北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊專題711平行線的證明章末十一大題型總結(jié)(拔尖篇)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題7.11平行線的證明章末十一大題型總結(jié)（拔尖篇）

【北師大版】

?題型梳理

【題型?平行線在三角板中的運用】.............................................................1

【題型2平行線在折疊中的運住】...............................................................3

【胭型3旋轉(zhuǎn)使平行】..........................................................................4

【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】.........................................................5

【題型5利用平行線解決角度定值問題】.........................................................8

【題型6平行線的閱讀理解類何題】............................................................10

【題型7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】.........................................................12

【題型8平行線與動點的綜合應(yīng)用】............................................................13

【題型9與角平分線有關(guān)的三隹形角的計算問題】................................................15

【題型10與平行線有關(guān)的三角形角的計算問題】.................................................17

【題型11與折疊有關(guān)的三角形角的計算問題】...................................................19

【題型1平行線在三角板中的運用】

【例1】（2023下?浙江溫州?八年級校考期中）將一副直角三角板如圖1,擺放在直線MN上（直角三角板ABC

和直角三角板EOC,LEDC=90°,/-DEC=60°,4ABC=90。，/BAC=45。），保持三角板EDC不動，將

三角板4BC繞點C以每秒5。的速度，順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為，秒，當(dāng)4C與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn).

⑴如圖2,當(dāng)4c為NDCE的角平分線時，直接寫出此時，的值；

⑵當(dāng)力C旋轉(zhuǎn)至NDCE的內(nèi)部時，求乙。&4與NEC8的數(shù)量關(guān)系.

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板48c的其中一邊與ED平行時，請直接寫出此時/的值.

【變式1-1］（2023下?河南安陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起,

其中N/1=30°,乙B=60°,ZD=ZF=45°.

陽I缶陽圖2篇用圖3

⑴觀察猜想，13BC。與0ACE的數(shù)量關(guān)系是；138CE與0AC。的數(shù)量關(guān)系是：

（2）類比探究，若按住三角板48。不動，順時針繞直角頂點C轉(zhuǎn)動三角形。CE,試探究當(dāng)（MCQ等于多少度時

CE//AB,畫出圖形并簡要說明理由；

⑶拓展應(yīng)用，若團BCE=3a4C。，求財CO的度數(shù)；并直接寫出此時OE與AC的位置關(guān)系.

【變式1-2］（2023上?湖南長沙?八年級?？计谀┤鐖D，兩個形狀，大小完全相同的含有30，、60。的三角

板如圖放置，以、與直線MN重合，且三角板用C,三角板P8。均可以繞點。逆時針旋轉(zhuǎn).

（1）①如圖1,0DPC=度.

②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“攣生三角形"，如圖1，三角板

8PD不動,三角板附C從圖示位置開始每秒10。逆時針旋轉(zhuǎn)一周（0?！葱D(zhuǎn)V360。），問旋轉(zhuǎn)時間/為多少時,

這兩個三角形是“攣生三角形〃.

（2）如圖3,若三角板附C的邊布從尸N處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速37秒，同時三角板PBD的邊

PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2。/秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩

三角板都停止轉(zhuǎn)動）.設(shè)兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為，秒，以下兩個結(jié)論：①喘為定俏；②田BPN孤CPD為

（BPN

圖1圖2圖3

【變式1-3］（2023上?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,將三角板48c與三角板力1擺放在一起，其中

^ACB=30%LDAE=45°,乙BAC=3=90°,固定三角板A8C,將三角板AOE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),

當(dāng)點E落在射線4C的反向延長線上時，即停止旋轉(zhuǎn).

D

D

⑴如圖2,當(dāng)邊AC落在內(nèi)，

①乙。4D與NB4E之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由；

②過點A作射線力凡AG,^^CAF=^CAD,ABAG=^AEAG,求NF4G的度數(shù)；

⑵設(shè)△4DE的旋轉(zhuǎn)速度為3。/秒，旋轉(zhuǎn)時間為/,若它的一邊與△4BC的某一邊平行（不含重合情況），試寫

出所有符合條件的/的值.

