專題18《長方體和正方體的表面積》解析

20222023學年五年級奧數(shù)舉一反三典型題檢測專題18長方體和正方體的表面積試卷滿分：100分考試時間：100分鐘一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）（2022?市南區(qū)模擬）一個正方體體積是8立方厘米，把它平均分成4個長方體。表面積最多增加（）平方厘米。A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2【思路引導】分兩種情況進行分析：（1）如圖（1），一個正方體，把它平均分成4個長方體，和橫截面平行切，切（4﹣1）次，增加（4﹣1）×2＝6（個）面，即增加了的六個正方體的面；（2）如圖（2），可以在正方體上豎著切一刀，橫著切一刀，每一刀增加兩個正方體的面，所以兩刀是增加了4個正方體的面。【完整解答】解：如圖可知：按圖（1）情況切，表面積增加的多，一個正方體體積是8cm3，棱長即2cm，表面積最多可能增加：（2×2）×6＝24（平方厘米）故選：C?！究疾熳⒁恻c】解答此題應結(jié)合題意，分兩種情況，進行分析，判斷出哪種切法，增加的表面積最大，進而算出即可。2．（2分）（2022春?科左中旗校級期中）商場有一個長方體的柜臺，長10米，寬0.6米，高0.9米。這個柜臺的占地面積是（）平方米。A．5.4 B．6 C．9【思路引導】根據(jù)題意可知，這個柜臺的占地面積就等于它的底面積，根據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?0×0.6＝6（平方米）答：這個柜臺的占地面積是6平方米。故選：B。【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征及應用，長方形面積公式及應用，關(guān)鍵是熟記公式。3．（2分）（2022春?平邑縣校級期中）把一個長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm的長方體等分成2個相同的長方體，增加的表面積最大是（）平方厘米。A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2【思路引導】根據(jù)題意可知，把一個大長方體切成兩個小長方體，要使表面積增加的最多，也就是與原來大長方體的最大面平行切開，表面積增加兩個切面的面積，根據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?×4×2＝20×2＝40（平平方厘米）答：增加的表面積最大是40平方厘米。故選：C。【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握長方體表面積的意義及應用，關(guān)鍵是明確：把一個大長方體切成兩個小長方體，要使表面積增加的最多，也就是與原來大長方體的最大面平行切開。4．（2分）（2022春?紅寺堡區(qū)期中）一塊長方體的面包長20cm，寬15cm，高8cm，把這塊面包切成兩塊長方體形狀的面包，表面積最少增加了（）cm2。A．120 B．240 C．360 D．600【思路引導】根據(jù)題意可知，把一個大長方體切成兩個小長方體，要使表面積增加的最少，也就是與原來大長方體的最小面平行切開，表面積增加兩個切面的面積，根據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?5×8×2＝120×2＝240（平方厘米）答：表面積最少增加240平方厘米。故選：B。【考察注意點】此題考查的目的是理解掌握長方體表面積的意義及應用，長方形的面積公式及應用，關(guān)鍵是明確：把一個大長方體切成兩個小長方體，要使表面積增加的最少，也就是與原來大長方體的最小面平行切開。5．（2分）（2021春?綿竹市期末）從大正方體上挖去一個小正方體后體積變小，表面積（）A．變大 B．變小 C．無法確定【思路引導】根據(jù)題意，如果從大正方體的頂點上挖去一個小正方體，體積變小，表面積不變；如果從大正方體的面的中間挖去一個小正方體的后，體積不變，表面積變大，如果從大正方體的棱上挖去一個小正方體后，體積變小，表面積變大。據(jù)此解答即可?！就暾獯稹拷猓喝绻麖拇笳襟w的頂點上挖去一個小正方體，體積變小，表面積不變；如果從大正方體的面的中間挖去一個小正方體的后，體積不變，表面積變大，如果從大正方體的棱上挖去一個小正方體后，體積變小，表面積變大。所以從大正方體的任何地方挖去一個小正方體后，體積都不變，表面積無法確定。故選：C?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握正方體的體積、表面積的意義及應用。二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）（2022?青島模擬）某小區(qū)在平地上挖一個圓柱形水池，水池深2米，底面直徑6米，這個水池占地面積28.26平方米，在它的底面和四周涂上水泥，涂水泥的面積是65.94平方米?！舅悸芬龑А坑深}意知，水池占地面積就是圓柱的底面積，涂水泥的面積是內(nèi)側(cè)面和底面，要求涂水泥的面積，可用側(cè)面積加上底面積，根據(jù)圓柱表面積公式列式解答即可?！就暾獯稹拷猓?÷2＝3（米）32×3.14＝28.26（平方米）6×3.14×2＝37.68（平方米）37.68+28.26＝65.94（平方米）所以水池占地面積28.26平方米，涂水泥的面積是65.94平方米。故答案為：28.26，65.94?！究疾熳⒁恻c】此題是考查圓柱形水池內(nèi)表面積的計算，要注意是內(nèi)側(cè)面積加一個底面的面積。7．（2分）（2021秋?