參考教案2-簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

5/93.5.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃一、教材分析。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（人教B版）必修5第三章3.5.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題（第一課時(shí)），這是一堂關(guān)于簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的“問(wèn)題教學(xué)”。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用叫廣泛的一個(gè)分支。它能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問(wèn)題。簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃關(guān)心的兩類(lèi)問(wèn)題：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最好的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)應(yīng)如何合理規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成，突出體現(xiàn)了優(yōu)化的思想。教科書(shū)利用生產(chǎn)安排的具體實(shí)例，介紹而來(lái)線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法，引用線性規(guī)劃等概念，最后舉例說(shuō)明了簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃在飲食營(yíng)養(yǎng)搭配中的應(yīng)用。二、學(xué)生情況分析。本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)了不等式、直線方程的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)例理解了平面區(qū)域的意義，并會(huì)畫(huà)出平面區(qū)域，還能初步用數(shù)學(xué)關(guān)系表示簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃的限制條件，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題。從數(shù)學(xué)知識(shí)上看，問(wèn)題涉及多個(gè)已知數(shù)據(jù)，多個(gè)字母變量、多個(gè)不等關(guān)系，從數(shù)學(xué)方法上看，學(xué)生對(duì)圖解法的認(rèn)識(shí)還很少，數(shù)形結(jié)合的思想方法的掌握還需時(shí)日，這成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。三、設(shè)計(jì)思想。本課以問(wèn)題為載體，以學(xué)生為主體，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為手段，以問(wèn)題解決為目的，激發(fā)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察思考、猜想探究的興趣。注重引導(dǎo)幫助學(xué)生充分體驗(yàn)“從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題”的建構(gòu)過(guò)程，“從具體到一般”的抽象過(guò)程。應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。結(jié)合本單元教學(xué)要求和本課特點(diǎn)，依據(jù)新課標(biāo)中“知、過(guò)、情”三個(gè)維度，我講本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（一）知識(shí)與技能了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念；了解線性規(guī)劃的圖解法，并會(huì)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲怠＃ǘ┻^(guò)程與方法本節(jié)課是以二元一次不等式表示的平面區(qū)域的知識(shí)為基礎(chǔ)，將實(shí)際生活問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)解決?？紤]到學(xué)生的知識(shí)水平和消化能力，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性。（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀滲透集合、數(shù)形結(jié)合、化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)：線性規(guī)劃的圖解法本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)：尋求線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解6本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)同時(shí)也是本節(jié)課的教學(xué)關(guān)鍵。下面為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我再?gòu)慕虒W(xué)和學(xué)法上談?wù)劊核?、說(shuō)教法和學(xué)法通過(guò)讓學(xué)生觀察、討論、辨析、畫(huà)圖，親身實(shí)踐，調(diào)動(dòng)多感官去體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的思想；學(xué)生要學(xué)會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的方法建立起代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題間的密切聯(lián)系。直角板、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)備三教學(xué)過(guò)程：五、教學(xué)過(guò)程【一】引入情景引入：一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料需要的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸?，F(xiàn)有庫(kù)存磷酸鹽10噸，硝酸鹽66噸。如果在此基礎(chǔ)上進(jìn)行生產(chǎn)，設(shè)分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車(chē)皮數(shù)，請(qǐng)列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域。（選自教材3.5.1例3）

請(qǐng)學(xué)生讀題引導(dǎo)閱讀理解后，列表建立數(shù)學(xué)關(guān)系式畫(huà)平面區(qū)域，學(xué)生動(dòng)手畫(huà)，教師關(guān)注有多少學(xué)生寫(xiě)出了線性數(shù)學(xué)關(guān)系式，有多少學(xué)生畫(huà)出了相應(yīng)的平面區(qū)域，在巡視中并發(fā)現(xiàn)代表性的練習(xí)進(jìn)行展示，強(qiáng)調(diào)這是同一事物的兩種事物的兩種表達(dá)形式數(shù)與形。

