2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試：統(tǒng)計推斷與檢驗經(jīng)典案例分析

2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試：統(tǒng)計推斷與檢驗經(jīng)典案例分析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單選題（每題2分，共20分）1.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果樣本量n增加，以下哪種情況不會發(fā)生？A.增加犯第一類錯誤的概率B.減少犯第二類錯誤的概率C.增加臨界值D.減少標(biāo)準(zhǔn)誤差2.在以下哪種情況下，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致？A.樣本量n=30B.樣本量n=100C.樣本量n=∞D(zhuǎn).樣本量n=103.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，以下哪種情況會導(dǎo)致犯第一類錯誤？A.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0B.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0C.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但接受了H0D.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但接受了H04.在以下哪種情況下，z分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致？A.樣本量n=30B.樣本量n=100C.樣本量n=∞D(zhuǎn).樣本量n=105.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，以下哪種情況會導(dǎo)致犯第二類錯誤？A.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0B.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0C.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但接受了H0D.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但接受了H06.在以下哪種情況下，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致？A.樣本量n=30B.樣本量n=100C.樣本量n=∞D(zhuǎn).樣本量n=107.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，以下哪種情況會導(dǎo)致犯第一類錯誤？A.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0B.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0C.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但接受了H0D.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但接受了H08.在以下哪種情況下，z分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致？A.樣本量n=30B.樣本量n=100C.樣本量n=∞D(zhuǎn).樣本量n=109.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，以下哪種情況會導(dǎo)致犯第二類錯誤？A.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0B.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0C.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但接受了H0D.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但接受了H010.在以下哪種情況下，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致？A.樣本量n=30B.樣本量n=100C.樣本量n=∞D(zhuǎn).樣本量n=10二、判斷題（每題2分，共20分）1.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，犯第一類錯誤的概率與犯第二類錯誤的概率之和等于1。（）2.當(dāng)樣本量n增加時，t分布的形狀會變得更加接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（）3.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果樣本量n增加，犯第一類錯誤的概率會減小。（）4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果樣本量n增加，犯第二類錯誤的概率會減小。（）5.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，則應(yīng)使用z檢驗。（）6.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，則應(yīng)使用t檢驗。（）7.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果樣本量n足夠大，則可以使用z檢驗。（）8.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果樣本量n較小，則可以使用t檢驗。（）9.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果總體均值μ已知，則可以使用z檢驗。（）10.在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果總體均值μ未知，則可以使用t檢驗。（）四、計算題（每題10分，共30分）1.已知某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品，其重量服從正態(tài)分布，樣本量為100，樣本均值為50克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2克。假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，使用t檢驗來檢驗這批產(chǎn)品的平均重量是否為50克。（1）計算t統(tǒng)計量；（2）計算p值；（3）假設(shè)顯著性水平為0.05，判斷是否拒絕原假設(shè)。2.某工廠生產(chǎn)的一批零件，其長度服從正態(tài)分布。從這批零件中隨機抽取了16個，測得平均長度為12厘米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.5厘米。假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差為2厘米，使用z檢驗來檢驗這批零件的平均長度是否為12厘米。（1）計算z統(tǒng)計量；（2）計算p值；（3）假設(shè)顯著性水平為0.05，判斷是否拒絕原假設(shè)。3.某公司生產(chǎn)的一種飲料，其每瓶容量服從正態(tài)分布。從該公司的產(chǎn)品中隨機抽取了25瓶，測得平均容量為500毫升，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為20毫升。假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差為30毫升，使用t檢驗來檢驗這批飲料的平均容量是否為500毫升。