《大學文科數(shù)學》課件-第三章 變化率和局部線性化

第一講

導數(shù)的引入-兩個實例§1函數(shù)的變化率——導數(shù)中學學習函數(shù)，知道當自變量x變化時，函數(shù)值f(x)隨

x變化而變化，這是第一層次的問題.化相對于

x的變化是快還是慢？問題，需要用微積分來解決.如果問x變化之后，函數(shù)值的變這就是變化率，是高一層次的一、兩個實際例子二、導數(shù)的概念三、導數(shù)的運算性質(zhì)四、二階導數(shù)一、兩個實際例子1.切線問題曲線的切線是中學就有的概念，我們在日常生活中也是可以用直覺感知的.該也是很難說清楚的.著雨傘旋轉軌跡的切線方向飛去”，相信人們基本能理解這句話的意思.比如，說“旋轉雨傘時，雨滴脫離雨傘瞬間是沿但究竟什么是“切線方向”，沒有數(shù)學的幫助，應定點的切線了！那么，什么是切線？與曲線密切接觸程度最高的一條直線.決定一條直線需要兩點，要找的切線首先應通過該定點，一點，在曲線上往往找不到最好的，越靠近該定點一定越好.點B

(稱為動點)，直線(稱為割線)，接近定點時，該直線就成為了過該通俗地講，曲線在某一點A的切線是在該點那么如何求出切線呢？為了得到切線,，先在定點附近取一至于另x0AxyO再過這兩點作一條當這個動點無限BB設曲線C是函數(shù)的圖像.

是曲線C上的一個點，是C上靠近A的點過A，B作割線，則割線AB的斜率為當點B沿曲線C移動并無限接近點

A時(即)，如果極限存在，于是過點且以k為斜率的直線AT便是曲線C在點A處的切線.則k就是曲線C在點A處切線AT的斜率.與自變量的增加量比值的極限.只要不等于零，這個比值就不是切線的斜率，義.所以要用割線的斜率無限逼近切線的斜率，其極限位置（即時的極限）就是切線的斜率了.比值的意義是函數(shù)在區(qū)間而極限則是處的在這里看到，曲線的切線問題最后歸結到函數(shù)的增加量上的平均變化率，瞬時變化率.而等于零比值就沒有了意2.瞬時速度問題中學涉及的速度都是平均速度，平均速度實質(zhì)是將整個過程看成是勻速運動時的速度.的速度時，這就是瞬時速度了.“速度”一條的解釋是：但是，當人們要研究運動在某一時刻什么是瞬時速度呢?《辭?！分忻鑼懳矬w位置變化的快慢和方向的物理量.物體的位移和時間之比，稱為這段時間內(nèi)的平均速度.于0），這一比值的極限就稱為物體在該時刻的速度，“瞬時速度”.如果這一時間極短（趨向亦稱現(xiàn)在用辭海中的定義來求出直線運動的瞬時速度.設質(zhì)點M沿直線運動，其位移s是時間t的函數(shù)：當位移

s也有一個增量時間t在處有一個增量這樣質(zhì)點M從時刻到時刻內(nèi)的平均速度為若平均速度的極限存在，則其極限稱為質(zhì)點

M在時刻

時的瞬時速度.由此看到，瞬時速度也是一種變化率.變化率在微分學中就是“導數(shù)”.上面兩個例子雖屬不同的范疇（一個是幾何，一個是物理），但要解決的數(shù)學問題是一樣的，都是函數(shù)關于自變量的變化率問題.因此研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比值的極限具有重要的實際意義.第二講

