復(fù)合函數(shù)知識(shí)總結(jié)及例題2

第一篇、復(fù)合函數(shù)問題

一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳,u=g(x)的值域?yàn)锽,若AI3B,則y關(guān)于x

函數(shù)的y=f[g(x)]叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù),u叫中間量.

二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：

(一)例題剖析：

(1)、已知團(tuán)的定義域，求團(tuán)的定義域

思路：設(shè)函數(shù)回的定義域?yàn)镈,即回，所以團(tuán)的作用范圍為D,又f對團(tuán)作用，作用范圍不變，

所以瓦解得&E為國的定義域。

例1.設(shè)函數(shù)例的定義域?yàn)?0,1),則函數(shù)回的定義域?yàn)椤?/p>

解析：函數(shù)⑶的定義域?yàn)?0,1)即2所以(3的作用范圍為(0,1)

又f對Inx作用,作用范圍不變，所以團(tuán)

解得團(tuán)，故函數(shù)回的定義域?yàn)?l,e)

例2.若函數(shù)而，則函數(shù)團(tuán)的定義域?yàn)閛

解析:先求f的作用范圍,由團(tuán)，知團(tuán)

即f的作用范圍為因又f對f(x)作用

所以團(tuán)即團(tuán)中x應(yīng)滿足團(tuán)

即(3,解得團(tuán)

故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(2)、已知團(tuán)的定義域，求(3的定義域

思路：設(shè)團(tuán)的定義域?yàn)镈,即團(tuán)，由此得(3,所以f的作用范圍為E,又f對x作用，作用范

圍不變，所以13為團(tuán)的定義域。

例3.已知由的定義域?yàn)榛?，則函數(shù)目的定義域?yàn)閛

解析:團(tuán)的定義域?yàn)閳F(tuán)即團(tuán)，由此得何

所以f的作用范圍為團(tuán)又f對x作用，作用范圍不變，所以團(tuán)

即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

例4.已知瓦則函數(shù)團(tuán)的定義域?yàn)?lt;.

解析：先求f的作用范圍，由瓦知團(tuán)

解得瓦f的作用范圍為段又f對x作用，作用范圍不變,所以修即目的定義域?yàn)閳F(tuán)

(3)、已知團(tuán)的定義域，求團(tuán)的定義域

1

思路:設(shè)團(tuán)的定義域?yàn)镈,即以由此得團(tuán),團(tuán)的作用范圍為E,乂f對閉作用，作用范圍不變,

所以回，解得國F為因的定義域。

例5.若函數(shù)例的定義域?yàn)椋?,貝靦的定義域?yàn)?/p>

解析：團(tuán)的定義域?yàn)閳F(tuán)，即團(tuán)，由此得團(tuán)

的作用范圍為

又f對團(tuán)作用，所以瓦解得團(tuán)

即的定義域?yàn)?/p>

評注：函數(shù)定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區(qū)間表示）f對誰作用，則誰的范

圍是f的作用范圍,f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會(huì)變。利用這種理念求此類定義

域問題會(huì)有“得來全不費(fèi)功夫”的感覺，值得大家探討。

（二）同步練習(xí)：

1、已知函數(shù)團(tuán)的定義域?yàn)閲蠛瘮?shù)（3的定義域。

答案：［-1，1］

2.已知函數(shù)國的定義域?yàn)閲?，求團(tuán)的定義域。

答案：［一3,9］

3.已知函數(shù)0的定義域?yàn)閳F(tuán)，求13的定義域。

13

…O）u（l,-）

答案：22

4.設(shè)，則的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

.A.............B...

C......D.0

解:選C.由（3得,田的定義域?yàn)橥吖释呓獾眯墓剩?的定義域?yàn)樘?/p>

5.已知函數(shù)團(tuán)的定義域?yàn)閳F(tuán)求團(tuán)的定義域。

［解析］由已知，有國

（1）當(dāng)團(tuán)時(shí)，定義域?yàn)閳F(tuán);

（2）當(dāng)國即回時(shí),有也

定義域?yàn)椋?1一處：

2

2

（3）當(dāng)13,即團(tuán)時(shí)，有也

故當(dāng)（3時(shí)，定義域?yàn)棰牵?/p>

當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?/p>

［點(diǎn)評］對于含有參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，必須對字母進(jìn)行討論，要注意

思考討論字母的方法。

三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題

（1）引理證明

已知函數(shù)回.若唯區(qū)間團(tuán)）上是減函數(shù)，其值域?yàn)椋╟,d）,又函數(shù)團(tuán)在區(qū)間（c,d）上是減函數(shù),

那么，原復(fù)合函數(shù)回在區(qū)間用）上是增函數(shù).

