相對(duì)較小。（3）繪制直方圖，橫軸為分?jǐn)?shù)區(qū)間，縱軸為頻數(shù)。標(biāo)注平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的位置。二、線性回歸模型2.（1）線性回歸模型：年銷售額=β0+β1*廣告費(fèi)用通過最小二乘法計(jì)算得出：β0≈120，β1≈1.1因此，線性回歸模型為：年銷售額≈120+1.1*廣告費(fèi)用（2）判定系數(shù)R2=0.95，說明模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果較好。（3）預(yù)測(cè)年銷售額=120+1.1*60=180萬元三、時(shí)間序列分析3.（1）繪制時(shí)間序列圖，橫軸為年份，縱軸為年降水量。分析趨勢(shì)和季節(jié)性。（2）根據(jù)時(shí)間序列圖，預(yù)測(cè)2024年的年降水量約為1200毫米。（3）造成年降水量波動(dòng)的原因可能與氣候變化、地形地貌等因素有關(guān)。四、概率與統(tǒng)計(jì)推斷4.（1）甲隊(duì)至少獲勝7場(chǎng)的概率=C(10,7)*(0.6)^7*(0.4)^3+C(10,8)*(0.6)^8*(0.4)^2+C(10,9)*(0.6)^9*(0.4)^1+C(10,10)*(0.6)^10*(0.4)^0≈0.316（2）甲隊(duì)獲勝場(chǎng)次X的期望值E(X)=np=10*0.6=6甲隊(duì)獲勝場(chǎng)次X的方差Var(X)=np(1-p)=10*0.6*(1-0.6)=2.4（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)，當(dāng)n較大且p較小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。因此，甲隊(duì)獲勝場(chǎng)次X接近正態(tài)分布。五、多元統(tǒng)計(jì)分析5.（1）計(jì)算身高、體重和跑步速度的相關(guān)系數(shù)矩陣。（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣，分析身高、體重和跑步速度之間的關(guān)系。例如，身高與跑步速度的相關(guān)系數(shù)為正，說明身高越高，跑步速度越快。（3）使用多元線性回歸模型，分析身高和體重對(duì)跑步速度的影響。例如，模型的系數(shù)表明身高每增加1cm，跑步速度提高0.1秒/公里；體重每增加1kg，跑步速度提高0.05秒/公里。六、數(shù)據(jù)可視化6.（1）繪制