（1）計算t統(tǒng)計量；（2）計算p值；（3）假設(shè)顯著性水平為0.05，判斷是否拒絕原假設(shè)。五、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述假設(shè)檢驗的基本步驟。2.解釋顯著性水平α在假設(shè)檢驗中的作用。3.說明t檢驗和z檢驗的區(qū)別。六、案例分析題（20分）某公司生產(chǎn)的一種新型電池，其壽命服從正態(tài)分布。為了評估這種電池的壽命，公司從一批電池中隨機抽取了30個進(jìn)行測試，測得平均壽命為300小時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為50小時。假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差為80小時，使用t檢驗來檢驗這種電池的平均壽命是否為300小時。（1）列出假設(shè)檢驗的步驟；（2）計算t統(tǒng)計量；（3）計算p值；（4）假設(shè)顯著性水平為0.05，判斷是否拒絕原假設(shè)，并給出結(jié)論。本次試卷答案如下：一、單選題（每題2分，共20分）1.A.增加犯第一類錯誤的概率解析：當(dāng)樣本量n增加時，標(biāo)準(zhǔn)誤差會減小，從而增加犯第一類錯誤的概率。2.C.樣本量n=∞解析：當(dāng)樣本量趨于無窮大時，t分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。3.B.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0解析：當(dāng)總體均值等于假設(shè)值時，拒絕原假設(shè)，即犯第一類錯誤。4.C.樣本量n=∞解析：當(dāng)樣本量趨于無窮大時，z分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。5.A.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0解析：當(dāng)總體均值不等于假設(shè)值時，拒絕原假設(shè)，即犯第一類錯誤。6.C.樣本量n=∞解析：當(dāng)樣本量趨于無窮大時，t分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。7.B.實際上總體均值μ等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0解析：當(dāng)總體均值等于假設(shè)值時，拒絕原假設(shè)，即犯第一類錯誤。8.C.樣本量n=∞解析：當(dāng)樣本量趨于無窮大時，z分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。9.A.實際上總體均值μ不等于假設(shè)的μ0，但拒絕了H0解析：當(dāng)總體均值不等于假設(shè)值時，拒絕原假設(shè)，即犯第一類錯誤。10.C.樣本量n=∞解析：當(dāng)樣本量趨于無窮大時，t分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。二、判斷題（每題2分，共20分）1.×解析：犯第一類錯誤的概率與犯第二類錯誤的概率之和不一定等于1，取決于具體檢驗。2.√解析：當(dāng)樣本量n增加時，t分布的形狀會變得更加接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。3.√解析：當(dāng)樣本量n增加時，標(biāo)準(zhǔn)誤差會減小，從而增加犯第一類錯誤的概率。4.×解析：當(dāng)樣本量n增加時，犯第二類錯誤的概率會減小，但并非總是。5.×解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，則應(yīng)使用t檢驗。6.√解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，則應(yīng)使用t檢驗。7.√解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果樣本量n足夠大，則可以使用z檢驗。8.√解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果樣本量n較小，則可以使用t檢驗。9.×解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果總體均值μ已知，則可以使用z檢驗。10.√解析：在進(jìn)行假設(shè)檢驗時，如果總體均值μ未知，則可以使用t檢驗。四、計算題（每題10分，共30分）1.（1）t統(tǒng)計量=(樣本均值-假設(shè)均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)解析：t統(tǒng)計量用于衡量樣本均值與假設(shè)均值之間的差異。（2）p值=2*(1-t分布的累積分布函數(shù)值)解析：p值表示在原假設(shè)為真的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。（3）根據(jù)顯著性水平0.05，查t分布表得到臨界值，比較t統(tǒng)計量與臨界值，判斷是否拒絕原假設(shè)。2.（1）z統(tǒng)計量=(樣本均值-假設(shè)均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)解析：z統(tǒng)計量用于衡量樣本均值與假設(shè)均值之間的差異。（2）p值=2*(1-正態(tài)分布的累積分布函數(shù)值)解析：p值表示在原假設(shè)為真的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。（3）根據(jù)顯著性水平0.05，查正態(tài)分布表得到臨界值，比較z統(tǒng)計量與臨界值，判斷是否拒絕原假設(shè)。3.（1）t統(tǒng)計量=(樣本均值-假設(shè)均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本量)解析：t統(tǒng)計量用于衡量樣本均值與假設(shè)均值之間的差異。（2）p值=2*(1-t分布的累積分布函數(shù)值)解析：p值表示在原假設(shè)為真的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。（3）根據(jù)顯著性水平0.05，查t分布表得到臨界值，比較t統(tǒng)計量與臨界值，判斷是否拒絕原假設(shè)。五、簡答題（每題10分，共30分）1.假設(shè)檢驗的基本步驟：（1）提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；（2）選擇合適的檢驗方法；（3）計算檢驗統(tǒng)計量；（4）確定顯著性水平；（5）比較檢驗統(tǒng)計量與臨界值，判斷是否拒絕原假設(shè)；（6）給出結(jié)論。2.顯著性水平α在假設(shè)檢驗中的作用：顯著性水平α表示在原假設(shè)為真的情況下，犯第一類錯誤的概率。它用于確定拒絕原假設(shè)的臨界值，從而控制犯第一類錯誤的概率。3.t檢驗和z檢驗的區(qū)別：t檢驗適用于樣本量較小且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況，而z檢驗適用于樣本量較大且總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的情況。t檢驗使用t分布，而z檢驗使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。六、案例分析題（20分）（1）假設(shè)檢驗步驟：（1）提出原假設(shè)H0：μ=300（電池平均壽命為300小時）（2）提出備擇假設(shè)H1：μ≠300（電池平均壽命不等于300小時）（3）選擇合適的檢驗方法：t檢驗（4）計算t統(tǒng)計量（5）確定顯著性水平：0.05（6）比較t統(tǒng)計量與臨界值，判斷是否拒絕原假設(shè)（7）給出結(jié)論（2）t統(tǒng)計量=(樣本均值-假設(shè)均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差