問(wèn)題情景是學(xué)生感到數(shù)學(xué)是自然的，有用的，學(xué)生已初步學(xué)會(huì)了建立線性規(guī)劃模型的三個(gè)過(guò)程：列表―>建立數(shù)學(xué)關(guān)系式―>畫(huà)平面區(qū)域，可放手讓學(xué)生去做，再次經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，教師則在數(shù)據(jù)的分析整理上加以指導(dǎo)?！径刻骄啃抡n

例1某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都需要兩種原料。生產(chǎn)甲產(chǎn)品1工時(shí)需要A種原料3kg，B種原料1kg；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1工時(shí)需要A種原料2kg，B種原料2kg?，F(xiàn)有A種原料200kg，B種原料800kg。如果生產(chǎn)甲產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是30元，生產(chǎn)以產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是40元，問(wèn)甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少工時(shí)能使利潤(rùn)的總額最大？最大利潤(rùn)是多少？（選自教材3.5.2問(wèn)題）解:設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品工時(shí)，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品工時(shí)，利潤(rùn)總額為元。目標(biāo)狀態(tài)：利潤(rùn)總額――>生產(chǎn)甲種產(chǎn)品創(chuàng)造的利潤(rùn)+生產(chǎn)乙種產(chǎn)品創(chuàng)造的利潤(rùn)，用符號(hào)表示為：①――>這是關(guān)于變量的一次解析式，從函數(shù)觀點(diǎn)看的變化引起的變化。

初始狀態(tài)：產(chǎn)品原料A數(shù)量（kg）原料B數(shù)量（kg）生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1工時(shí)3

1生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1工時(shí)

2

2限額數(shù)量

1200

800把上述材料符號(hào)化后有：②此時(shí)，由于對(duì)初始狀態(tài)的分析，使我們的目標(biāo)明朗起來(lái)了，在滿足條件下，求的最大值。

到了這里學(xué)生會(huì)陷入僵局，還得需要我們對(duì)做進(jìn)一步的思考

圖形化：

此時(shí)目標(biāo)的理解又一次的發(fā)生變化：在不等式組②表示的平面區(qū)域內(nèi)找一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入式子時(shí)，使該式取最大值。（下面的過(guò)程是老師介紹圖解法）

從方程的角度來(lái)理解這個(gè)等式，它是關(guān)于的二元一次方程對(duì)應(yīng)的圖像是一條直線，但是變化的。

令，則方程表示通過(guò)原點(diǎn)的一條直線，記為。易知，在區(qū)域OABC內(nèi)有。考察這個(gè)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)到的距離（P點(diǎn)在的右上方所以）于是。這就是說(shuō)，點(diǎn)到的距離越大，式子的值也越大。因此，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：在不等式組②表示的平面區(qū)域內(nèi)找與直線距離最大的點(diǎn)。

為了在區(qū)域OABC內(nèi)精確地找到這一點(diǎn)，我們平移直線到位置，使通過(guò)OABC內(nèi)的某點(diǎn)，且OABC內(nèi)的其他各點(diǎn)都在的包含直線的同一側(cè)，很容易證明該點(diǎn)到的距離最大。用此法，區(qū)域OABC內(nèi)的點(diǎn)B為所求。【比較】

以前教材的處理，隨著的變化會(huì)得到一組互相平行的直線，在這一組平行線中有一條比較特殊的直線——過(guò)原點(diǎn)的那條直線即：，將這條直線往下移，則直線在軸上的截距是負(fù)值；往上移，則直線在軸上的截距是正值，根據(jù)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)我們可以轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：根據(jù)式子的特點(diǎn)可以知道直線在軸上的截距是，當(dāng)直線在軸上的截距最大時(shí)，有最大值?！具@種處理方法，是不斷地強(qiáng)調(diào)的幾何意義，但結(jié)果是老師自以為講得很清楚了，而學(xué)生的接受程度并不是想象的那么高。我的講課是按照人教B版教材的方法實(shí)施的，結(jié)果是學(xué)生在這里沒(méi)有太多的思維上的障礙】

解方程組

得點(diǎn)B的坐標(biāo)(200,300),代入式子①，得

。

答：用200工時(shí)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得利潤(rùn)18000元，此時(shí)利潤(rùn)總額最大。

