數(shù)學(xué)微積分概念及運(yùn)用試題

綜合試卷第=PAGE1*2-11頁（共=NUMPAGES1*22頁） 綜合試卷第=PAGE1*22頁（共=NUMPAGES1*22頁）PAGE①姓名所在地區(qū)姓名所在地區(qū)身份證號(hào)密封線1.請首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號(hào)和所在地區(qū)名稱。2.請仔細(xì)閱讀各種題目的回答要求，在規(guī)定的位置填寫您的答案。3.不要在試卷上亂涂亂畫，不要在標(biāo)封區(qū)內(nèi)填寫無關(guān)內(nèi)容。一、選擇題1.微積分基本概念

求導(dǎo)數(shù)的定義

A.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在該點(diǎn)附近增量與自變量增量之比的極限

B.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在該點(diǎn)切線斜率的倒數(shù)

C.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)性的度量

D.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)性的度量

函數(shù)的連續(xù)性

A.如果函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

B.如果函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

C.如果函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

D.如果函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

基本極限公式

A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

B.$\lim_{x\to0}\frac{1\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$

C.$\lim_{x\to0}\frac{x^2\sinx}{x^3}=1$

D.$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}=1$

微積分的基本定理

A.微分和積分是互為逆運(yùn)算

B.函數(shù)在某區(qū)間的定積分等于該函數(shù)在該區(qū)間上任意一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

C.函數(shù)在某區(qū)間的定積分等于該函數(shù)在該區(qū)間上任意一點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)

D.函數(shù)在某區(qū)間的定積分等于該函數(shù)在該區(qū)間上任意一點(diǎn)處的三階導(dǎo)數(shù)

2.一元函數(shù)微分學(xué)

求導(dǎo)公式和法則

A.$(x^n)'=nx^{n1}$

B.$(\sinx)'=\cosx$

C.$(\lnx)'=\frac{1}{x}$

D.$(e^x)'=e^x$

高階導(dǎo)數(shù)

A.$(f''(x))'=f'''(x)$

B.$(f'(x))''=f''(x)$

C.$(f(x))'=f'(x)$

D.$(f'(x))'=f''(x)$

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

A.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示該點(diǎn)切線的斜率

B.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示該點(diǎn)曲線的切線與x軸的夾角

C.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示該點(diǎn)曲線的曲率

D.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示該點(diǎn)曲線的凹凸性

微分中值定理

A.在閉區(qū)間上連續(xù)且在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)必存在至少一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于該區(qū)間上函數(shù)的平均變化率

B.在開區(qū)間上連續(xù)且在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)必存在至少一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于該區(qū)間上函數(shù)的平均變化率

C.在開區(qū)間上連續(xù)且在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)必存在至少一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于該區(qū)間上函數(shù)的極大值

D.在閉區(qū)間上連續(xù)且在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)必存在至少一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于該區(qū)間上函數(shù)的極小值

3.一元函數(shù)積分學(xué)

基本積分公式

A.$\intx^2dx=\frac{x^3}{3}C$

B.$\int\sinxdx=\cosxC$

C.$\int\lnxdx=x\lnxxC$

D.$\inte^xdx=e^xC$

變限積分

A.變限積分是定積分的一種特殊情況

B.變限積分的上下限是變量

C.變限積分的積分函數(shù)是變量

D.變限積分的積分變量是常數(shù)

積分方法

A.分部積分法

B.三角換元法

C.換元積分法

D.以上都是

積分的應(yīng)用

A.積分可以用來計(jì)算曲線的長度

B.積分可以用來計(jì)算物體的體積

C.積分可以用來計(jì)算物體的表面積

D.以上都是

4.多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

A.偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化率

B.偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化量的極限

C.偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化量的倒數(shù)

D.偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿某一方向的變化量的平方

全微分

A.全微分是多元函數(shù)在某一點(diǎn)處變化量的極限

B.全微分是多元函數(shù)在某一點(diǎn)處變化量的導(dǎo)數(shù)

C.全微分是多元函數(shù)在某一點(diǎn)處變化量的二階導(dǎo)數(shù)

D.全微分是多元函數(shù)在某一點(diǎn)處變化量的三階導(dǎo)數(shù)