導數(shù)的概念二、導數(shù)的概念定義1當自變量x處有增量（點仍在該鄰域內(nèi)）時，相應地函數(shù)有的某一鄰域內(nèi)有定義，設函數(shù)增量如果與的比值的極限存在，則稱該極限為函數(shù)f(x)在點處的導數(shù)，記作即也可以記作或如果極限不存在，則稱

f(x)在處不可導.若令則當于是可得

f(x)處導數(shù)的等價定義定義2若存在，則稱此極限為處的右（左）導數(shù)，記作右導數(shù)與左導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù).根據(jù)導數(shù)定義及極限存在定理可知：性質(zhì)存在的充要條件與都存在且相等.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上每一處都可導（對于端點，只要存在相應的單側導數(shù)），則稱f(x)在I上可導，其導數(shù)值是一個隨

x變化而變化的函數(shù)，稱為導函數(shù)，記為或在第二章知道，函數(shù)f(x)在點處連續(xù)是或者應該與f(x)在點處的導數(shù)是有關系的.根據(jù)定義，f(x)在點可導時，存在，這樣就有這表明函數(shù)f(x)在處可導必定在處連續(xù)，簡稱可導必連續(xù).性質(zhì)如果函數(shù)f(x)在點可導，f(x)在點連續(xù).則這個性質(zhì)說明連續(xù)是可導的必要條件：如果函數(shù)在某點不連續(xù)，則在該點一定不可導.但函數(shù)f(x)在點處連續(xù)一般不能得出f(x)在處可導.求函數(shù)在某一點處的導數(shù).例1解取自變量x在處的增量于是函數(shù)有相應的增量所以例2牛頓在《求積術》一文中關于導數(shù)（當時稱流數(shù)）有如下的論述：設

x均勻地變動一個增量

h，

欲求的導數(shù)，在x變成x+h的同時，變成而注意到將它與增量h作比，約去h，得再令增量h等于零，最終的比值變成了牛頓用上面的論證得出的導數(shù)是顯然論證不夠嚴格.增量h開始時不是0，所以求比值時可以約去.后來為了得到導數(shù)，又令增量h為零，與例1相比，牛頓時代由于極限理論尚未成熟，無法將極限表達清楚，以至于出現(xiàn)了這種對待h招之即來、揮之即去的做法，在邏輯上是站不住腳的，解決了許多科學和工程上的問題.現(xiàn)在我們知道這實際上是一個極限問題，即可.可是在應用上卻屢獲成功，使除了外的其余各項均消失.只要求極限例3

設f(x)在x=1處可導，且求極限解根據(jù)導數(shù)的定義，注意到，當h→0時，所以有例4常值函數(shù)的導數(shù)為：例5求三角函數(shù)的導數(shù).解類似地，可以得到：于是有例6求對數(shù)函數(shù)的導數(shù).解類似的方法，可以得到（留作練習）第三講

導數(shù)的四則運算

反函數(shù)的導數(shù)三、導數(shù)的運算性質(zhì)有了導數(shù)的定義，就可以進行求導運算了，但是，即便是基本初等函數(shù)，求導也不是一件容易的事，為了使求導變得更為簡便，走得更遠，需要研究導數(shù)的性質(zhì)和求導數(shù)的運算法則.由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算生成的，因此知道了基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及四則運算、復合函數(shù)求導法則，初等函數(shù)的求導問題就解決了.1.導數(shù)的四則運算設函數(shù)和都可導，則（1）可導，且.（2）可導，且；特別地，對于常數(shù)k，有.；（3）當時，可導，特別地，.定理1

下面對乘法法則進行證明.（2）可導，且；證求下例函數(shù)的導數(shù)：(1)根據(jù)除法法則，有(2)類似地，有解

例7則在點可導,且單調(diào),設為的反函數(shù)，或在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)、嚴格且補充定理（反函數(shù)求導法則）解上的反函數(shù)，補充例1

求的導數(shù).所以上的反函數(shù)，補充例2求的導數(shù).解所以練習1

求的導數(shù).練習2求的導數(shù).第四講

基本求導公式、例2.基本初等函數(shù)的求導公式（1）常值函數(shù)的導數(shù)；（2）冪函數(shù)是實數(shù)）（的導數(shù)