在上述問(wèn)題中，我們把要求最大值或最小值的函數(shù)叫做目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組②成為約束條件。如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則稱為線性目標(biāo)函數(shù)。如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式（或等式），則稱為線性約束條件，在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，稱為問(wèn)題的最優(yōu)解。【在黑板上將整個(gè)過(guò)程展示給學(xué)生，讓學(xué)生有一個(gè)整體感、有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，并進(jìn)一步讓學(xué)生感受一下畫(huà)移求答的過(guò)程，結(jié)合這道題介紹概念，避免的了數(shù)學(xué)概念的枯燥，使學(xué)生更容易理解?！?/p>

【三】練習(xí)

教材P94頁(yè)練習(xí)1

解下列線性規(guī)劃問(wèn)題：

（1）求的最大值，式中的滿足約束條件：

（2）求的最大值與最小值，式中的滿足約束條件：

【及時(shí)檢驗(yàn)學(xué)生利用圖解法解線性規(guī)劃問(wèn)題的情況，練習(xí)的目的：培養(yǎng)學(xué)生的觸類(lèi)旁通、遷移的思想，會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，在做題的過(guò)程中體會(huì)解決線性規(guī)劃問(wèn)題的四步。練習(xí)1一共兩道題，找兩位同學(xué)做，其他同學(xué)在下邊自己做，大約要用5—6分鐘，之后教師講解，及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并指正，對(duì)的給予鼓勵(lì)?！俊舅摹繉?shí)例展示例2下表給出甲、乙、丙三種食物中的維生素A、B的含量及單價(jià)：

甲乙丙維生素A（單位/千克）400600400維生素B（單位/千克）800200400

單價(jià)（元/千克）765營(yíng)養(yǎng)師想購(gòu)買(mǎi)這三種食物共10千克，使它們所含的維生素Ａ不少于4400單位，維生素B不少于4800單位，而且要使付出的金額最低，這三種食物應(yīng)各購(gòu)買(mǎi)多少千克？選自教材3.5.2例1，營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題）【一是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)的中存在許多簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，二是讓學(xué)生經(jīng)歷完整的分析探究問(wèn)題、制定解決問(wèn)題的策略的過(guò)程，讓學(xué)生全面參與課堂教學(xué)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系?！俊疚濉空n后延伸

在上述線性規(guī)劃問(wèn)題中線性約束條件及線性目標(biāo)函數(shù)是確定的，求目標(biāo)函數(shù)的最值即求最優(yōu)解，這是問(wèn)題的一方面，另一方面如要求結(jié)果為整數(shù)呢？最優(yōu)解在哪兒？

若已知有唯一（或無(wú)數(shù)）最優(yōu)解時(shí)，反過(guò)來(lái)確定線性約束條件后目標(biāo)函數(shù)某些字母系數(shù)的取值（范圍），又如何解決呢？（為下節(jié)課做好準(zhǔn)備）【六】課堂小結(jié)

求線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲档牟襟E（板書(shū)體現(xiàn)）

【七】課后作業(yè)

課本P96頁(yè)第5題。六、教學(xué)反思

本節(jié)課在學(xué)生對(duì)線性目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題有一點(diǎn)了解的基礎(chǔ)上講解的，達(dá)到了預(yù)期教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念；了解線性規(guī)劃的圖解法，并會(huì)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲?。

課堂上要給學(xué)生思考的時(shí)間，教師引導(dǎo)，學(xué)生去思考、探索得出結(jié)論。在教學(xué)的過(guò)程中講練結(jié)合，同時(shí)學(xué)生觀看老師的板演也加深了對(duì)知識(shí)的理解。特別是在過(guò)原點(diǎn)直線進(jìn)行平移到區(qū)域的邊界點(diǎn)的這一過(guò)程，所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想及形象又直觀地在學(xué)生面前展現(xiàn)出來(lái)，在練習(xí)的過(guò)程中體會(huì)到成功的快樂(lè)。在教學(xué)過(guò)程中滲透集合、數(shù)形結(jié)合、化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，在練習(xí)上，學(xué)生自己也體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的重