北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專題17 整式的乘除章末重難點(diǎn)突破（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.7整式的乘除章末重難點(diǎn)突破

【北師大版】

?立前點(diǎn)

?落一更三

【考點(diǎn)1事的運(yùn)算】

【例1】(2023春?葉集區(qū)期末)下列計(jì)算正確的是()

A.(9)2=/B.xi*.x5=xi5

C.(-xy)5+(-xy)2=-x3y3D.工6+/=/

【變式1-1](2023春?海陵區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算

(1)??/-(2/)2+/。+/.

(2)(-2?)3+(-3?)2+(A-2)2?/

【變式1-2](2023春?安慶期中)計(jì)算：(f'5(?！?53〃廠2)2+(7-%〃12)3(_匠"2)

【變式1-3](2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算82義42°21X(-0.25)2°兇的值等于

【考點(diǎn)2嘉的逆運(yùn)算】

【例2】(2023秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考)解答下列問題

(1)已知2*=?。?b,求2?中的值；

(2)已知3'"=5,3"=2,求3322〃+I的值；

(3)若3x+4y-3=0,求27481y的值.

【變式2-1](2023春?江陰市期中)(1)已知1〃?+4〃?3=0,求2力?16”的值.

(2)已知〃為正整數(shù)，且/〃=%求6沏)2-2(?)2〃的值.

【變式2-2](2023春?祁江區(qū)校級(jí)月考)⑴若4a+3仁=3,求92a?27「

(2)已知3義9'"義27'〃=321,求，〃的值

【變式2-3](2023?河北模擬)若(。>0且。金1,，〃、〃是正整數(shù))，則s=〃.利用上面結(jié)論解決

下面的問題：

(1)如果2+8)”2=25,求犬的值：

(2)如果2/2+2田=24,求上的值；

(3)若x=5〃，?3,>=4-25。用含x的代數(shù)式表示y.

【考點(diǎn)3巧用嘉的運(yùn)算進(jìn)行大小比較】

【例3】(2023春?祁江區(qū)校級(jí)期中)若〃?=2巳〃=348,則〃?、〃的大小關(guān)系正確的是()

A.m>nB.m<n

C.m=nD.大小關(guān)系無法確定

【變式3-1](2023春?淮陰區(qū)期中)比較255、3的、433的大小()

A.255V344V433B.433V344V255

C.255V433V33D.344V433V255

【變式3?2】(2023春?玄武區(qū)期中)233、4艮81°的大小關(guān)系是(用〉號(hào)連接)

【變式3-3](2023春?李滄區(qū)期中)閱讀下列兩則材料，解決問題：

材料一：比較322和4”的大小.

解：???4"=(22)n=222,且3>2

.\322>222,即322>4”

小結(jié)：指數(shù)相同的情況下，通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個(gè)累的大小

材料二:比較28和好的大小

解：V82=(23)2=26,且8>6

/.28>26,BP28>82

小結(jié)：底數(shù)相同的情況下，通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個(gè)幕的大小

【方法運(yùn)用】

(1)比較3"、43\5?2的大小

(2)比較8/、2741.961的大小

(3)已知J=2,力3=3,比較“、人的大小

（4）比較312x5i°與3i°X512的大小

【考點(diǎn)4塞的運(yùn)算中的新定義問題】

【例4】（2023秋?開州區(qū)期末）閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.心/er,1550?1617年）是對(duì)數(shù)的

創(chuàng)始人.他發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（EWer,1707-1783年）才

發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.對(duì)?數(shù)的定義：一般地，若/="（〃>0且。六1）,那么x叫做以〃為底N

的對(duì)數(shù)，記作x=log?M比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4=log216,對(duì)數(shù)式2=log?9可以轉(zhuǎn)化為

指數(shù)式32=9.

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：log”（M?N）=log“M+log”N（a>0,M>0,N>0）,

理由如下：

設(shè)log“M=〃?，log“N=〃，則N=a",

???M?N=由對(duì)數(shù)的定義得〃?+〃=log〃（M?N）.

又，〃+〃=logaM+logaM

logfl=logaM+log“M

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問題：

（1）填空：①log264=，②k）g327=,③log71=；

M

（2）求證：log”一=log〃M-logJV（〃>0,“Hl,M>0,N>0）；

jN

（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算Iog464+logs7-logs35.

【變式4-1］（2023秋?杜爾伯特縣期末）閱讀下列材料，并解決下面的問題：

我們知道，加減運(yùn)算是互逆運(yùn)算，乘除運(yùn)算也是互逆運(yùn)算，其實(shí)乘方運(yùn)算也有逆運(yùn)算，如我們規(guī)定式了

23=8可以變形為Iog28=3,log525=2也可以變形為5?=25.在式子2?=8中，3叫做以2為底8的對(duì)

數(shù)，記為10g2為一般地,若/=〃（。>0且b>0）,則〃叫做以。為底〃的對(duì)數(shù)，記為log”〃（即

\ogab=n'）,且具有性質(zhì):

①log,"="log疝：②log“a”=〃；③logaM+logaN=loga（A/?N）,其中a>0且aW1,M>0：N>0.