【題型2平行線在折疊中的運用】

【例2】（2023下?浙江溫州?八年級校聯(lián)考期中）如圖，已如長方形紙片A3CD,點K和點〃分別在邊AO

和8C上，且團ER>37。，點”和點G分別是邊4。和8c上的動點，現(xiàn)將點A,B,C,D分別沿EF,GH

折疊至點MM,P,K,若MNIIPK,貝加K，。的度數(shù)為（：

A.37°或143°B.74°或96°C.37°或105°D.74°或106°

【變式2-1］（2023下?福建寧德?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條長方形彩帶力BCD進行兩次折疊，先沿折

痕MN向上折疊，再沿折痕4M向背面折疊，若要使兩次折疊后彩帶的夾角N2=26。，則第一次折疊時乙1應(yīng)

等于

【變式2?2】（2023下?浙江溫州?八年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）已知M,N分別是長方形紙條4

邊48,CD上兩點（AM>DN）,如圖1所示，沿M,N所在直線進行第一次折疊，點A,。的對應(yīng)點分別

為點七，F(xiàn),EM交CD于點P；如圖2所示，繼續(xù)沿PM進行第二次折疊，點從C的對應(yīng)點分別為點G,”,

若/1=42,則4CPM的度數(shù)為（）

A.74°B.72°C.70°D.68°

【變式2-3］（2023下?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，己知四邊形紙片ABCD的邊48IICD,E是邊CD上

圖①圖②圖③

⑴觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：Z-C=60°,Z.FED=45°,則乙48F=.

⑵拓展探究：如圖②，點尸落在四邊形48CD的內(nèi)部，探究乙FED,乙48F,“之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑶遷移應(yīng)用：如圖③，點尸落在邊C。的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請

寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明.

【題型3旋轉(zhuǎn)使平行】

【例3】（2023下?江蘇蘇州?八年級統(tǒng)考期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在

4c上，ZC=ZDAE=90°,NB=60。，/。=45。.小明將從圖中位置開始，繞點A按每秒6。的速

度順時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第一秒時，邊A8與邊OE平行.

【變式3-1］（2023下?河北唐山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，分別將木條小。與固定的木條c釘在一起，Zl=50°,

Z2=8（r,順時針轉(zhuǎn)動木條《下列選項能使木條a與b平行的是（）

A.旋轉(zhuǎn)30。B.旋轉(zhuǎn)50。C.旋轉(zhuǎn)80。D.旋轉(zhuǎn)130。

【變式3?2】（2023下?安徽六安?八年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊與AC邊

重合，/胡。=45。,/。4。=30。，接著如圖2保持三角板ABC不動，將三角板繞著點C（點C不動）

按順時針（如圖標(biāo)示方向）旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，/AC4'逐漸增大，當(dāng)NACY第一次等于9（）。時，停止

旋轉(zhuǎn)，在此旋轉(zhuǎn)過程中，ZACAr=。時，三角板ACO有一條邊與三角板A8C的一條邊恰好平行.

4(H)

圖1圖2

【變式3-3]（2023卜.?河北唐山?八年級統(tǒng)考期中）如圖（1）,在三角形4BC中，NA=38。，BC邊繞聲.C

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置.在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2）,使C8'〃A8,則N￡C4=（）

D.38°或52。

【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】

【例4】（2023下,廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末）點4,C,E在直線/上，點/，不在直線/上，把線段A4沿

直線/向右平移得到線段CD

圖1備用圖圖2

（1）如圖1,若點上在線段AC上，求證：乙B+乙D=L8ED；

（2）若點七不在線段AC上，試猜想并證明NB,乙。,N8E。之間的等量關(guān)系；

（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過點、B作PB〃ED,在直線BP,之間有點M,使得/ABE=iEBM,

乙CDE二乙EDM,同時點尸使得乙48斤/叱E8F,乙CDE二n乙EDF,其中〃21,設(shè)N8MO=m,利用（1）中的結(jié)論求

乙8FQ的度數(shù)（用含/〃，〃的代數(shù)式表示）.

【變式4-1]（2023下?廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末）甲同學(xué)在學(xué)完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的

方式進一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：

第一步：將一根鐵絲A8在C,D,E處彎折得到如下圖①的形狀，其中4CIIDE,CDWBE.

第二步：將。E繞點。旋轉(zhuǎn)一定角度，再將8E繞點E旋轉(zhuǎn)一定年度并在BE上某點F處彎折，得到如下圖②

的形狀.

第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成NG,跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀.

圖①圖②圖③

請根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問題：

（1）如圖①，若乙C=2乙D,求乙號

⑵如圖②，若｛CIIBG請判斷4C,3,乙E,乙戶之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶在（2）的條件下，如圖③，若乙ACD=3乙DCG,^DEF=3zDEG,設(shè)40=%，zF=y,求乙G.（用含

x,y的式子表示）

【變式4-2]（2023下?安徽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線根|團，RtZkABC中乙4c8=90。，RtZk/BC的邊

AC.48與直線〃?相交于。、E兩點、,邊BC、48與直線〃交于八G兩點.