多元函數(shù)的極值和條件極值

A.函數(shù)在某一點(diǎn)處達(dá)到局部最大值或最小值

B.函數(shù)在某一點(diǎn)處達(dá)到局部極小值或最大值

C.函數(shù)在某一點(diǎn)處達(dá)到全局最大值或最小值

D.函數(shù)在某一點(diǎn)處達(dá)到全局極小值或最大值

多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

A.偏導(dǎo)數(shù)可以用來判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處的凹凸性

B.偏導(dǎo)數(shù)可以用來判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處的極值

C.偏導(dǎo)數(shù)可以用來判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處的拐點(diǎn)

D.以上都是

5.多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分

A.二重積分是將一元函數(shù)的積分推廣到二維平面

B.二重積分可以用來計(jì)算平面圖形的面積

C.二重積分可以用來計(jì)算平面圖形的質(zhì)心

D.以上都是

三重積分

A.三重積分是將一元函數(shù)的積分推廣到三維空間

B.三重積分可以用來計(jì)算立體圖形的體積

C.三重積分可以用來計(jì)算立體圖形的質(zhì)量

D.以上都是

多重積分的應(yīng)用

A.多重積分可以用來計(jì)算曲面面積

B.多重積分可以用來計(jì)算體積

C.多重積分可以用來計(jì)算質(zhì)量

D.以上都是

線積分與面積分的層級(jí)輸出

A.線積分是沿著曲線的積分

B.線積分可以用來計(jì)算曲線的長度

C.面積分是沿著曲面的積分

D.面積分可以用來計(jì)算曲面的面積

答案及解題思路：

1.微積分基本概念

求導(dǎo)數(shù)的定義：A

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，選擇與定義一致的選項(xiàng)。

函數(shù)的連續(xù)性：A

解題思路：根據(jù)連續(xù)性的定義，選擇正確的選項(xiàng)。

基本極限公式：A

解題思路：根據(jù)基本極限公式，選擇正確的選項(xiàng)。

微積分的基本定理：A

解題思路：根據(jù)微積分的基本定理，選擇與定理一致的選項(xiàng)。

2.一元函數(shù)微分學(xué)

求導(dǎo)公式和法則：A

解題思路：根據(jù)求導(dǎo)公式和法則，選擇正確的選項(xiàng)。

高階導(dǎo)數(shù)：D

解題思路：根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的定義，選擇正確的選項(xiàng)。

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：A

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，選擇與切線斜率相關(guān)的選項(xiàng)。

微分中值定理：A

解題思路：根據(jù)微分中值定理的定義，選擇正確的選項(xiàng)。

3.一元函數(shù)積分學(xué)

基本積分公式：A

解題思路：根據(jù)基本積分公式，選擇正確的選項(xiàng)。

變限積分：B

解題思路：根據(jù)變限積分的定義，選擇正確的選項(xiàng)。

積分方法：D

解題思路：根據(jù)積分方法的分類，選擇包括所有方法的選項(xiàng)。

積分的應(yīng)用：D

解題思路：根據(jù)積分的應(yīng)用范圍，選擇包括所有應(yīng)用的選項(xiàng)。

4.多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：A

解題思路：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，選擇與定義一致的選項(xiàng)。

全微分：B

解題思路：根據(jù)全微分的定義，選擇正確的選項(xiàng)。

多元函數(shù)的極值和條件極值：A

解題思路：根據(jù)極值和條件極值的定義，選擇與局部最大值或最小值相關(guān)的選項(xiàng)。

多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：D

解題思路：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，選擇包括所有應(yīng)用的選項(xiàng)。

5.多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分：D

解題思路：根據(jù)二重積分的定義，選擇與曲面面積相關(guān)的選項(xiàng)。

三重積分：D

解題思路：根據(jù)三重積分的定義，選擇與立體圖形的質(zhì)量相關(guān)的選項(xiàng)。

多重積分的應(yīng)用：D

解題思路：根據(jù)多重積分的應(yīng)用，選擇包括所有應(yīng)用的選項(xiàng)。

線積分與面積分的層級(jí)輸出

解題思路：根據(jù)線積分和面積分的定義，選擇與積分類型相關(guān)的選項(xiàng)。二、填空題1.填空題（函數(shù)與極限）

若$\lim_{x\rightarrowa}f(x)=L$，則$\lim_{x\rightarrowa}(f(x)L)=0$

$\int_{0}^{1}x^2\,dx=\frac{1}{3}$

2.填空題（一元函數(shù)微分學(xué)）

函數(shù)$f(x)=x^32x1$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)為$3\cdot0^22=2$