根據(jù)上面的規(guī)定，請(qǐng)解決下面問題：

（1）計(jì)算：log31=，Iogio25+logio4=（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）：

（2）已知x=log32,請(qǐng)你用含4的代數(shù)式來表示y,其中y=log372（請(qǐng)寫出必要的過程）.

【變式4-2］（2023春?宜興市月考）規(guī)定兩數(shù)〃，。之間的一種運(yùn)算，記作（mb）：如果/=從那么（a,

b）=c.例如：因?yàn)?^=8,所以（2,8）=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(4,64)=,(-2,4)=,-8)=:

(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：(3〃，4")=(3,4),

他給出了如下的證明：

設(shè)(3”,4〃)=/則(3")*=4",即(3D〃=4〃，

???3*=4,即(3,4)=%.

???(3〃,4〃)=(3,4).

請(qǐng)你嘗試運(yùn)用上述這種方法說明下面這個(gè)等式成立的理由.

(4,5)+(4,6)=(4,30).

(3)拓展應(yīng)用：計(jì)算(3,9)X(3,20)-(3,5).

【變式4-3](2023春?岳麓區(qū)月考)定義：如果2加=〃(”，〃為正數(shù))，那么我們把機(jī)叫做〃的。數(shù)，記

作〃7=。(/?).

(1)根據(jù)。數(shù)的定義，填空：D(2)=,D(16)=.

a

(2)。數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：D(5-Z)=D(5)+D(/),D1”=D(q)-D(p),其中q>p.

根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算：

①若D(a)=1,求。(/).

527

②若已知。(3)=2a-b,D(5)=a+c,試求。(15),D(-),D(108),D(一)的值(用〃、b、

320

c表示).

【考點(diǎn)5整式乘法中的求值問題】

【例5】(2023春?灌陽縣期中)己知(-x)(2?-ar-I)-2?+3,中不含x的二次項(xiàng)，則〃的值是()

A.3B.2C.-3D.-2

【變式5-1](2023春?渾南區(qū)校級(jí)期中)若不管a取何值，多項(xiàng)式a3+2a2-a?2與(/?山研？〃)("])

都相等，則〃h〃的值分別為()

A.-I,-IB.-1,1C.1,-1D.1,I

【變式5-2](2023秋?晉安區(qū)期中)在計(jì)算(x+a)(x+A)時(shí)，甲把b錯(cuò)看成了6,得到結(jié)果是：』+8x+12.

(1)求出。的值；

(2)在(1)的條件下，且》=-3時(shí)，計(jì)算(x+a)(x+b)的結(jié)果.

【變式5-3](2023秋?耒陽市校級(jí)月考)已知多項(xiàng)式M=7+5x-a,N=-x+2,P=?+3?+5,且M?N+P

的值與x的取值無關(guān)，求字母4的值.

【考點(diǎn)6巧用乘法公式求值】

【例6】(2023春?祁江區(qū)校級(jí)期中)若x,)，滿足？+)?=8,Q，=2,求下列各式的值.

(1)(x+y)2；

(2)?+/；

(3)x-y.

【變式6/】(2023春?灌云縣期中)已知i=1,必心」,求下列代數(shù)式的值:

(1)ab；

(2)^-b2-8.

【變式6-2](2023春?廣陵區(qū)期中)已知。+力=2,ab=-24,

(1)求J+后的值；

(2)求Q+1)31)的值；

(3)求(?-/>)2的值.

【變式6-3](2023春?新泰市期中)(1)已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,求孫和的值.

(2)若/+必=15,(a-b)2=3,求時(shí)和(〃+〃)2的值.

【考點(diǎn)7整式乘除的計(jì)算與化簡(jiǎn)】

【例7】(2023春?淄川區(qū)期中)⑴計(jì)算：

①。5?(?“)3十(?2/)4.

②-4町3?&孫)+(盯2)2.

③(-4x-3y)2.

④(2a+b)(2a-b)+(a+2b)2

(2)先化簡(jiǎn)，再求值：

①(x+y)2—(x+y)(y—無)一介(2%—y),其中x=-l,y=1.

@[b(a-3b)-a(3。+2力)+(3a-b)(2?-3/?)]+(-3a),其中小。滿足2a-8。-6=0.

【變式7-1](2023春?鄲城縣期末)計(jì)算：

(1)(-2ab)2?3A+(-iflZ)2)

(2)用整式乘法公式計(jì)算：912-88X92

(3)先化簡(jiǎn)，再求值：x(x-4y)+(2x+y)⑵-y)-Clx-y)2,其中x=-2,y=-1

【變式7-2](2023春?競(jìng)秀區(qū)期末)計(jì)算題;

(1)820,9X(-0.125)2020

(2)202()2-2019X2021(用乘法公式進(jìn)行計(jì)算)；

(3)(3x-y)(9/+/)(3x+y)；

(4)(a+b)(b-a)-(a-2b)2；

(5)先化簡(jiǎn)，再求值：I(.r+3y)2-(x+2y)(3x-y)-lly2]-r(2r),其中x=-2,y=\.