A

圖1圖3(1)將Rt△ABC

如圖1位置擺放，如果"WE=46。，則NCFG=

⑵將Rt△力BC如圖2位置擺放，〃為"上一點，LHFG+LCFG=180°,請寫出“rG與之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由;

⑶將為△A8c如圖3位置擺放，若上EDC=140。，延KAC交直線〃于點K,點尸是射線EG上一動點，探究

乙PDK,乙OPK與乙PKG的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論（題中的所有角都大于0。小于180。）.

【變式4-3］（2023下?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】如圖1,ABl\CD,直線EG交力B于點”，交

CD于點G,點E在直線48上.直接寫出NE/EF，/EGD之間的數(shù)量關(guān)系為

【實踐運用】如圖2,A8IICD,直線EG交力8于點”，交CD于點G,點尸在直線力B上.FT平分乙EFH,GM平

分/EGC,若4E=40°,求乙FMG的度數(shù).

【拓廣探索】如圖3,ABWCD,直線EG交48于點〃，交于點G,點P為平面內(nèi)不在直線48,CD,EG上

的一點，若乙BHP=x,Z.DGP=y,則乙HPG=_（直接寫出答案，用x,y表示）.

【例5】（2023下?河南商丘?八年級統(tǒng)考期末）已知ABWCD,P是截線MN上的一點，MN與CD,48分別交

于E,F.

求4MPD的度數(shù);

（2）如圖（1）,當(dāng)點P在線段EF上運動時，NCDP與乙48P的平分線交于Q,則晟是否為定值？若是定值,

請求出定值；若不是，說明其范圍;

⑶如圖（2）,當(dāng)點尸在線段尸石的延長線上運動時，NCDP與乙4BP的平分線交于Q,靠的值是否為定值？

若是，求出定值，若不是，請說明理由.

【變式5?1】（2023下?福建龍巖?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1,點力、D分別在射線BM、CN線上,BM||CN,

BM1BC于點B,AE平分zBHD交8c于點E,連接DE,zl+z2=90°.

Si圖2

⑴求證：AE1ED,

（2）求證：CE平分乙ADC；

⑶如圖2,乙瓦4M和/EDN的平分線交于點尸，試猜想2廠的值是否為定值，若是，請予以證明：若不是，請

說明理由.

【變式5-2](2023下?河北保定?八年級統(tǒng)考期末)如圖1,已知NEFH=90。，點A,C分別在射線FE和FH

上，在/EFH內(nèi)部作射線CD,使48平行于CD.

EE

B

D

H

圖3圖4

(1)如圖1,若凡48=150。,求〃/CD的度數(shù);

⑵小穎發(fā)現(xiàn)，在NEFH內(nèi)部，無論凡48如何變化，"AB-zHCD的值始終為定值，請你結(jié)合圖2求出這一

定值;

⑶①如圖3,把圖1中的乙EFH=90°改為乙EFH=120°,其他條件不變，請直接寫出"48與乙，CD之間的

數(shù)量關(guān)系;

②如圖4,已知乙EFG+45GC=a，點4,C分別在射線FE,GH上，在NEFG與4FGH內(nèi)部作射線力8,CD,

使＜8平行于CD，請直接寫出乙凡4B與乙HC。之間的數(shù)量關(guān)系.

【變式5-3](2023下?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末)如圖1,已知直線匕II%，點力、8在直線，[上，點C、。在

，2上，線段4。交線段BC于點E,且/BED=60。.

圖2

(1)求證：Z,ABE+乙EDC=60°；

(2)如圖2,當(dāng)尸、G分別在線段/￡、EC」二，且Z71BF=2iFB￡,乙EDG=2乙GDC,標(biāo)記48FE為匕1,乙BGD為

42,

①若41一乙2=16°,求N/4OC的度數(shù);

②當(dāng)k=時，（k乙1+42）為定值，此時定值為.

【題型6平行線的閱讀理解類問題】

【例6】（2023下?江蘇泰州?八年級泰州市海軍中學(xué)校考階段練習(xí)）【注重閱讀理解】閱讀以下材料:

已知點B,。分別在4K和CF上,且CFIL4K.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若4cOE=22。，乙DEE=75。,則的度數(shù)為:

（2）如圖2,BG平分“BE,G8延長線與4EO尸的平分線交于〃點，若/0E8比4大60。，求功E8的度數(shù).

⑶保持（2）中所求的4。E8的度數(shù)不變，如圖3,BM平分乙EBK,ON平分匕G9E,作8PII0N,則乙PBM的

度數(shù)是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由.

【變式6-1］（2023下?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期末）［課題學(xué)習(xí)］:

平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

圖1圖2圖3圖4

［閱讀理解］:

如圖1,已知點A是BC外一點，連接力B,AC,求NB4C+NB+乙C的度數(shù).

（1）閱讀并補充下面推理過程.