亭湖區(qū)校級期末）如圖是用若干個棱長1厘米的正方體木塊擺成的幾何體，它的體積是14立方厘米，表面積是42平方厘米?！舅悸芬龑А客ㄟ^觀察圖形可知，這個組合圖形是由14個小正方體搭成的，所以它的體積等于棱長是1厘米的正方體體積的14倍，這個組合圖形的上下面都是小正方體的9個面，前后面多少小正方體的6個面，左右面多少小正方體的6個面，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，正方形的面積公式：S＝a2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?×1×1×14＝14（立方厘米）1×1×（9×2+6×4）＝1×（18+24）＝1×42＝42（平方厘米）答：它的體積是14立方厘米，表面積是42平方厘米。故答案為：14，42?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查正方體的體積公式、正方形的面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是觀察組合圖形是由多少個小正方體搭成的，組合圖形的各面有多少個小正方體的面。8．（2分）（2021春?安岳縣期末）一個長方體的棱長和為48厘米，其中長是寬的2倍，高與寬相等，這個長方體的表面積是90平方厘米?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)長方體的棱長總和＝（長+寬+高）×4，用路程總和除以4求出長、寬、高的和，已知長是寬的2倍，高與寬相等，用長、寬、高的和除以就是長，長除以2就是寬（高），再根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?8÷4＝12（厘米）12÷2＝6（厘米）6÷2＝3（厘米）（6×3+6×3+3×3）×2＝（18+18+9）×2＝45×2＝90（平方厘米）答：這個長方體的表面積是90平方厘米。故答案為：90平方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查長方體的棱長總和公式、表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式，重點是求出長方體的長、寬、高。9．（2分）（2021春?安岳縣期末）一個正方體與一個長方體拼成了一個新的長方體，這個新長方體的表面積比原來長方體表面積增加了64平方厘米，這個正方體的表面積是96平方厘米，體積是64立方厘米?！舅悸芬龑А恳粋€正方體與一個長方體拼成了一個新的長方體，由此可知，這個長方體有兩個相對的面是正方形，正方形的面積一定等于正方體的一個面的面積，這個新長方體的表面積比原來長方體表面積增加了64平方厘米，表面積增加的是正方體的4個面的面積，據(jù)此可以求出正方體的一個面的面積，進而求出正方體的棱長，然后根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?4÷4＝16（平方厘米）因為4×4＝16，所以正方體的棱長是4厘米，4×4×6＝16×6＝96（平方厘米）4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）答：這個正方體的表面積是96平方厘米，體積是64立方厘米。故答案為：96平方厘米，64立方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查長方體的表面積公式、正方體的表面積公式、正方體的體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式，重點是明確：這個新長方體的表面積比原來長方體表面積增加了64平方厘米，相當于正方體的4個面的面積。10．（2分）（2021秋?萬柏林區(qū)期中）一個長方體的棱長總和是48分米，從一個頂點出發(fā)的三條棱長的和是12分米，如果這三條棱的長度恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，這個長方體的表面積是94平方分米。【思路引導】根據(jù)長方體的棱長總和＝（長+寬+高）×4，那么長、寬、高的和＝棱長總和÷4，再根據(jù)自然數(shù)的排列規(guī)律，相鄰的兩個自然數(shù)相差1，據(jù)此可以求出這個長方體的長、寬、高，然后根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?8÷4＝12（分米）12÷3＝4（分米）4﹣1＝3（分米）4+1＝5（分米）（5×4+5×3+4×3）×2＝（20+15+12）×2＝47×2＝94（平方分米）答：從一個頂點出發(fā)的三條棱長的和是12分米，這個長方體的表面積是94平方分米。故答案為：12，94?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查長方體的棱長總和公式、表面積公式的靈活運用，自然數(shù)的排列規(guī)律及應用，關(guān)鍵是求出長方體的長、寬、高。11．（2分）（2018春?建甌市月考）將棱長為1分米的6個小正方體按如圖方式擺放在地上．露在外面的面有19個，露在外面的面積是1900平方厘米．【思路引導】從前、后面看露在外面的共有12個邊長1分米的正方形的面；從上面看露在外面的有3個正方形的面，從側(cè)面看露在外面的共有4個正方形的面；此立體圖形露在外面的面的總個數(shù)為：12+3+4＝19個，先根據(jù)正方形面積公式S＝a2求出一個正方形面的面積，進而求得19個正方形面的總面積．【完整解答】解：露在外面的面的個數(shù)：12+3+4＝19（個）一個正方形面的面積：1×1＝1（平方分米）露在外面的面積：1×19＝19（平方分米）19平方分米＝1900平方厘米答：露在外面的面有19個，露在外面的面積是1900平方厘米．