【變式7-3](2023春?南山區(qū)校級(jí)期中)(1)化簡(jiǎn)：2r(2x-y)-(2A--y)2：

(2)計(jì)算:20092-2010X2008；

(3)化簡(jiǎn)：(-3/)3+(?4〃3)2.

(4)已知/-3。+1=0,求代數(shù)式(3。?2)2?3。(2。?1)+5的值：

(5)已知〃?=-1,〃=-2,求代數(shù)式(-6〃P〃2-3〃P)4-(-3m2)的值.

【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】

【例8】（2023秋?旅順口區(qū)期中）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為。厘米，寬為〃厘米，其中。如果將原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

增加3厘米，寬減少I厘米，得到的新長(zhǎng)方形面積記為Si；如果將原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各增加1厘米，得

到的新長(zhǎng)方形面積記為S2.

（1）試比較Si與S2的大小，并說明理由；

（2）如果SI=2S2-10,求將原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少1,寬增加3厘米后得到的新長(zhǎng)方形面積.

【變式8-1］（2023春?寬城縣期末）有甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形紙片，邊長(zhǎng)如圖所示（機(jī)>0）,面積分別為S甲和

加+9

w+4

加+3甲

5乙.加+6

（1）①計(jì)算：S甲=,S乙=；

②用“V”，"=”或“>”填空：S甲S乙.

（2）若一個(gè)正方形紙片的周長(zhǎng)與乙長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相等，面積為S正.

①該正方形的邊長(zhǎng)是（用含機(jī)的代數(shù)式表示）；

②小方同學(xué)發(fā)現(xiàn)：S正與S乙的差與〃?無關(guān).請(qǐng)判斷小方的發(fā)現(xiàn)是否正確，并通過計(jì)算說明你的理由.

【變式8-2］（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如圖1,有A、3、C三種不同型號(hào)的卡片，其中A型々片是邊長(zhǎng)為

。的正方形，8型卡片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C型卡片是長(zhǎng)為〃、寬為人的長(zhǎng)方形.

（1）小明選取4張C型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，剪出中間的正方形。型卡片，由此可驗(yàn)證的等

量關(guān)系為:

（2）小亮想用這三種卡片拼成一個(gè)如圖3所示的長(zhǎng)為2。+4寬為什人的長(zhǎng)方形，那么需要A型卡片2

張，3型卡片張，C型卡片張，并在圖3中畫出一種拼法.（圖中標(biāo)上卡片型號(hào)）

【變式8-3］（2023秋?揭西縣期末）【知識(shí)回顧】

七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題“代數(shù)式ov-尹6+3x-5y-\的值與x的取值無關(guān)，求a的

值”，通常的解題方法是：把小），看作字母，?？醋飨禂?shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān),

所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0,即原式=（a+3）x-6y+5,所以。+3=0,則a=-3.

【理解應(yīng)用】

（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（2x-3），〃+2〃尸-3戈的值與x的取值無關(guān)，求〃?值；

（2）已知A=（2計(jì)1）（x-1）-x（1-3y）,8=-^+xy-1,且3A+68的值與x無關(guān)，求），的值；

【能力提升】

（3）7張如圖I的小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為小寬為〃，按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形A8CZ）內(nèi)，大長(zhǎng)方

形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積為Si,左下角的面積為S2,當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)變

化時(shí)，SLS2的值始終保持不變，求。與〃的等量關(guān)系.

【考點(diǎn)9乘法公式的幾何背景】

［例9］（2023秋?鄧州市期末）完全平方公式：（〃±8）2=.2±2"+房適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)

問題.

例如：若〃+力=3,ab=\,求J+■的值.

解：因?yàn)閍+b=3,ab=I,

所以（a+Z?）2=9,2ab=2.

所以cr+tr+lab=9,得a2+b2=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

（1）若女+y=8,/+）2=3（）,求xy的值；

（2）請(qǐng)直接寫出下列問題答案：

①若（4-x）x=3,則（4?x）2+/=；

②若（3-x）（5-x）=6,則（3-x）2+（5-x）2=.

（3）如圖，點(diǎn)C是線段48上的一點(diǎn)，以AC,8c為邊向兩邊作正方形，設(shè)48=10,兩正方形的面積

51+52=52,求圖中陰影部分面積.

【變式9-1］（2023秋?龍港區(qū)期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，八種紙片是邊長(zhǎng)

為。的正方形，8種紙片是邊長(zhǎng)為〃的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為尻寬為〃的長(zhǎng)方形.用A種紙片一張,

B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形.

（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（答案直接填到題中橫線上）.

方法］：

方法2.

（2）觀察圖2,請(qǐng)你直接寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（。+人）2,J+扇，，山之間的等量關(guān)系為.