解：過點4作EOIIBC,所以△/?=,ZC=,

乂因為乙氏48十Z-BAC+Z.DAC=180°

所以48+Z.BAC+乙。=180°.

［解題反思］:

從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化〃的功能，將乙B4C,乙B,4C“湊”在一起，得到角的

關(guān)系，使問題得到解決.

［方法運用］:

(2)如圖2,已知/8IIE0,求乙B+乙8co+40的度數(shù).

［深化拓展］:

(3)已知點C在。的右側(cè)，Z,ADC=70°,8E平分445C,平分4AoC,BE,DE所在的直線交于

點E，點￡在48與CD兩條平行線之間.

①如圖3,若乙ABC=60°,則，BED=°；

②如圖4,點8在點4的右側(cè)，若448C=n。，則48ED=。.(用含n的代數(shù)式表示)

【變式6-2］(2023下?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期末)課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化〃功能.

⑴閱讀理解：如圖，已知點力是BC外一點，連接48、AC,求NB+N8/IC+NC的度數(shù).閱讀并補充下面推

理過程.

解：過點4作EOIIBC,所以48=,ZC=

又因為NE48+4BAC+乙DAC=180°,

所以N8+ABAC+ZC=180°.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將上8AC、乙B、〃“湊”在一起,

得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

(2)方法運用:如圖法已知ABIICD,求NB+NBPD+Z。的度數(shù);

⑶深化拓展：已知直線4BIICD,點P為平面內(nèi)一點，連接P4、PD.

①如圖2,已知乙1=50。，4。=140。，請直接寫出〃PO的度數(shù);

②如圖3,請判斷“48、ZCDP,乙1P。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

8

D

圖I圖2圖3

【變式6-3］（2023下?河南商丘?八年級永城市實驗中學(xué)?？计谀╅喿x材料：如圖1,若48〃。。，則48+乙。=

乙BED.

理由：如圖，過點E作EF〃43,

則，8=Z.BEF.

因為力B〃C。，

所以E/V/CD,

所以乙。=Z.DEF,

所以NBEO=乙BEF+乙DEF=zF+zD.

圖1

交流：⑴若將點E移至圖2所示的位置，AB//CD,此時,8、乙D、ZE之間有什么關(guān)系？請說明理由.

探究：（2）在圖3中，AB//CD,4E+4G、+乙/+乙。又有何關(guān)系？

應(yīng)用：（3）在圖4中，若AB//CD,又得到什么結(jié)論？請直接寫出該結(jié)論.

【題型7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】

【例7】（2023下?江蘇泰州?八年級統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺燈.圖2、圖3是其平面示意圖，支

架SB、BC為固定支撐桿，支架0C可繞點。旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié).已知燈體頂角WOE=52。，頂角平分線OP始終與OC

垂直.

圖1

⑴如圖2,當(dāng)支架OC旋轉(zhuǎn)至水平位置時，。。恰好與BC平行，求支架BC與水平方向的夾角的度數(shù);

（2）若將圖2中的。。繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15。到如圖3的位置，求此時。0與水平方向的夾角乙OQM的度數(shù).

【變式7-1］（2023下?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末）光在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)元線從空氣射

向水中時，會發(fā)生折射，如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水

面和杯底互相平行，且匕1=122。，則42=.

【變式7-2］（2023下?八年級單元測試）如圖，某工程隊從力點出發(fā)，沿北偏西67。方向修一條公路40,在

8D路段出現(xiàn)塌陷區(qū)，就改變方向，在8點沿北偏東23。的方向繼續(xù)修建8c段，到達C點又改變方向，使所修

路段CE//48,求NEC8的度數(shù).

【變式7-3］（2023下?廣?東廣州?八年級統(tǒng)考期末）探照燈、汽車燈等很多燈具的光線都與平行線有關(guān)，如

圖所示是一探照燈碗的剖面.從位于O點的燈泡發(fā)出的兩束光線。乩OC,經(jīng)燈碗反射以后平行射出，其中

【題型8平行線與動點的綜合應(yīng)用】

【例8】（2023下?北京通州?八年級統(tǒng)考期末）已知：直線CO,點G為直線CO上一學(xué)息，點E是

直線A3上一利息，連結(jié)EG.在EG的左側(cè)分別作射線EM、GM兩條射線相交于點R設(shè)ZAM=a.

C,DC.D

GG

備用圖備用圖

（1）當(dāng)/6砂=30。，N或為=60。時，如圖1位置所示，求NAGC的度數(shù)（用含有a的式子表示），并寫出

解答過程；

⑵當(dāng)ZGEF=4EGF=45。時，過點G作EG的垂線/.

