福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué)含解析

1．設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483644(l),Δ))3．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()知甲每局獲勝的概率為，且比賽沒(méi)有平局．記事件A表示“甲獲得冠軍”，事件B表示“比賽進(jìn)行了三局”，獨(dú)立；②若P(AC)+P(BC)=1，則A,B互為對(duì)立事件；獨(dú)立；④若P(AB)=P(A)-P(A)P(B)，則A,B相互獨(dú)立.其中正確的結(jié)論有()e，則()9．若函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的值可能為()5210．已知Ω為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿(mǎn)足AíΩ,BíΩ,則下列說(shuō)法正確的是()B．若BíA，且，則11．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1C．若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足AM=2CM，則A1M的最小值是D．若動(dòng)點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在A1D上，則MN的最小值為12．已知事件A與事件B相互獨(dú)立，且P(A)=0.3，，，(1)證明：DE//平面PBF．(1)若曲線(xiàn)y=f(x)在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x相互垂直，求m的值；(2)若m=3，求f(x)的極值．17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AD丄AB，側(cè)面PAB丄底面ABCD，PA=PB=，且E,F分別為PC,CD的中點(diǎn)．(2)若直線(xiàn)PF與平面PAB所成的角為60°,求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．其計(jì)分規(guī)則如下：初始甲、乙雙方均為0分，答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得-1分，未搶到題得0分，最后總分累計(jì)多的人獲勝．假設(shè)甲、乙搶到每題的成功率相同，且甲、乙每題答題正確的概率分別為和．19．已知定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，g(x)，若"x1，x2∈D(x1≠x2)，存在一個(gè)正實(shí)數(shù)M，滿(mǎn)足f(x1)-f(x2)<M)-g(x2)，則稱(chēng)g(x)是f(x)的“M—陪伴函數(shù)”．(1)已知D=[0,1]，判斷函數(shù)g(x)=2123456789DADBCCBD利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求值.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(-),A),列出方程求解即可.即e1+2e2-e3=mλe1+mμe2+me3， 對(duì)于D，(2sinx+3cosx)￠=2cosx-3sinx，故D正確.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(ù),」)由條件概率公式可得P(A當(dāng)a=0時(shí)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，在R上單調(diào)遞減，所以②正確，①錯(cuò)誤；x→+∞時(shí)，f(x)→0，當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→+∞,所以④相符.件概率公式可知④正確.【詳解】對(duì)于①,若A,B互斥，則P(AB)=0，又P(A)P(B)>0，:P(AB)≠P(A)P(B)，:A,B不相互獨(dú)立，①正確；扔一枚骰子，記事件A為“點(diǎn)數(shù)大于兩點(diǎn)”；事件B為“點(diǎn)數(shù)大于五點(diǎn)”；事件C為“點(diǎn)數(shù)大于一點(diǎn)”，滿(mǎn)足P(AC)+P(BC)=P(C)，但A,對(duì)于③,扔一枚骰子，記事件A為“點(diǎn)數(shù)大于兩點(diǎn)”；事件B為“點(diǎn)數(shù)大于五點(diǎn)”；事件C為“點(diǎn)數(shù)大于六點(diǎn)”，滿(mǎn)足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，此時(shí)P(AB)≠P(A)P(B)，:事件A,B不相互獨(dú)立，③錯(cuò)誤；對(duì)于④,QA=ABUAB，事件AB與AB互斥，:P(A)=P(AB)+P(AB)，又P(AB)=P(A)-P(A)P(B)，:P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)，即P(AB)=P(A)P(B)，:事件A,B相互獨(dú)立，④正確.【詳解】令f(x)=x，取自然對(duì)數(shù)得2(0,e2),g根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在(1,2)上單調(diào)遞增，對(duì)于B，由BíA，則A+B=A，所以故B錯(cuò)誤；對(duì)于則P，即A與B相互獨(dú)立，ABA舉反例，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)A1M不垂直于B1C；B采用延長(zhǎng)線(xiàn)法可構(gòu)造截面；C由AM=2CM可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是球，在平面ABCD內(nèi)找出球心，即可計(jì)算半徑，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A1與球上的點(diǎn)間的距離的最小值；D以D為原點(diǎn)建系，求異面直線(xiàn)AC和A1D的距離即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，易知A1M不垂直于B1C，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖，設(shè)PQ∩CC1=S,PQ∩CD1=T，連接BS交B1C1于點(diǎn)E，連接BT交AD于點(diǎn)F，連接QF,PE，則五邊形BEPQF即截面，AM=2CM,得平面上點(diǎn)M空間中點(diǎn)M的軌跡是球面，球心O在直線(xiàn)AC上，由得AM2=2CM2得CM2=，AAEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(-),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(-),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(-),A)因MN的最小值即異面直線(xiàn)AC和A1D的距離，故MN的最小值為，故D正確．