（3）曉曉同學(xué)利用上面的紙片拼出了一個(gè)面積為/+3時(shí)+2戶的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)

為;

（4）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：

①已知：a+b=6,a2+b2=］4,求而的值:

②已知：（x-2020）2+（x-2022）2=34,求（x-2021）2的值.

【變式9-2】(2023春?龍華區(qū)月考)【探究】

若x滿足(9-x)(x-4)=4,求(4-x)2+(x-9)?的值.

設(shè)9-x=〃，3-4=力，則(9-.i)(X-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,

???(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=Ca+b)2-2?Z?=52-2X4=17；

【應(yīng)用】

請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：

(1)若x滿足(5-x)(x-2)=2,求(5-x)2+(x-2)2的值；

【拓展】

(2)已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為x,E,產(chǎn)分別是4。、DC上的點(diǎn)，且4E=1,CF=3,長(zhǎng)方形EMFD

的面積是8,分別以MF、。尸為邊作正方形.

S)MF=,DF=；(用含x的式子表示)

②求陰影部分的面積.

【變式9-3](2023秋?永春縣期中)如圖，正方形ABCQ中，點(diǎn)G是邊CO上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)C,。重合)，

以CG為邊在正方形48C。外作正方形CEFG,且8、C、E三點(diǎn)在同一直線上，設(shè)正方形ABC。和正方

形CEFG的邊長(zhǎng)分別為a和b(a>b).

(1)求圖1和圖2中陰影部分的面積Si、S2(用含〃，8的代數(shù)式表示)；

(2)如果。+。=8,ab=6,求Si的值；

(3)當(dāng)3=52時(shí);求。與人滿足的數(shù)量關(guān)系.

【考點(diǎn)10整式乘除中的規(guī)律問題】

【例10】（2023秋?恩施市期末）觀察下列式子:

（，-]）-4-（x-1）=x+l；

（?-I）4-（x-1）=AA+1；

（x4-I）+（x-1）=/+/+戶1；

（X5-1）4-（X-1）=X4+X3+X2+X+1;

（1）根據(jù)以上式子，請(qǐng)直接寫出（/-I）4-（X-1）的結(jié)果（〃為正整數(shù)）：

（2）計(jì)算：1+2+22+23+24+???+22021.

【變式10-1】（2023春?龍崗區(qū)月考）觀察下列等式：

（X-1）（x+1）=7-1;

（X-1）（/+X+1）=9-1；

（X-1）（/+/+x+l）=；

(1)猜想規(guī)律：(X-1)(//r+???+f+x+i)=；

(2)有以上情形，你能求出下面式子的結(jié)果嗎？(W-1)+(x-1)=

(3)已知尸+/+.計(jì)1=0,分別求出產(chǎn)和/020的值.

【變式10-2】(2023春?安徽月考)【操作】填空：

(1)(x-1)(.r+1)=；

(2)(x-1)(x+1)(*+1)=；

(3)(%-1)(x+1)(Al)(x4+l)=；

【猜想】根據(jù)上述等式的規(guī)律，猜想(X-I)(x+1)(Al)…(/"+[)=(用含〃的式子

表示，不用說理)；

【應(yīng)用】請(qǐng)根據(jù)猜想完成下列各題(直接寫出結(jié)果，不用化簡(jiǎn))：

計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)???(232+1)=；

【變式10-3】(2023秋?大連期末；如圖1,是2022年2月份的日歷，選擇其中所示的方框部分，將這四個(gè)

數(shù)字按照：“右上角數(shù)字X左下角數(shù)字-左上角數(shù)字X右下角數(shù)字”進(jìn)行計(jì)算.

(1)計(jì)算：7X13-6X14=,19X25-18X26=；

(2)請(qǐng)猜想方框里的四個(gè)數(shù)字計(jì)算結(jié)果的規(guī)律，并用整式運(yùn)算對(duì)猜想的規(guī)律加以證明；

(3)如圖2,是2022年4月份的日歷，選擇任意的十六個(gè)數(shù)字方框，將四個(gè)角上的數(shù)字，仍按照題中

的運(yùn)算方法計(jì)算，（2）中的規(guī)律還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出你的猜想并證明.

2022年2月2022年4月

—

-X-日

日——四五八一四五六

1234512

7

689101112345689

1314151617181910111213141516

2021222324252617181920212223

272824252627282930

圖1圖2

專題1.7整式的乘除章末重難點(diǎn)突破

【北師大版】

”近場(chǎng)沅點(diǎn)

亨*/三

【考點(diǎn)1哥的運(yùn)算】

【例I】(2023春?葉集區(qū)期末)下列計(jì)算正確的是()

A.(/)2=)5B./?丁=/

C.(-xy)5-r(-X)')2=?xVD.x6-rxi=x2

【解題思路】分別根據(jù)幕的乘方運(yùn)算法則，同底數(shù)寤的乘法法則，積的乘方運(yùn)算法則以

及同底數(shù)哥的除法法貝!逐一判斷即可.