①請在圖2中補全圖形；

②耳援寫出直線/與直線C。所夾第角的度數(shù)（用含有。的式子表示）.

【變式8-1］（2023下?海南省直輻縣級單位?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,已知直線AM〃8G,點C為射線8G

上一動點，過點C作C?！ㄏ嘟籄M于點。，點E在線段上，（3QCE=90。，點廠在線段AD上，0FCG

=90。，點”在線段8c上，財〃G=90。，0ECF=6O°.

（2）如圖2,求回BC。的度數(shù)；

⑶若點尸是直線AM上的一點，點〃是直線8G上的一點，在點C的運動過程中（點C不與點8、〃重合），

求叵84廠的度數(shù).

【變式8-2］（2023下?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末）如圖,已知,48〃CO,",N分別是直線八凡CO上一

⑴如圖1,求證：ZBME+ADNE=AMEN：

（2）如圖2,尸是EM上一點，NE平分4FND,FH平分/NFE,試探究NN”廠與4ME之間的數(shù)量關(guān)系？

并證明你的結(jié)論；

⑶如圖3,P為直線MN上一動點（不與點N重合），過點P作PG_LMN交直線CO于點G,MPNG的角平

分線和mPGC的角平分線交于點0,則團。的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果）.

【變式8-3］（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱德強學(xué)校?？计谥校cE在射線OA上，點〃、G為射

線BC上兩個動點，滿足/DBFMDEF,ZBDG=NBGD,力G平分N8OE.

P

⑴如圖1,當(dāng)點G在尸右側(cè)時，求證：BD//EF；

（2）如圖2,當(dāng)點G在廠左側(cè)時，求證：/D（JE=/BDG+NFEG；

⑶如圖3,在（2）的條件下，。為B。延長線上一點，DM平分/BDG,交BC于點、M,DN平分/PDM,

交E尸于點N,連接NG,若，ZDBF-4DNG=/EDN,則ND8/的度數(shù)是多少.

【題型9與角平分線有關(guān)的三角形角的計算問題】

【例9】（2023春?江蘇蘇州?八年級太倉市第一中學(xué)校考期中）如圖1,在△A8C中，80平分乙48C,CD平分

Z.ACB.

（1）若乙4=60。，貝的度數(shù)為；

（2）若乙4=a,直線MN經(jīng)過點。.

①如圖2,若MNIIA8,求2NDC-/MD8的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；

②如圖3,若MN繞點。旋轉(zhuǎn)，分別交線段于點M,N,試問旋轉(zhuǎn)過程中ZJVDC-的度數(shù)是否會發(fā)

生改變？若不變，求出NNDC-ZMDB的度數(shù)（用含。的代數(shù)式表示），若改變，請說明理由；

③如圖4,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN,與線段AC交于點N,與CB的延長線交于點M,請直接寫出乙NOC與NM08的

關(guān)系（用含a的代數(shù)式表示）.

【變式9-1］（2023秋?河南深河?八年級校考期中）（1）在圖1口，請直接寫出乙4、乙B、乙C、△。之間的數(shù)

量關(guān)系；

圖1

（2）如果圖2中，乙。=40。/8=36。，AP與CP分另IJ是4ZMB和/DCB的角平分線，試求4P的度數(shù);

（3）如果圖2中乙。和NB為任意角，其他條件不變，試問NP與ND,之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫

出結(jié)論即可）.

【變式9-2］（2023春?江蘇揚州?八年級校聯(lián)考期中）4MON=90。，點A,8分別在OM、ON上運動（不與點。

重合）.

⑴如圖①，AE.8E分別是48/10和418。的平分線，隨著點小點8的運動，當(dāng)A0=40時4力￡8=_。；

⑵如圖②，若8C是418N的平分線，BC的反向延長線與乙0A8的平分線交于點。，隨著點4,B的運動匕。的

大小會變嗎？如果不會，求乙。的度數(shù)：如果會，請說明理由：

（3）如圖③，延長MO至Q,延長34至G,已知乙ZMO,zOAG的平分線與乙80Q的平分線及其延長線相交于點

E、F,在△%￡1「2,如果有一個角是另一個角的3倍，求乙18。的度數(shù).

【變式9-3］（2023秋?安徽宣城?八年級校考期中）如圖1,^MON=90°,點A、8分別在OM、ON上運動（不

與點。重合）.

⑴若8。是乙48N的平分線，8C的反方向延長線與乙8力。的平分線交于點D.

①若48Ao=60°,則NO=。：

②猜想：乙。的度數(shù)是否隨A,B的移動發(fā)生變化？并說明理由.