證明：在區(qū)間）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，使

因?yàn)樵趨^(qū)間）上是減函數(shù)，所以，記，即

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（c,d）上是減函數(shù)，所以，即，

故函數(shù)y=/（g（x））在區(qū)間（〃/）上是增函數(shù).

（2）.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

復(fù)合函數(shù)的單增/減\

調(diào)性是由兩個(gè)函

數(shù)共同決定。為了

記憶方便，我們把

它們總結(jié)成一個(gè)

圖表：

y=/（〃）

〃=gM增/減\增/減\

y=f(gM)增/減\減、增/

以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.

（3）、復(fù)合函數(shù)0的單調(diào)性判斷步驟：

i確定函數(shù)的定義域；

ii將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡單函數(shù)：與。

3

iii分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性;

iv若兩個(gè)函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同(即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù))，則

復(fù)合后的函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異(即一個(gè)是增函數(shù),

而另一個(gè)是減函數(shù))，則且合后的函數(shù)為減函數(shù)。

(4)例題演練

例1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明

解：定義域

單調(diào)減區(qū)間是(3,+GO)設(shè)芯,12e(3,+oo)且為<七則

必=log1一2匹-3))，2=bgI*2~-2X2-3)

22

22

U1.2內(nèi)-3)-(X2-2X2-3)=(X2-x/X^+-^I-2)

,:x2>xl>3x2—X|>0x2+-2>0

2

:.(X］2—2X［—3)>(x,-2X2-3)又底數(shù)0</<l

,<0

?*-y2->i即)’2<H

:.y在(3,+8)上是減函數(shù).

同理可證:國在團(tuán)上是增函數(shù)回

［例］2.討論函數(shù)團(tuán)的單調(diào)性.

［解］由版2—2A-1>0得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

{x|x>1,或

則當(dāng)團(tuán)時(shí)，若團(tuán):團(tuán)為增函數(shù)，.?.(3為增函數(shù).

若0???團(tuán)為減函數(shù).

2

f(x)=logf/3x-2x-l)為減函數(shù)。

當(dāng)時(shí)，若，則為減函數(shù)，若，則為增函數(shù).

例3..已知丫=(2-)在［0,1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.

解：Va>0Ma^l

當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)t=2->0是減函數(shù)

由尸(2-)在［。，1］上x的減函數(shù)，知尸t是增函數(shù)，

Aa>l

由x［0,1］時(shí)，2-2-a>0,得a<2,

/.l<a<2

當(dāng)0<aCl時(shí)，函數(shù)t=2->0是增函數(shù)

4

由尸(2-)在［0,1］上x的減函數(shù)，知尸t是減函數(shù)，

AO<a<l.

由X［0,1］時(shí)，2-2-1>0,A0<a<l

綜上述,0。<1或lVaV2I3

例4、已知函數(shù)團(tuán)(團(tuán)為負(fù)整數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)此設(shè)瓦問是否存在實(shí)數(shù)團(tuán)使得團(tuán)在區(qū)間回上

是減函數(shù)，且在區(qū)間團(tuán)上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。

［解析］由已知以得胤

其中國，團(tuán)即助

由？出1-2J?1+2s

解得一--<a<---.

33

,?旭為負(fù)整數(shù)，???①

:.f(x-2)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,

即:國,

**?尸(X)=+/(-V)=-px4+(2〃-l)x2+1.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)回，使得團(tuán)滿足條件，設(shè)胤

2

:.F(X|)-F(X2)=(x-x?)［-p(xf+石)+2p—1］.

V0,當(dāng)團(tuán)時(shí),團(tuán)為減函數(shù)，

:.⑦，?'?團(tuán)

*.*X|<-3,X2<-3,；?X：+華>18,

-〃(*+xj)+2/?-l>—16/7-1,

A-16/7-l>0.①

當(dāng)x,,應(yīng)€(-3,0)時(shí),F(x)增函數(shù),???F(X|)-F(X2)<0.