【解答過程】解：A.(x3)2=?,故本選項(xiàng)不合題意；

艮9?/=/,故本選項(xiàng)不合題意；

C.(-A3,)5-i-(■孫)2=?小)，3,故本選項(xiàng)符合題意；

D.A-64-A3=?,故本選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【變式1-1](2023春?海陵區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算

(1)??/-(2x4)2+X,04-?.

(2)(-2?)3+(-3?)2+(x2)2?f

【解題思路】(I)根據(jù)同底數(shù)暴的乘法和除法、積的乘方的法則計(jì)算即可;

(2)根據(jù)同底數(shù)轅的乘法、積的乘方的法則計(jì)算即可.

【解答過程】解：(1)原式=/-4/+X8=-2v8

(2)原式=-8X6+9.AX6=2A-6

【變式1?2】(2023春?安慶期中)計(jì)算：an'5(?N+,^3m'2)2+Can'lbm3(-b3,,t+2)

【解題思路】先利用積的乘方，去掉括號(hào)，再利用同底數(shù)塞的乘法計(jì)算，最后合并同類

項(xiàng)即可.

【解答過程】解：原式=由一5(廿/2心〃廠4)+產(chǎn)3a-6(?廬吟，

a3n-3b6n,-4+a3?-3(-0…)，

〃3〃?366〃廠4_〃3〃?366加?4

=0.

【變式1-3](2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算82X4202IX(-0.25)2°】9的值等于.

【解題思路】根據(jù)基的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答過程】解：原式=82義4%42°19義(-0.25)20,9

=82X42X(4X-0.25)2019

=82X42X(-I)

=-1024.

故答案為：-1024.

【考點(diǎn)2累的逆運(yùn)算】

【例2】(2023秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考)解答下列問題

(1)已知1=小2>=b,求20的值；

(2)已知3'”一5,3〃一2,求3如”"|的值；

(3)若3x+4y-3=0,求27、?81V的值.

【解題思路】(1)根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)暴的乘方以及同底數(shù)暴的乘法法則計(jì)算即可；

(3)由3x+4v-3=0可得3.計(jì)4)，=3,再據(jù)冢的乘方以及同底數(shù)冢的乘法法則計(jì)算即可.

【解答過程】解：(1)???21=小?=b,

???2戶)'=2、?2丫="；

(2)V3/M=5,3"=2,

A33/?+2n+l=(3小)3.(3D2X3=53X22><3=125><4X3=15OO；

(3)由3.r+4y-3=0可得3x+4y=3,

???2尸?81〉

=33V-34V

=33戶y4

=33

=27.

【變式2-1］（2023春?江陰市期中）（1）已知6+4〃-3=0,求2加?16〃的值.

（2）已知〃為正整數(shù)，且/〃=4,求（/〃）2-2（，）2〃的值.

【解題思路】（1）先根據(jù)箱的乘方變形，再根據(jù)同底數(shù)第的乘法進(jìn)行計(jì)算，最后代入求

出即可：

（2）先根據(jù)幕的乘方法則將原式化為『〃的塞的形式然后代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答過程】解：（1??/加+4〃?3=0

...〃?+4〃=3

原式=2山?2曲

—2,肝4〃

=23

=8.

（2）原式=（0）3-2（/”）2,

=43-2X42,

=32,

【變式2-2］（2023春?祁江區(qū)校級(jí)月考）（1）若4〃+3b=3,求92a?27。.

（2）已知3X9'"X27"'=32I,求用的值

【解題思路】（1）根據(jù)事的乘方以及同底數(shù)哥的乘法法則解答即可；

（2）根據(jù)塞的乘方以及同底數(shù)塞的乘法法則解答即可.

【解答過程】解:⑴???4a+3b=3,

:.9勿?27/?=34<,*33￡,=33=27；

（2）;3X夕〃X27加=3X32WX33w=3,+2w+3/M=321,

:.1+26+3〃?=21,

解得m=4.

【變式2-3］（2023?河北模擬）若"”=/（。>0且啟1,〃?、〃是正整數(shù)），則機(jī)=〃.利用

上面結(jié)論解決下面的問題：

（1）如果2?8八16'=25,求x的值；

（2）如果2/2+2戶1=24,求上的值；

（3）若x=5〃-3,y=4-257用含力的代數(shù)式表示y.

【解題思路】（1）根據(jù)舞的乘方運(yùn)算法則把8、與16化為底數(shù)為2的鼎，再根據(jù)同底數(shù)

暴的乘除法法則解答跳可；

（2）根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則把2"2+2"】=24變形為2、3+2）=24即可解答；

（3）由x=5〃「3可得5〃&x+3,再根據(jù)哥的乘方運(yùn)算法則解答即可.

3v4x3x4x35

【解答過程】解：(1)2+8*?18=2+(2)-*(2)=2-r2-2=2''^=2?