（2）如圖2,若4040=：404B,乙NBC=》NBA,則上。=°；

（3）若將NM0N=90°改為/MON=120。（如圖3）,LOAD=AB,乙NBC=吧乙NBA,其余條件不變,

nn

則/O二（用含m,n的代數(shù)式表示，其中mvn）.

【題型10與平行線有關(guān)的三角形角的計算問題】

【例10】（2023春?遼寧盤錦?八年級統(tǒng)考期末）（1）問題情境:如圖\,AB\\CD,乙PMB=140°,Z.PND=120°,

求/MPN的度數(shù)；

（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2,乙4Mp的角平分線與"NP的角平分線交于點兒則4M/N的度

數(shù)為多少？請說明理由；

（3）問題拓展：如圖3,AB||CD,點。在射線OM上移動時（點。與點。，M,。三點不重合），記乙248=a,

乙PCD=8,請直接寫出與a,/?之間的數(shù)量關(guān)系.

【變式10-1】（2023春?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）如圖，48||CD,點P在直線48上，作NBPM=50。,

交CD于點M,點尸是直線CD上的一個動點，連接PF,PEJ.CD于點、E,PN平分乙MPF.

備用圖1備用圖2

⑴若點F在點E左側(cè)且“FM=32°,求ZWPE的度數(shù)；

（2）當(dāng)點尸在線段EM（不與點M,E重合）上時，設(shè)4PFM=。。，直接寫出NNPE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表

示）；

⑶將射線PF從（1）中的位置開始以每秒10。的速度繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)至PM的位置，轉(zhuǎn)動的時間為/秒，求

當(dāng)i為何值時，為直角三隹形.

【變式10-2】（2023春?遼寧大連?八年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD,點。在直線CO匕點P在直線48和C。之

間，Z.ABP=^PDQ=a,PD平分上BPQ.

（2）過點。作。E〃PQ交P8的延長線于點E,作NDEP的平分線EF交PD于點尸，請在備用圖中補全圖形，猜

想E尸與PD的位置關(guān)系，并證明；

（3）將（2）中的“作"EP的平分線Er交PD于點F”改為“作射線E尸將NDEP分為1:3兩個部分，交PD于點F”,

其余條件不變，連接EQ,若EQ恰好平分2PQD,請直接寫出45EQ=（用含a的式子表示）.

【變式10-3】（2023春?湖北省直轄縣級單位?八年級?？计谥校┮阎狹NIIPQ,點。是直線PQ上一定點.

直線MN上，并按圖1位置擺放，使/MAC=30。，點B恰好落在射線DE上，此時，Z-PDE=20%求乙4BD的

度數(shù)；

(2)現(xiàn)將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與DQ重合時停止，三角板按圖

1擺放不動,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)DE與三角板的一邊平行時，求￡的假；

(3)若將射線OE從圖I的位置開始以每秒2度的速度繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，同時，將三角板ABC也從圖1的位

置開始以每秒4度的速度繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，ZAMC的角平分線與ZPOE的角平分線DF交

于點。.

①如圖2,當(dāng)DFIIBC時，Z.AOD=度；

②如圖3,當(dāng)。尸118力時，LAOD=度.

【題型11與折疊有關(guān)的三角形角的計算問題】

【例11】(2023秋?山東臨沂?八年汲統(tǒng)考期末)有一張正方形紙片ABC。，點、E是邊AB上一定點,在邊A。

上取點尸，沿著X尸折疊，點A落在點4處，在邊8C■上取一點G,沿EG折疊，點8落在點方處.

圖1備用圖

（1）如圖I,當(dāng)點B落在直線/VE上時，猜想兩折痕的夾角N/^G的度數(shù)并說明理由.

（2）當(dāng)NA'EB'WNB'EB時，設(shè)N4'E8'=x.

①試用含x的代數(shù)式表示N五EG的度數(shù).

②探究E9是否可能平分N/EG,若可能，求出此時NFEG的度數(shù)：若不可能，請說明理由.

【變式11-1】（2023春?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1,將一張三角形紙片48C沿著AD折疊，使

點C落在邊上的C處，若/04B=70°,則=°；

（圖I）（圖2）（圖3）

（2）如圖2,將一張三角形紙片A8。沿著OE折疊（點。，E分別在邊力8和AC上），并使得點A和點4重合，若

Z.A=70°,則N1+Z2=°；

（3）如圖3,將長方形紙片沿著8C和8。折疊成如圖所示的形狀，8E和8/重合，

①，CBD的度數(shù)是多少？請說明理由；

②如果TBO=58。17\求N4BC的度數(shù).

【變式11-2】（2023秋?江西南昌?八年級校聯(lián)考期末）我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180?！?在

三角形紙片中，點、D,E分別在邊AC,BC±,將沿OE折疊，點。落在點。'的位置.