；（3）指數(shù)函數(shù)的導數(shù)，；（4）對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，（5）三角函數(shù)的導數(shù)（6）反三角函數(shù)的導數(shù)這些基本求導公式是計算導數(shù)的基礎，必須牢記！求下例函數(shù)的導數(shù)：解(1)根據(jù)加法和減法法則，有(2)根據(jù)乘法法則，有(1)(2)例8(3)根據(jù)除法法則，有(3)(4)(4)解切線的斜率.因此，所求切線的斜率為即曲線經(jīng)過點(1,1).根據(jù)直線的點斜式方程，所求切線的方程為求曲線在處的切線方程.函數(shù)在點的導數(shù)就曲線上過點的例9

又當化學反應速度.其反應物的濃度C是時反應物因而反應物的間t的函數(shù)當時間變量在時刻有一增量時，的濃度也有一相應的改變量濃度從時刻到時刻這段時間間隔內(nèi)的平均變化率為當時，其極限（如果存在）就是反應物濃度在時刻的瞬時變化率，化學中稱為在時刻的化學反應速度.例10在設某一化學反應，例11

導數(shù)不存在的例子：的左、右導數(shù)都存在，解因為所以絕對值函數(shù)但導數(shù)不存在.于是的導數(shù)不存在.從圖中可以看出，在原點連續(xù)，曲線但沒有切線！在

處因此

f(x)在

處第五講

復合函數(shù)求導法，二階導數(shù)3.復合函數(shù)的求導法則并且可以復合成復合函這個復合函數(shù)的求導法則通常稱為鏈法則.另外，例12解數(shù)則復合函數(shù)也可導，或是對變量u求導，然后再用代替

u

得到的表達式.求的導數(shù).是由，復合而成，設函數(shù)與函數(shù)都可導，其導數(shù)為還要注意公式中的記號，根據(jù)鏈法則有例13解（1）可以把這個函數(shù)展開成多項式后再進行求導，因此用復合函數(shù)求導法：根據(jù)鏈法則有麻煩，所以求（1）的導數(shù).（2）是由和復合而成，（2）由復合而成，但會非常例14解所以例15解所以復合函數(shù)求導的關鍵是正確分解復合函數(shù).求的導數(shù).是由復合而成，求的導數(shù)由復合而成，練習利用復合函數(shù)求導法則，求一般冪函數(shù)的導數(shù).

四、二階導數(shù)運動學中，率，因為變速直線運動的速度

v(t)是位移函數(shù)

s(t)對時間

t的導數(shù)，所以加速度

a(t)

是位移函數(shù)對時間

t的導數(shù)的導數(shù)，也就是說，個可導函數(shù)求導之后，需要知道物體的速度，更需要知道運動速度的變化即加速度.是速度v(t)對時間

t的導數(shù)，而加速度

a(t)對一有時還需要研究其導函數(shù)的導數(shù).記為稱函數(shù)導數(shù)的導數(shù)為的二階導數(shù)，或或或，函數(shù)的二階導數(shù)在點處的值記為例16解解例17設求設求例18解設求解例19設求例20解設求續(xù)求導，只要條件滿足，個求導過程可以繼續(xù)下去.二階以及二階以上的導數(shù)都稱為如果函數(shù)的二階導數(shù)仍然可導，那么可以對繼這就是函數(shù)的三階導數(shù).這高階導數(shù).第六講

微分的概念§2函數(shù)的局部線性化——微分在中學數(shù)學中稱為一次函數(shù)，函數(shù)，但是在實際中，到的函數(shù)都不會是線性函數(shù)，函數(shù)復雜得多.那么遇到不簡單的事情怎么辦呢？把它化解成簡單的事情來處理！線性函數(shù)，是最簡單的它的圖形是平面上的一條直線.經(jīng)常碰也就是我們要處理的問題比線性一、微分是函數(shù)在局部的線性化由導數(shù)的定義，其中一個小的鄰域內(nèi)有可以將上述極限寫成將其變形為所以當時，是的高階無窮小量：于是在的當很小時，注意到，上式表明，同時記作的線性部分的高階無窮小量部分和稱的線性部分為函數(shù)在處的微分，稱函數(shù)在處可微，由兩部分組成，函數(shù)的增量性部分，因而在點