利用獨(dú)立事件的概率公式求出P(AB)，再由公式P(AèB)=P(A)+P(B)-P(AB)可求得結(jié)果.所以，P(AèB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.58.故答案為：0.58.利用空間向量的四點(diǎn)共面的定理，得出系數(shù)的關(guān)系，再借助基本不等式求出最小值.r【詳解】因?yàn)镻G=PA+AG=PA+×(AB+AC)=PA+(AP+PB+r323所以PM=PG=(PA+PB+PC)，因?yàn)镸,D,E,F四點(diǎn)共面，所以λ+μ的最小值為.個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析g(x)的單調(diào)性和最值，結(jié)合g(x)的圖象分析求解即可.【詳解】由題意可知：f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，1令f(x)=xa+=0，則=-alna，可得=，a可知與有2個(gè)不同的交點(diǎn)，可知g(x)在(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增，在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則可得g(x)的圖象如圖所示：,（1）取PB的中點(diǎn)G，由EG//DF、EG=DF得四邊形EGFD為平行四邊形，再由線(xiàn)面平行判定定理可得EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(-),A)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(-),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(-),A)平面PBF的法向量，再由線(xiàn)面角的向量求法可得答QDF//AB，且:四邊形EGFD為平行四邊形，:DE//FG．又DEì/平面PBF，F(xiàn)Gì平面PBF，:DE//平面PBF；EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(-),A)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(-),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(-),A)-p+r=0l2-1p+2q=l2:直線(xiàn)PD與平面PBF所成角的正弦值為．（1）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合垂直關(guān)系求出參數(shù)值.【詳解】（1）函數(shù)f(x)=-mlnx+3x，求導(dǎo)得則f￠(1)=-m+3，由切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x相互垂直，得(-m+3)×1=-1，所以m=4.所以f(x)在x=1處取得極小值e+3，無(wú)極大值．（1）先作輔助線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形，利用中位線(xiàn)定理得到ME//BC且結(jié)合已知AD//BC且 ,推出ME//AD且ME=AD，從而得出四邊形ADEM是平行四邊形，得到DE//AM，再證明（2）由（1）知BC丄平面PAB．作輔助線(xiàn)，求證FG丄平面PAB，得到PF與平面PAB所成的角為上GPF，結(jié)合向量夾角余弦公式計(jì)算即可.因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以ME//BC，又因?yàn)樗訫E//AD，ME=AD，所以四邊形ADEM為平行四邊形，則DE//AM．因?yàn)锳D//BC，AD丄AB，所以BC丄AB．因?yàn)槠矫鍼AB丄平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BCì平面ABCD，所以BC丄平面PAB．又AMì平面PAB，所以BC丄AM，又DE//AM，所以DE丄BC．EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(-),C)-4,-2,0)．設(shè)平面PCD的法向量為n1=(x,y,z)，易知平面PAB的一個(gè)法向量為n2=(0,1,0)設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為θ,所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為．甲在一輪比賽中得i（i=0,1,2,3）分為:甲在一輪比賽中獲得1分的概率為.設(shè)甲在一輪比賽中獲勝為事件C，:P(CA0)=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(1),3):P(C)=P(A0)P(CA0)+P(A1)P:甲在每輪比賽中獲勝的概率為.設(shè)甲前三輪累計(jì)得分恰為6分為事件D，:P(D)=CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(1),3)×P(B3)×P(B3)×P(B0)+AEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(3),3)P(B3)×P(B2)×P(B1)+P(B2)×P(B2)×P(B2):甲前三輪累計(jì)得分恰為6分的概率為.（2）通過(guò)放縮得再記s=max{x1,x則得到f(x1)-f(x2)<Mg(x1)-g(x2)i，即證明原命題；（3）根據(jù)陪伴函數(shù)的定義得f(x1)-f(x2)<3x1-x2，通過(guò)【詳解】（1）假設(shè)g(x)是f(x)的＂M—陪伴函數(shù)",2),f(x1)-f(x2)<Mg(x1)-g(x2)，即xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),1)-xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),2)+3(x1-x2)<3Mx1-因此M≥,因此g(x)是f(x)的＂M－?伴函數(shù)且M的最小值是．"x1,x22即f(x1)-f(x2)<Mg(x1)-g(x2)，因此g(x)是f(x)的＂M—陪伴函數(shù)",即f(x1)-f(x2)<3x1-x2，不妨假設(shè)x1<x2，則3x1-3x2<f(x1)