若$f'(x)=2x3$，則$f(x)=\int(2x3)\,dx=x^23xC$，其中$C$為常數(shù)

3.填空題（一元函數(shù)積分學(xué)）

$\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}\Big_{0}^{1}=\frac{2}{3}0=\frac{2}{3}$

若$\int_{1}^{x}(2t1)\,dt=\frac{3}{2}x^2x2$，則$x=1$，因?yàn)閷?x=1$代入右邊等式，得到$\frac{3}{2}12=\frac{3}{2}$，與左邊等式$\int_{1}^{1}(2t1)\,dt=0$相等

4.填空題（多元函數(shù)微分學(xué)）

函數(shù)$f(x,y)=x^2y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的偏導(dǎo)數(shù)分別為$f_x'(1,1)=2\cdot1=2$和$f_y'(1,1)=2\cdot1=2$

若$f(x,y)=xy$，則$f_x'(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0h,0)f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0\cdot00\cdot0}{h}=0$

5.填空題（多元函數(shù)積分學(xué)）

$\iint_{D}x\,dA=\frac{1}{2}\iint_{D}(x^2y^2)\,dA$，其中$D$是$x^2y^2\leq1$的圓盤，因此$\iint_{D}x\,dA=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$

若$\iint_{D}(xy)\,dA=\frac{1}{2}x^2xy\frac{1}{2}y^2$，則$D$的面積$S_D$可以通過積分區(qū)域$D$的對稱性得到，因?yàn)?\iint_{D}x\,dA=\iint_{D}y\,dA$，所以$\iint_{D}(xy)\,dA=x\cdotS_Dy\cdotS_D=S_D(xy)$，比較左右兩邊得到$S_D=\frac{\frac{1}{2}x^2xy\frac{1}{2}y^2}{xy}$，當(dāng)$x=y$時(shí)，$S_D=\frac{1}{2}x^2$，即$S_D=\frac{\pi}{4}$三、計(jì)算題1.求導(dǎo)數(shù)

計(jì)算$\fracyuugawo{dx}(x^33x^22)$

計(jì)算$\fraccao2yaq{dx}(\sin2x)$

計(jì)算$\fracms2q2oy{dx}(e^x\lnx)$

2.求極限

求$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^21}{x1}$

求$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x3}{x^21}$

求$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}$

3.求積分

求$\int(2x3)\,dx$

求$\int(3x^22x1)\,dx$

求$\int\frac{x^21}{x1}\,dx$

4.求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

求$\frac{\partial}{\partialx}(x^2y^2)$

求$\frac{\partial}{\partialy}(x^2y^2)$

求$\frac{\partial}{\partialx}(e^x\siny)$

5.求多元函數(shù)的全微分

求$\mathrmiwms2mu(x^2y^2)$

求$\mathrmomo8my8(e^x\siny)$

求$\mathrmuooccem(xy)$

答案及解題思路：

1.求導(dǎo)數(shù)

$\fracoggeom2{dx}(x^33x^22)=3x^26x$

$\fracawowike{dx}(\sin2x)=2\cos2x$

$\fracmcygs6y{dx}(e^x\lnx)=e^x\lnx\frac{e^x}{x}$

2.求極限

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^21}{x1}=1$（分子分母同時(shí)除以$x$，化簡得$1$）

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x3}{x^21}=0$（當(dāng)$x\rightarrow\infty$時(shí)，分母增長速度遠(yuǎn)大于分子）

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1$（洛必達(dá)法則）

3.求積分

$\int(2x3)\,dx=x^23xC$

$\int(3x^22x1)\,dx=x^3x^2xC$

$\int\frac{x^21}{x1}\,dx=\frac{x^3}{3}\lnx1C$

4.求多元