A附近的曲線段可用切線段來近似代替.函數(shù)在一點的微分就是函數(shù)增量關于自變量增量的線即在點的微分就是函數(shù)在的一個領域內(nèi)的線性近似：曲線在點

A處的切線的而在點的增量為并且越小，與接近程度就越高，在點處的微分的差是的高階無窮小量縱坐標增量CD就是函數(shù)兩者之間得到近似公式微分本質(zhì)就是函數(shù)在局部的線性化.以及用代入，的附近的一個局部范圍內(nèi)，次函數(shù)（即線性函數(shù)）來近似，由，(

很小)時，得到當x非常接近可以近似地用一函數(shù)即在為了能更好地理解“微分本質(zhì)就是函數(shù)在局部的線性化”這句話的含義，兩者之間幾乎已經(jīng)看不出差別了.可以看出當非常接近0時，線差距非常小.當在點處的情形放大仔細考察.對函數(shù)附近，在與直曲線時，局部線性化的思想在數(shù)學中有著非常重要的意義.數(shù)學學習的一個重要方法就是“化難為易”，而線性函數(shù)（或稱一次函數(shù)）是最簡單的函數(shù)，將一個難的、復雜的函數(shù)在局部變成一個最簡單的線性函數(shù)來研究，實際上，這種“線性化”以及類似的方法貫穿于整個數(shù)學中.學習數(shù)學重要的是要學會運用數(shù)學的思想去處理和解決各種問題.能不是一個好方法嗎？區(qū)間

I上可微.數(shù)的微分，于是微分又可記作如果函數(shù)在區(qū)間

I上的每一點都是可微的，函數(shù)在區(qū)間I上任意點

x的微分，記作或，將記為在就稱稱為函即在微分中，所以，即微分的商.于是往往記為自變量的增量從而可以得到.有時也稱導數(shù)為“微商”，欣賞無窮小的故事在牛頓創(chuàng)建微積分之前，家運用無窮小進行研究，費馬運用無窮小得出了令人驚奇的正確結論.難以解釋清楚.從古希臘到文藝復興，可是無窮小量是什么？在那時卻圍成的面積最大.這是一個完全正確的命題，沒有人能夠證明其正確.費馬運用無窮小加以論證.人們認為無窮小就是“既是0又不是0的量”.費馬已經(jīng)有許多數(shù)學如法國數(shù)學家大家都認為周長一定的矩形以正方形但是，在當時，設矩形的二分之一周長是

a，時面積最大，那么可以猜想費馬認為，約去它，得假設當矩形的兩個鄰邊為又因為是無窮小量，立刻得到結論.只要證明任取無窮小量在變量取得最大值或最小值的地方自變量加一個無窮小量運動都是穩(wěn)定的.進去函數(shù)值不會變化.展開這個式子，得到整理后有因為，看成是0，可以略去，

這段論證在邏輯上確實是有漏洞的，0，可以約去，但是正是因為費馬這些先輩的大膽探索，在本章開始時曾經(jīng)說過，因之一，一會兒又說等于0.一會兒說無窮小量不是推動了數(shù)學的發(fā)展，才有微積分的誕生.求最大最小值問題是微分學產(chǎn)生的三個原這個例子支持了這個說法.第七講