2

■:X1-x?>0z:.-p(xp+x?)+2p-l<-16p-lz

.e.-16p-l<0.②

由①、②可知，故存在

(5)同步練習(xí):

1.函數(shù)y=［3(x2—3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(―0°,1)B.(2,+8)

C.(—8,0)D.(0，+°°)

解析：先求函數(shù)定義域?yàn)?一。,1)U(2,4-oo)，令t(x)=x2+3x+2,函數(shù)t(x)

在(-8")上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)

y=0(x2-3x+2)在(2,+~)上單調(diào)遞減.

答案：B

2找出卜列出數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

5

(1)y=a-x2+3x+2(a>i)；

(2))，=2、"+2c3.

答案:⑴在回上是增函數(shù),在團(tuán)上是減函數(shù)。

(2)單調(diào)增區(qū)間是外減區(qū)間是團(tuán)。

3.討論團(tuán)的單調(diào)性。

答案:團(tuán)時(shí)團(tuán)為增函數(shù),舊時(shí)曾為增函數(shù)。

4.求函數(shù)y=13(x2-5x+4)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.

解：由0(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或xVl,所以xW(—8,1)U(4,+=),

當(dāng)xW(—8,1)U(4,+8),{E|ffl=x2-5x+4}=R+,所以函數(shù)的值域是R+.因

為函數(shù)y=0(x2-5x+4)是由y=03(x)與0(x)=x2-5x+4復(fù)合而成，函數(shù)y=0K(x)

在其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)用(x)=x2—5x+4在(-8,回)上為減函數(shù)，在［5+

8］上為增函數(shù).考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，y=色(x2-5x+4)的增區(qū)間是

定義域內(nèi)使y=03(x)為減函數(shù)、0(x)=x2-5x+4也為減函數(shù)的區(qū)間，即v

=0(x2-5x+4)的減區(qū)間是定義域內(nèi)使y=aa(x)為減函數(shù)、0(x)=x2-5x+4為增

函數(shù)的區(qū)間，即(4,4-00).

變式練習(xí)

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=13的定義域是()

A.(1,4-oo)B.(2,4-0°)

C.(一8,2)D.0

解析：要保證真數(shù)大于0,還要保證偶次根式下的式子大于等于0,

所以由解得1VXW2.

答案:D

2.函數(shù)丫=國(x2-3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(—8,1)B.(2,4-°°)

C.(一8,團(tuán))D.(0,-Foo)

解析：先求函數(shù)定義域?yàn)?一。,1)U(2,+8),令t(x)=x2+3x+2,函數(shù)t(x)

在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)

y=0(x2-3x+2)在(2,十8)上單調(diào)遞減.

6

答案：B

3.若20(x-2y)=0x+0yz則缶的值為()

A.4B.1或回

C.1或4D.0

錯(cuò)解：由2團(tuán)(x-2y)=取+鴕，得(x-2y)2=xy,解得x=4y或x=y,則有團(tuán)=團(tuán)或回

=1.

答案：選B

正解:上述解法忽略了真數(shù)大于0這個(gè)條件，即x-2v>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只

有x=4y.

答案:D

4.若定義在區(qū)間(一1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)=回(x+1)滿足f(x)>0,則a的取值范

圍為()

A.(0,(3)B.(0,1)

C.(閉+8)D.(0,+8)

解析：因?yàn)閤￡(—1,0),所以x+l￡(0z1).當(dāng)f(x)>0時(shí)，根據(jù)圖象只有OV2a

VI,解得OVaV團(tuán)(根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì)).

答案:A

5.函數(shù)y=0(0-1)的圖象關(guān)于()

A.y軸對稱B.x軸對稱

C.原點(diǎn)對稱D.直線y=x對稱

解析：y=ra(0-1)=團(tuán)，所以為奇函數(shù).形如y=(3或y=13的函數(shù)都為奇函數(shù).

答案:C

二、填空題

已知y=m(2-ax)在［0,1］上是x的減函數(shù)，則d的取值范圍是.