圖1圖2圖3

專題7.11平行線的證明章末十一大題型總結(jié)（拔尖篇）

【北師大版】

，題型梳理

【題型I平行線在三角板中的運用】............................................................21

【題型2平行線在折疊中的運用】..............................................................35

【題型3旋轉(zhuǎn)使平行】.........................................................................40

【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】........................................................44

【題型5利用平行線解決角度定值問題】........................................................55

【題型6平行線的閱讀理解類何題】............................................................64

【題型7平行線的性質(zhì)在生活牛的應(yīng)用】........................................................74

【題型8平行線與動點的綜合應(yīng)用】............................................................78

【題型9與角平分線有關(guān)的三集形角的計算問題】................................................88

【題型10與平行線有關(guān)的三角形角的計算問題】.................................................97

【題型11與折疊有關(guān)的三角形角的計算問題】..................................................109

，舉一反三

【題型1平行線在三角板中的運用】

【例1】（2023下?浙江溫州?八年級?？计谥校⒁桓敝苯侨前迦鐖D1,擺放在直線MN上（直角三角板ABC

和直角三角板EDC,乙EDC=90。,Z.DEC=60°,/-ABC=90°,NB力C=45。），保持三角板EDC不動，將

三角板48C繞點。以每秒5。的速度，順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為/秒，當(dāng)力C與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn).

D

B

圖2

⑴如圖2,當(dāng)力C為乙DCE的角平分線時，直接寫出此時，的值；

（2）當(dāng)力C旋轉(zhuǎn)至NOCE的內(nèi)部時，求ND&4與4EC8的數(shù)量關(guān)系.

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板48C的其中一邊與ED平行時，請直接寫出此時/的值.

【答案】⑴3

（2）LECB-Z-DCA=15°

（3）15或24或33

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出乙力?！?=34。?！?=15。，然后求出，的值即可；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：/-ACE=53表示出ZDC4=30°-5t,NEC8=45°-53即可得出4EC8—工。乙4=15°；

（3）分三種情況進行討論，分別畫出圖形，求出/的值即可.

【詳解】（1）解：如圖2,l?lZfcL'C=9UU,4DEC=60",

圖2

團iDCE=30°,

團AC平分乙DCE,

SCE=28=15。，

酰若=3,

答：此時/的值是3；

（2）解：當(dāng)4C旋轉(zhuǎn)至40?！?的內(nèi)部時，如圖3：

圖3

由旋轉(zhuǎn)得:Z-ACE=5t,

^/.DCA=30°-5t,Z.ECB=45°-5t,

團NECB-匕DCA=(450-5t)-(30°-St)=15°；

(3)解：分三種情況：

①當(dāng)4BIIDE時，如圖4,

A

D

/

MECN

圖4

此時8C與CO重合，

￡=(30+45)+5=15；

圖5

^ACWE,

^Z.ACD=ZD=90°,

^ACE=90°+30°=120°,

"120+5=24；

圖6

,:BCIIDE

Z.BCD=乙CDE=90°

Z.ACD=90°+30°+45°=165°

???t=165+5=33

綜上，f的值是15或24或33.

故答案為：15或24或33.

【點睛】本題主要考杳了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的計算，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意分

類討論.

【變式1-1］（2023下?河南安陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起,

其中乙4=30。，Z.B=60°,ZD=ZF=45°.

著用圖2

⑴觀察猜想,WCD與MCE的數(shù)量關(guān)系是.；團BCE與0ACD的數(shù)量關(guān)系是

（2）類比探究,若按住三角板不動，順時針繞直角頂點C轉(zhuǎn)動三角形DCE,試探究當(dāng)MC。等于多少度時

CE//AI3,畫出圖形并簡要說明理由;

⑶拓展應(yīng)用，若財CE=3（MCQ,求助C。的度數(shù)；并直接寫出此時。E與AC的位置關(guān)系.

【答案】(1)乙BCD=乙ACE,乙BCE+Z.ACD=180°

(2)當(dāng)4AC。=60。或120。時，CE//AB

(3)LACD=45°,4clDE或4C//OE

【分析】（1）由三角板的特點可知乙4cB=乙DCE=90。，即可求出/BCD=/-ACE.再根據(jù)MCE=乙ACB+

/-ACE,Z.ACD=Z,DCE-/.ACE,R|J可求出乙BCE+乙ACD=180°；

（2）分類討論結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求解；

（3）由（1）ARCE+AACD=180°,即可求出/4CO=45。，再分類討論結(jié)合平行線的判定和性質(zhì)即可得

出DE與AC的位置關(guān)系.

【詳解】（1）=Z.DCE=90°,

^^.ACB-Z.ACD=乙DCE-^ACD,UPzfiCD=Z-ACE.