基本微分公式與運算法則二、基本微分公式與運算法則只要計算函數(shù)的導數(shù)，微分運算法則從函數(shù)的微分表達式可以看出，1.2.3.要計算函數(shù)的微分，再乘以自變量的微分即可.基本初等函數(shù)的微分公式1.（C是常數(shù)）；2.為任何實數(shù)）；（3.4.5.6.例1解計算微分：（1）根據(jù)微分的運算法則1，有（2）根據(jù)微分的運算法則2，有（2）（1）這是一個復合函數(shù)，（3）先求導數(shù).因為所以解法一，解法二，所以先求導數(shù)，因為根據(jù)微分的運算法則3，（4）有例2解求函數(shù)在處，因為，時的微分.當所以例3解請用微分導出近似公式：于是當

x與0很接近時，有代入前式，有當

x非常接近時，有現(xiàn)設而很小時，當有這樣我們就得到：比如，很小時，當有近似公式用同樣的方法，可以得到下面近似公式：于是可以求出，是用線性函數(shù)來進行近似的.要用精度更高的多項式函數(shù)來近似.而在使用上述近似公式時一定要注意很小這個條件（比如當比較大時，很小時當其精度會大大下降，原因在于這里為了得到更高的近似精度，就需要）,例4經(jīng)濟學中的邊際問題.產(chǎn)量引起的總成本的增加量，成本的變化量（即邊際成本）是小單位是1，即這種替代得到了廣泛的認同.在實際應用中，設成本函數(shù)為（其中

x表示產(chǎn)量），，因此可以用成本函數(shù)的導數(shù)近似地替代成本函數(shù)的增量比如邊際成本，就是每增加一單位其實質(zhì)是一個微分問題.當產(chǎn)量在原產(chǎn)量的基礎上變動時，由于產(chǎn)量增加量至少是1，的最即所以根據(jù)微分定義：更容易計算，一般導數(shù)比成本函數(shù)的增量第八講

拉格朗日中值定理和

函數(shù)的平均變化率§3微分中值定理和導數(shù)的應用拉格朗日微分中值定理是局部與整體溝通的橋梁.圖3.6

拉格朗日(JosephLouisLagrange1736─1813)一、拉格朗日中值定理和函數(shù)的平均變化率定理1(拉格朗日中值定理)續(xù),使得這個公式稱為拉格朗日公式，它的幾何解釋見圖，上至少有一點的斜率等于曲線兩個端點連線的斜率.如果函數(shù)在閉區(qū)間上連上可導,在開區(qū)間則至少存在一點即在曲線體性質(zhì)),x是時間變量，拉格朗日中值定理因此也是“平均值定理”.公式右邊表示函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率(整如果將函數(shù)看成一個位移函數(shù)，則拉格朗日中值公式表明在時間段上平均速度，某一時刻的瞬時速度.表示函數(shù)在處的瞬時變化率(局部左邊性質(zhì)).等于其中部性質(zhì)得到深化.拉格朗日中值定理將函數(shù)與導函數(shù)聯(lián)系起來：局部性質(zhì)研究透了，的整體性質(zhì)就可以借助局只是肯定存在于a,b之間，把這又是一個典型的存在性定理，即定理中的但不知道它的確切位置.問題中值定理中條件在閉區(qū)間上連續(xù)改成在開區(qū)間上連續(xù)，結論還會成立嗎？或者差別在于后者是近似式，是確定的值，等式，確切位置不知.這個差別決定了兩個公式的不同作用：中值公式還可以寫成，內(nèi)的任意兩點有其中是介于與之間的實數(shù).x將上式與比較后看出，于是對于區(qū)間兩者之間的導數(shù)是而前者是導數(shù)是理論推導用中值公式，近似計算用微分式.推論1證只要證明，的大小關系如何,（=I）.使得如果在開區(qū)間上的導數(shù)恒為0，則在區(qū)間上恒等于一個常數(shù).都與中的一個定點上的值相等即可.現(xiàn)在取定點則對任意的無論x與所以有即在區(qū)間上是一個常數(shù).即對任意對于任意或它們總可以形成一個閉區(qū)間則存在(為什么？)推論2即中值定理的作用就顯現(xiàn)出來了.點點為零轉化為在區(qū)間上是常數(shù)，性質(zhì)得到了的整體性質(zhì)，如果兩個函數(shù)在區(qū)間上的導數(shù)相等，則在上，與相差一個常數(shù)C，這是因為函數(shù)導數(shù)為零，當?shù)木植啃再|(zhì)容易把握，局部從這就是中值定理的威力！從而是一個常數(shù).整體性質(zhì)較難把握時，而例1證可導，所以由上面推論1，而證明當時，設則在上連續(xù)，因此當時，有恒等式在其導數(shù)在區(qū)間上是一個常數(shù)C，有這時運用微分中值定理就一舉解決問題了！要驗證在閉區(qū)間上非常困難，函數(shù)的導數(shù)在上恒為零卻簡單得多，而驗證第九講