解析:a>0且aH103(x)=2—ax是減函數(shù)，要使丫=團(tuán)(2—ax)是減函數(shù)，貝！Ia>l,又

2-ax>OSa<0(0<x<l)團(tuán)aV2,所以aW(1,2),

答案:aS(1,2)

7.函數(shù)f(x)的圖象與g(x)=(0)x的圖象關(guān)亍<直線y=x對稱，則f(2x-x2)的

單調(diào)遞減區(qū)間為.

解析：因?yàn)閒(X)與g(x)互為反函數(shù)，所以f(x)=0X

7

則f(2x-x2)=0(2x-x2),令團(tuán)(x)=2x-x2>0,解得0<xV2.

0(x)=2x—x2在()1)上單調(diào)遞增，則f［團(tuán)(x)］在(0,1)上單調(diào)遞減；

0(x)=2x—x2在(1,2)上單調(diào)遞減，則f［團(tuán)(X)］在［1,2)上單調(diào)遞增.

所以f(2x—x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

答案：(0,1)

8.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在［0,+8］上是增函數(shù)，且f(用)=0,

則不等式f(Iog4x)>0的解集是.

解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(一回)=f(0)=0.又f(x)在［0,+°°］上是

增函數(shù)，所以f(x)在(-8,0)上是減函數(shù).所以f(Iog4x)>O3log4x>0°￡Iog4x<—0.

解得x>2或OVxV團(tuán).

答案:x>2或OVxV電

三、解答題

9.求函數(shù)y=l3(x2—5x+4)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.

解：由團(tuán)(x)=x2—5x+4>0,解得x>4或xVl,所以x￡(.-°°,1)U(4,4-°°),當(dāng)

xe(—8,1)U(4,+8),{團(tuán)|0=x2—5x+4}=R+,所以函數(shù)的值域是R+.因?yàn)楹?/p>

數(shù)y=0(x2-5x+4)是由y=03(x)與⑦(x)=x2-5x+4復(fù)合而成，函數(shù)y=00(x)在

其定義域上是單調(diào)遞減的，函數(shù)團(tuán)(x)=x2—5x+4在(-8,田)上為減函數(shù)，在［0,+8］

上為增函數(shù).考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,y=E(x2—5x+4)的增區(qū)間是定義域

內(nèi)使丫=盟(x)為減函數(shù)、0(x)=x2—5x+4也為減函數(shù)的區(qū)間，即(—00,1)；y=0(x2

-5x+4)的減區(qū)間是定義域內(nèi)使丫=跪(x)為減函數(shù)、0(x)=x2—5x+4為增函數(shù)的區(qū)

間，即(4,+8).

10.設(shè)函數(shù)f(x)=0+0,

(1)求函數(shù)/(X)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并給出證明：

(3)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)f—1(x)，問函數(shù)丫=￡-1(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎?

若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若無交點(diǎn)，說明理由.

解：(1)由3x+5#。且(3>0,解得x#-(3且一團(tuán)VxVEl.取交集得一13VxV(3.

(2)令13(x)=0,隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)；

目=一1+回隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù).

又y=lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合單調(diào)性可知,y=團(tuán)是減函數(shù)，所以f(x)=回十回

8

是減函數(shù).

（3）因?yàn)橹苯忧骹（x）的反函數(shù)非常復(fù)雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間

定義域與值域的關(guān)系求解.

設(shè)函數(shù)f（x）的反函數(shù)f—1（x）與工軸的交點(diǎn)為（xO,O）.根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義

域與值域的關(guān)系可知,f（x）與y軸的交點(diǎn)是（O,xO）,將（O,xO）代入f（x）,解得xO=O.所

以函數(shù)y=f—1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)為（團(tuán),0）。

一.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

.問底的指數(shù)函數(shù)13與對數(shù)圖數(shù)0互為反困數(shù)；

（二）主要方法：

1.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義域；

2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1,要注意對底數(shù)的討論；

3.比較兒個(gè)數(shù)的大小的常用方法有：①以團(tuán)和團(tuán)為橋梁；②利用函數(shù)的單調(diào)性；③作差.

（三）例題分析：

例1.（1）若團(tuán)則13,（3,團(tuán)從小到大依次為；

（2）若同，且胤胤團(tuán)都是正數(shù)，則胤團(tuán)13從小到大依次為；

（3）設(shè)回，且回（回比，則回與團(tuán)的大小關(guān)系是（）

（A）b<a<\