/.1-3A+4X=5,

解得x=4；

(2)V2X+2+2A+,=24,

：.2X(22+2)=24,

???2'=4,

**?x=2；

(3)Vx=5/?,-3,

???5'”=x+3,

??j，=4?25加=4?(52)w=4-(5/M)2=4-(x+3)2,

Ay=-.v2-6.v-5.

【考點(diǎn)3巧用幕的運(yùn)算進(jìn)行大小比較】

【例31(2023春?祁江區(qū)校級(jí)期中)若機(jī)=272,?=348,則m、n的大小關(guān)系正確的是()

A.in>nB.m<n

C.m=nD.大小關(guān)系無法確定

【解題思路】先根據(jù)鼻的乘方進(jìn)行變形，再比較即可.

【解答過程】解：m=272=(23)24=824,H=348=(32)24=924,

V8<9,

故選：B.

【變式3-1](2023春?淮陰區(qū)期中)比較255、3”、433的大小()

A.255<344<433B.433<344<255

C.255V433V33D.344<433<255

【解題思路】根據(jù)基的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘都轉(zhuǎn)換成指數(shù)是II的累，再根據(jù)底數(shù)的

大小進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】解：255=(25)"=32”，

3皿=(34)”=81”,

4?=(43)11=6411,

V32<64<81,

/.255<433<344.

故選：C.

【變式3-2](2023春?玄武區(qū)期中)233、41\的大小關(guān)系是(用〉號(hào)連接).

【解題思路】直接利用箱的乘方運(yùn)算法則將原式變形，進(jìn)而比較得出答案.

【解答過程】解：???2歲、4,8=23\810=(23)10=230,

.*.236>233>230,

.e.4,8>233>810.

【變式3?3】(2023春?李滄區(qū)期中)閱讀下列兩則材料,解決問題：

材料一：比較322和4”的大小.

解:V4U=(22)11=222,且3>2

A322>222,BP322>4H

小結(jié)：指數(shù)相同的情況下，通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個(gè)累的大小

材料二：比較28和82的大小

解：V82=(23)2=26,且8>6

/.28>26,BP28>82

小結(jié)：底數(shù)相同的情況下，通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個(gè)暴的大小

【方法運(yùn)用】

(1)比較3"、43\5?2的大小

(2)比較8冏、274,>961的大小

(3)已知/=2,力3=3,比較〃、。的大小

(4)比較3%X5i°與"°X5i2的大小

【解題思路】(1)根據(jù)題目中的例了?可以解答本題；

(2)根據(jù)題目中的例子可以解答本題：

(3)根據(jù)題目中的例子可以解答本題；

(4)根據(jù)題FI中的例子可以解答本題.

【解答過程】解;(1)V344=(34)“=81”,

433=(43)11=6411,

522=6)”=25”,

V8I>64>25,

/.811,>64ll>25,1,

即344>433>522,

(2)V8I3,=(34)31=3124,

274,=(33)41=3%

96,=(32)61=3。

V124>123>122,

.3124>3123>3122>

即8131>274,>961；

(3)???J=2,P=3,

???心=8,廬=9,

V8<9,

：.4<仲,

,\a<b；

(4)V3,2X510=(3X5)IOX32,

()乂

310X512-3X51052,

XV32<52,

.,.3,2X5,O<3IOX512.

【考點(diǎn)4塞的運(yùn)算中的新定義問題】

【例4】(2023秋?開州區(qū)期末)閱讀以下材料:蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Npler,1550-1617

年)是對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人.他發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉

(Evler,1707-1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.對(duì)數(shù)的定義：一般地，若"

=N(a>0且aWl),那么x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log.N,比如指數(shù)式2'=

16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4=log216,對(duì)數(shù)式2=k)g39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32=9.

我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：log”(W?N)=log〃M+log“N(4>0,aWI,

M>(),N>0),理由如下：

設(shè)log”M=/〃，log“N=〃，則M=a%N=4,

n,,tm+,,

：,M-N=a-a=af由對(duì)數(shù)的定義得〃什〃=log”(M?N).

又,:m+n=logaAZ+logfl^,

logf；(M?N)=logaM+logaN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問題：

(1)填空：①10*64=6,②10^27=3,@log71=0；

?M

(2)求證：log”一=log?M-log?^V(a>0,M>0,N>0)；

N

(3)拓展運(yùn)用:計(jì)算Iog464+log57-logs35.

分析：(I)根據(jù)題意給出的運(yùn)算法則即可求出答案.

(2)設(shè)log“M=加，log“N=〃，則M=V,N=C,然后根據(jù)對(duì)數(shù)的定義即可求出答案.

(3)根據(jù)題意給出的運(yùn)算法則即可求出答案.

【解答】解：(1)log>64=6,log327=3,log71=0,

故①6；②3；③0：

(2)設(shè)lognM=/〃，log“N=〃，則Af=a'〃，N=a",

.M*

■?一=—=a,

Nan

由對(duì)數(shù)的定義得m-n=log。*.