函數(shù)單調(diào)性和極值（I）二、微分中值定理的應用在本小節(jié)中將解決函數(shù)單調(diào)性、極值，不定式極限等問題.1.函數(shù)的單調(diào)性刻可得：定理2增加）.對于區(qū)間中任何兩點有如果已經(jīng)知道在區(qū)間上恒大于0（或小于0），（1）如果函數(shù)在區(qū)間上恒有

(或),（2）如果函數(shù)在區(qū)間上恒有(或),則函數(shù)在區(qū)間上嚴格單調(diào)減少（或單調(diào)減少）.則立在區(qū)間上嚴格單調(diào)增加（或單調(diào)則函數(shù)區(qū)間上的單調(diào)性是整體性質(zhì)，質(zhì)，在山中的什么地方，導數(shù)在每一點的符號則是局部性微分中值定理把兩者連接起來了.”雖然不知道老藥師“但憑借他的崇高聲望，仍然可以解決問題!例2證根據(jù)定理2，上嚴格單調(diào)增加.例3證上的單調(diào)減少函數(shù).證明在無窮區(qū)間上嚴格單調(diào)增加.的導數(shù)大于0.因為當時，所以在證明當時，于是當時，設所以是因此當時，，即時，只要證明當有也就是例4證從上面兩個例子看到，是：有單調(diào)性，證明不等式當時成立.令則當時，所以在時是嚴格單調(diào)增加的，即移項即得然后證明

具時，因此當利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的一般方法先將不等式的右邊項移到左邊設為最后得出不等式.例5解所以，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.令得到當時，當時，在區(qū)間上嚴格單調(diào)減少，上嚴格單調(diào)增加.在區(qū)間2.函數(shù)的極值和最值極值是極大值和極小值的統(tǒng)稱，所謂極大值就是相對的最大值，如圖，局部范圍內(nèi)是最小值，整體看，左邊那個處的值在所以是極小值.或者說是局部范圍內(nèi)的最大值.的圖形在函數(shù)但從它并不是最小的，定義1個極大值點（或極小值點）.函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.要求出極值，那么怎樣才能找出極值點呢？換句話說，一下子就找到它？設函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義，切恒有(或則稱是函數(shù)的一個極大值（或極小值），同時稱點是函數(shù)的一如果對一只要找到極值點就行.函數(shù)的極值點上有什么特殊的性質(zhì)，使我們能觀察左圖，函數(shù)有切線（可導），條切線一定是與

x軸平行的，就是在這點處的導數(shù)是零.回想第五講“無窮小的故事”，認為在變量取得最大值或最小值的地方，穩(wěn)定就是導數(shù)為零.定理3（費馬定理）在，若是函數(shù)的極值點，在極值點處，如果那么,這也費馬運動都是穩(wěn)定的.存并且則必有費馬定理說明，導數(shù)為零的點稱為駐點.于是一個函數(shù)的極值點包含在它的駐點中！例6但是明顯地，所以，如何判別這些點是否為極值點呢?函數(shù)與在處的導數(shù)：所以是這兩個函數(shù)的駐點.但卻在處取極小值.都是0，而函數(shù)在處導數(shù)不存在，如果函數(shù)在極值點處可導，那么導數(shù)為零.的極小值點，0是的極值點.卻不是除了駐點，導數(shù)不存在的點也有可能是極值點.第十講