0Z.FCF=Z-ACB+Z.ACE,Z.ACD=Z.DCE-Z.ACE,

回NBCE+Z.ACD=/.ACB+乙DCE=90°+90°=180°.

故答案為：乙BCD=/.ACE,Z.BCE+Z.ACD=180°;

(2)分類討論：①如圖1所示，

D

BC

圖1

ECE//AB,

0Z/1CE=Z-BAC=30°,

0Z.ilCD=Z.DCE-Z,ACE=90°-30°=60°；

②如圖2所示,

圖2

⑦CE〃AB,

團/BCE=(B=60°,

^LACD=360°-乙ACB-乙DCE-乙BCE=360°-90°-90°-60°=120°.

綜上可知當(dāng)N4CD=60?；?20。時，CE”AB：

(3)根據(jù)(1)可知NBCE+z/lC。=180°,

03Z/1CD4-Z-ACD=180°,

0Z/1CD=45°.

分類討論：①如圖3所示,

EZ4CD=45°,

0ZFCD=45°=zCDF,

WC//DE.

^ACB=90°,即4C_LBC,

團4c1DE：

②如圖4所示，

^￡ACD=45°=ZCDF,

（MC//DE.

【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的判定和性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)

犍.

【變式1-2］（2023上?湖南長沙?八年級?？计谀┤鐖D，兩個形狀，大小完全相同的含有30、60。的三角

板如圖放置，必、P3與直線/WN重合，且三角板附C,三角板。8。均可以繞點。逆時針旋轉(zhuǎn).

（1）①如圖1,回。PC=度.

②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“攣生三角形”，如圖1,三角板

BPD不動,三角板由C從圖示位置開始每秒10。逆時針旋轉(zhuǎn)一周（0?！葱D(zhuǎn)V360。），問旋轉(zhuǎn)時間f為多少時，

這兩個三角形是“李生三角形〃.

（2）如圖3,若三角板以C的邊辦從PN處開始繞點「逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速37秒，同時三角板尸8。的邊

P4從PM處開始繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2。/秒，在兩個三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時，兩

三角板都停止轉(zhuǎn)動）.設(shè)兩個三角板旋轉(zhuǎn)時間為，秒，以下兩個結(jié)論：①筮為定值：②勖PN+13CP。為

圖1圖2圖3

【答案】（1）①90：②/為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正確，②錯誤，證明見解析.

【分析】（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：ZDPC=180?！猌CPA—ZDPB,從而可得答案；②當(dāng)

BD//PM，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時間；

當(dāng)P/V/RD時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋

轉(zhuǎn)時間；當(dāng)4C〃0P時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，

可得旋轉(zhuǎn)時間：當(dāng)4。"。時，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得

旋轉(zhuǎn)時間；當(dāng)/C//BP時的旋轉(zhuǎn)時間與24〃RO相同：

（2）分兩種情況討論：當(dāng)P。在MN上方時，當(dāng)PO在MN下方時，①分別用含t的代數(shù)式表示乙CPD/8PN,

從而可得酸的值；②分別用含t的代數(shù)式表示“PQNBPM得到"PN+"產(chǎn)。是一個含t的代數(shù)式，從

而可得答案.

【詳解】解：（1）①配。尸C=180°-團CE4-團。PB,0CB4=6O°,團DPB=30°,

00￡>PC=18O-30-60=90°,

故答案為90：

②如圖1-1,當(dāng)/WQPC時，

c

圖1-1

因尸03B。，0DBP=9O°,

釀CPN=團。8尸=90°,

團團C以=60°,

(30ZPN=3O°,

團轉(zhuǎn)速為107秒，

回旋轉(zhuǎn)時間為3秒：

如圖1-2,當(dāng)戶。38。時,

(3PC〃80MP80=90°,

團團。08=團。3戶=90°,

00CM=6O°,

國財產(chǎn)M=30°,

(3三角板外C繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為180。+30。=210。，

13轉(zhuǎn)速為10°/秒，

回旋轉(zhuǎn)時間為21秒，

如圖1-3,當(dāng)雨明。時，即點D與點C重合，此時財CP=E)/3PQ=3O。，則AC^BP,

圖1-3

團以國8。，

釀。4P=(MPN=90°,

回三角板雨。繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為90%

團轉(zhuǎn)速為1017秒，

回旋轉(zhuǎn)時間為9秒，

如圖1-4,當(dāng)心團B。時，

(MOEBP,

團用團8D,

00D/?P=0fiB4=9O°,

回三角板附。繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為90。+180。=270。,

團轉(zhuǎn)速為10°/秒，

團旋轉(zhuǎn)時間為27秒，

如圖1