又丁〃？-〃=Iog“M-logflJV

M

-loga^=logaM-logaN.

（3）Iog464+log57-log535

=3+Iog57-（Iog55+log57）

=3+log57-logs7-I

=2.

【變式4-1］（2023秋?杜爾伯特縣期末）閱讀下列材料，并解決下面的問題：

我們知道，加減運(yùn)算是互逆運(yùn)算，乘除運(yùn)算也是互逆運(yùn)算，其實(shí)乘方運(yùn)算也有逆運(yùn)算，

如我們規(guī)定式子少=8可以變形為log28=3,logs25=2也可以變形為52=25.在式子2?

=8中，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為Iog28.一般地，若且aWl,b>0）,

則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為\ogab（即log疝=〃），且具有性質(zhì):

①1。0〃〃=川。&4：②1空"〃"=〃：③1cg“M+1cgaN=lcg"（M*N）,其中且〃Wl.M

>0,N>0.

根據(jù)上面的規(guī)定，請(qǐng)解決下面問題：

（1）計(jì)算：1OR31=0,logio25+log1（）4=2（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）；

（2）已知x=log32,請(qǐng)你用含X的代數(shù)式來表示y,其中），=log372（請(qǐng)寫出必要的過程）.

分析：（1）先認(rèn)真閱讀題目，得出3』1,求出x即可;得出Iogio25+logio4=logiol00,

求出即可；

（2）先變形得出y=log372,再求出即可.

【解答】解：（1）logjl=0,log1o25+log1（>4=log10100=2,

故答案為：0,2：

（2）Vx=log32>

.*.y=log372

=log38+log39

=31og32+2

=3x+2.

【變式4-2］（2023春?宜興市月考）規(guī)定兩數(shù)m2之間的一?種運(yùn)算，記作（小//）：如果

cf=b,那么（a,b）=c.例如：因?yàn)??=8,所以（2,8）=3.

（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（4,64）=3,（-2,4）=2,（-1-8）=

-3；

（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：（3",4'7）=（3,4）,

他給出了如下的證明：

M

設(shè)(3〃，4")=xf則(3)*=4”，即(3D”=4〃，

.*.3X=4,即(3,4)=x.

???(3〃，4〃)=(3,4).

請(qǐng)你嘗試運(yùn)用上述這種方法說明下面這個(gè)等式成立?的理由.

(4,5)+(4,6)=(4,30).

(3)拓展應(yīng)用：計(jì)算(3.9)X(3.20)-(3.5).

分析：⑴根據(jù)題意可得43=64,(-2)2=4,(-1)-3=-8,進(jìn)而求解.

(2)設(shè)(4,5)=x,(4,6)=y,(4,30)=z,則4X=5,4-v=6,4?=30,進(jìn)而求

解.

(3)設(shè)(3,20)=a,(3,5)=b,則3。=20,3b=5,再根據(jù)(3,9)=2及同底數(shù)

密的除法法則求解.

【解答】解：(1)?.?43=64,(-2)2=4,(-1)"3=-8,

:.(4,64)=3,(-2,4)=2,(-1,-8)=-3.

故答案為：3,2,-3.

(2)設(shè)(4,5)=x,(4,6)=y,(4,30)=z,

則4*=5,4V=6,41=30,

，下義4V=5X6=30,

.?.4XX4-V=42,

???x+)，=z,即(4,5)+(4,6)=(4,30).

(3)設(shè)(3,20)=a,(3,5)=h,

???3"=20,3b=5,

???(3,9)=2,

:.(3，9)X(3,20)-(3，5)=2a-b,

?.?3〃"=(3”)24-3^=2024-5=80,

：.2a-b=(3,80),即(3,9)X(3,20)-(3,5)=(3,80).

【變式4-3](2023春?岳麓區(qū)月考)定義:如果2加=〃〃為正數(shù))，那么我們把m叫

做〃的。數(shù)，記作機(jī)=。(〃).

(1)根據(jù)。數(shù)的定義，填空：D(2)=I,D(16)=4.

(2)D數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：D(.??/)=D(s)+D(/),D(^)=D(q)-D(/?),

其中

根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算：

①若。(a)=1,求O(J)；

527

②若已知。(3)=2a-b,D(5)=a+c,試求。(15),。(一)，。(108),D(―)

320

的值(用仄c?表示).

分析?：本題屬于閱讀題，根據(jù)給出的定義進(jìn)行運(yùn)算或化簡(jiǎn).

【解答】解：(1)V2,=2,

：.D(2)=1,

V24=16,

：.D(16)=4,

故答案為：卜4.

(2)①??勿=。，

:?a=2?

/.23=23.

:.D(/)=3.

②。(15)=D(3X5),

=D(3)+D(5)

—(2a-b)+(a+c)

=3a-b+c,

D(|)=D(5)-D(3)

=(a+c)-(2a-b)

=-a+b+c.