函數(shù)極值（II）定理4（判斷極值點的充分條件）如果大值（或極小值）.設函數(shù)在的某鄰域上可導，上連續(xù)，(1)在區(qū)間上，(2)在區(qū)間上，則是的極大值點（或極小值點），在是的極即例7證在邊長一定的矩形中，（1）現(xiàn)在的證明.相鄰兩邊分別為

x與是極大值點.因此，即矩形是正方形時，則矩形面積令得駐點當時，當時，故正方形的面積最大.設矩形的二分之一周長為一個定數(shù)

a，時，當矩形兩邊長分別是面積最大.（2）費馬證明的完善.即所以，即是正方形.設是解，這里的兩邊.順著費馬的思路，但用極限.b是極值點，或者說于是面積最大時，滿足分別是費馬神奇式子例8解是函數(shù)的極小值點，求函數(shù)的極值.令得到駐點和因為當時，，時，，是函數(shù)的極大值點，而當時，，時，所以所以極大值為極小值為Oyx例9解不為零，即函數(shù)沒有極值.因為除了一個不可導點外，但當時，在的兩邊不變號，其余導數(shù)都是極值的可疑點.故不是極值點.所以例10解為了得到單調(diào)性和極值，分成三個小區(qū)間，的單調(diào)性，為此列表討論如下：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大、極小值.令得駐點用得到的駐點將函數(shù)定義域討論導數(shù)在三個小區(qū)間上的符號，來確定函數(shù)求出極值.單調(diào)遞減區(qū)間所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為當時有極大值當時有極小值第十一講

函數(shù)的最值最大值和最小值問題.由第二章閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理知道，間上連續(xù)的函數(shù)，取得最大值或最小值的點，極大（?。┲凳蔷植康淖畲螅ㄐ。┲?，值和最小值則是區(qū)間上的整體性質(zhì)，所以面對“最值在哪里能找到？”這樣的問題，最大（?。┲抵豢赡茉跇O大（?。┲迭c，取得，在閉區(qū)其函數(shù)值一定存在最大值和最小值.稱為最大值點和最小值點，簡稱最值點.是局部的性質(zhì)，而最大應該馬上就能回答：或者是閉區(qū)間端點上其他點都不可能.(2)比較這些值的大小，最小的就是最小值.思考駐點和不可導點只是極值的可疑點，們是否為極值點呢？求函數(shù)在閉區(qū)間上最大值與最小值的方法為：(1)求出在開區(qū)間上的駐點和不可導點，在這些駐點和不可導點處的函數(shù)值，處的函數(shù)值;然后求出在端點以及上的最大值，最大的就是函數(shù)在為什么不去判定它例11解比較它們大小，求三角函數(shù)在上的最大值和最小值.從圖像上可得函數(shù)在處取最小值-1,處取得最大值1.在令駐點和端點處的函數(shù)值為：在處取最小值-1;在處取最大值1.得到中的駐點得例12解由例8已經(jīng)知道，分別是極大值點和極小值點；和兩個端點的值分別為：所以最大值和最小值分別是18和-18，取到.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.上有兩個駐點這個函數(shù)在開區(qū)間函數(shù)在兩個駐點都是在端點例13解制造一個圓柱形有蓋飲料罐，根據(jù)已知的知識，代入消去

h根據(jù)問題的實際意義，此這個駐點就是最小值點.,高為

h.為由得令得唯一的駐點容積是定值V，底面半徑是和高h為何值時，求底面半徑用料最省？和h的函數(shù)關系可知飲料罐表面積

S與最小值存在，因所以當飲料罐的底面半徑高時，用料最省.思考以表面積最小就是用料最省.部用料的厚度是底部用料的兩倍，這個問題怎