D(108)=D(3X3X3X2X2),

=D(3)+D(3)+D(3)+D(2)+D(2)

=3X0(3)+2XD(2)

=3X(2a-h)+2X1

=6a-3b+2.

崎=0(27)-0(20),

=D(3X3X3)-D(5X2X2)

=D(3)+Q(3)+D(3)-[D(5)+D(2)+D(2)]

=3XD(3)-\D(5)+2D(2)]

=3X(2?-Z?)-[67+C1-2XI]

=6。-3b-a-c-2

=5a-3b-c-2,

【考點(diǎn)5整式乘法中的求值問題】

【例5】(2023春?灌陽縣期中)已知(?x)(2/-ar-l)-2?+3;中不含"的二次項(xiàng)，

則。的值是()

A.3B.2C.-3D.-2

【解題思路】先進(jìn)行單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再合并得到原式=?4/+(4+3)然后令二

次項(xiàng)的系數(shù)為0即可得到。的值.

【解答過程】解：(-X)(2A-2-av-1)-2?+3?=-l^+a^+x-2?+3?

=-4.P+(a+3).r2+.r,

因?yàn)?4/+(a+3)不含x的二次項(xiàng)，

所以a+3=0,

所以a=-3.

故選：C.

【變式5-1](2023春?渾南區(qū)校級(jí)期中)若不管a取何值,多項(xiàng)式a3+2a2-a-2與(a2-

ma+2n)(〃+1)都相等,則"八〃的值分別為()

A.-1,-1B.-1,1C.1,-1D.1,1

【解題思路】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行恒等計(jì)算即可.

【解答過程】解：多項(xiàng)式。3+2°2?〃-2與Q+1)都相等,

(cT-ma+2n)(a+1)

=/-〃混+2卬?+。2-,na+2n

=a3+(I-〃?)a2+(2n-m)a+2n

所以1-6=2,得rn=~1,

2n-m=-I,得n=-1.

或者2n=-2,得n=-i.

故選：A.

【變式5-2](2023秋?晉安區(qū)期中)在計(jì)算(x+a)(x+b)時(shí)，甲把人錯(cuò)看成了6,得到結(jié)

果是：/+&r+i2.

(1)求出。的值；

(2)在3)的條件下，且〃=-3時(shí)，計(jì)算(r+〃)(r+力)的結(jié)果.

分析：(I)根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算(x+a)(A+6),與『+8x+12對(duì)照即可得出。的

值；

(2)把a(bǔ)=2,〃=-3代入計(jì)算即可.

【解答】解：(1)V(x+a)(x+6)

=『+6x+ax+6a

=,+(6+a)x+6a,

???，+(6+q)x+64=/+8x+12,

6+a=8,6a=12,

解得4=2;

(2)當(dāng)a=2,b=-3時(shí)，

(x+n)(x+〃)

=(x+2)(x-3)

=7-3x+2x-6

=j?-x-6.

【變式5-3](2023秋?耒陽市校級(jí)月考)已知多項(xiàng)式M=,+5x-a,N=-x+2,P=A3+3?+5,

且M?N+P的值與x的取值無關(guān)，求字母〃的值.

分析：根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算，根據(jù)題意列出方程，解方程即可.

【解答】解：M?N+P=(?+5x-?)(-x+2)+(/+3/+5)

=-xi+2x2-5X2+10A+O-2。+/+3/+5

=(.10+a)x-2a+5,

由題意得，10+4=0，

解得，a=-10.

【考點(diǎn)6巧用乘法公式求值】

【例6】(2023春-祁江區(qū)校級(jí)期中)若x,y滿足』+/=8,沖=2,求下列各式的值.

(1)(x+y)2；

(2)x4+y4；

(3)x-y.

【解題思路】(I)先很據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入求出即可；

(2)先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入求出即可；

(3)先求出(x?y)2的值，再根據(jù)完全平方公式求出即可.

【解答過程】解：(1)???/+?2=8,xy=2t

??.(x+y)2

=x1+y^1+2xy

=8+2X2

=12;

(2)VAJ2=8,xy=2,

=(7+/)2-Zr2；,2

=82-2X22

=64-8

=56；

(3)7?+/=8,xy=2,

:.(x-y)2=/+)2-加=8-2X2=4,

*.x-y=±2.

【變式6-1](2023春?灌云縣期中)已知〃-力=1,『+*=3求下列代數(shù)式的值：

(1)〃〃：

(2)cr-b2-8.

【解題思路】(1)由(。-0)2=/+廬-2”。及已知條件可求得答案；

(2)(〃+/力2=/+.+2時(shí)及已知條件可求得〃+/,的值，進(jìn)而得出a2-/r-8的值即可.

【解答過程】解：⑴???“-〃=1,

???(。?2)2

=a1+b1-2ab

=1,

,??/+■=13,

Al3-2ab=1,

??(ib—6；

(2)Vd2+Z>2=13,ab=6,

：.(a+b)2

=(F+l，+2ab

=13+12

=25,

.\a+b=5或-5,

Vo2-/72-8=Ca+b)