故答案為：19，1900．【考察注意點】此題考查規(guī)則立體圖形的表面積，解決此題關(guān)鍵是先求出露在外面的正方形面的個數(shù)，再求得一個正方形面的面積，進而求得總面積．12．（2分）（2018秋?揚州期中）一個底面是正方形的長方體，底面邊長6分米，側(cè)面展開是正方形．這個長方體的表面積是648平方分米，體積是864立方分米．【思路引導】已知長方體的底面邊長是6分米的正方形，則底面周長是6×4＝24分米，長方體的側(cè)面展開是一個正方形，也就是長方體的高等于底面周長即24分米．根據(jù)正方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，體積公式：V＝abh，解答即可．【完整解答】解：長方體的長和寬為6分米，高：6×4＝24（分米）表面積：（6×6+6×24+6×24）×2＝（36+144+144）×2＝324×2＝648（平方分米）體積：6×6×24＝36×24＝864（立方分米）答：這個長方體的表面積是648平方分米，體積是864立方分米．故答案為：648；864．【考察注意點】此題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用．13．（2分）一個長方體分割成兩個相同的小長方體，然后拼成一個正方體，這個正方體的表面積是72平方厘米，原長方體的表面積是84平方厘米．【思路引導】把兩個同樣大小的長方體拼成一個正方體后，正方體的表面積比原來長方體的表面積之和少了2個正方體的面的面積，由此利用正方體的表面積公式即可解答．【完整解答】解：72÷6＝12（平方厘米）72+12×2﹣12＝72+24﹣12＝84（平方厘米）答：原長方體的表面積是84平方厘米．故答案為：84平方厘米．【考察注意點】抓住兩個完全一樣的長方體拼成正方體的特點，得出表面積比原來減少2個正方體的面的面積，即可解答．三．判斷題（共5小題，滿分10分，每小題2分）14．（2分）（2022春?靈寶市期中）把一個長方體切成兩個小長方體，它的表面積不變?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】根據(jù)題意可知，把這個長方體切成兩個小長方體后，表面積增加兩個切面的面積。據(jù)此判斷?！就暾獯稹拷猓喊岩粋€長方體切成兩個小長方體，它的表面積增加兩個切面的面積。因此題干中的結(jié)論是錯誤的。故答案為：×?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握長方體表面積的意義及應用。15．（2分）（2021春?靈武市期末）如果兩個正方體的表面積相等，那么這兩個正方體的體積也一定相等。√（判斷對錯）【思路引導】因為正方體的表面積、體積的大小是由正方體的棱長決定的，如果兩個正方體的表面積相等，也就是兩個正方體的棱長相等，那么這兩個正方體的體積也一定相等。據(jù)此解答即可?！就暾獯稹拷猓喝绻麅蓚€正方體的表面積相等，也就是兩個正方體的棱長相等，那么這兩個正方體的體積也一定相等。因此，題干中的結(jié)論是正確的。故答案為：√?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握正方體的表面積、體積的意義及應用。16．（2分）（2022春?平邑縣校級期中）把一個長方體切開，分成兩個相同的長方體，這兩個長方體表面積之和與原來長方體的表面積相等?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】根據(jù)長方體表面積的意義可知，把一個長方體分成兩個相同的小長方體，這兩個小長方體的表面積和比原來長方體的表面積增加了兩個切面的面積。據(jù)此判斷?！就暾獯稹拷猓喊岩粋€長方體分成兩個相同的小長方體，這兩個小長方體的表面積和比原來長方體的表面積增加了兩個切面的面積。因此，題干中的結(jié)論是錯誤的。故答案為：×?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握長方體表面積的意義及應用。17．（2分）（2022春?渭城區(qū)校級期中）一個正方體的底面周長是20厘米，它的表面積是150平方厘米。√（判斷對錯）【思路引導】根據(jù)正方體的特征，正方體的6個面是完全相同的正方形，根據(jù)正方形的周長公式：C＝4a，那么a＝C÷4，據(jù)此求出正方體的棱長，再根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，把數(shù)據(jù)代入公式求出這個正方體的表面積與150平方厘米進行比較。據(jù)此判斷。【完整解答】解：20÷4＝5（厘米）5×5×6＝25×6＝150（平方厘米）答：這個正方體的表面積是150平方厘米。因此，題干中的結(jié)論是正確的。故答案為：√。【考察注意點】此題主要考查正方形的周長公式、正方體的表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。18．（2分）（2019春?長春月考）正方體的棱長是1厘米，它的表面積就是6厘米．×．（判斷對錯）【思路引導】根據(jù)正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的棱長已知，代入公式求出正方體的表面積即可判斷．【完整解答】解：1×1×6＝6（平方厘米），所以正方體的棱長是1厘米，它的表面積就是6平方厘米．所以“表面積是6厘米”弄錯了面積單位，這個說法是錯誤的．故答案為：×．【考察注意點】本題中的數(shù)值是正確的，但面積單位錯誤，解答時很容易誤判，因此解題時一定要認真．四．計算題（共1小題，滿分5分，每小題5分）19．（5分）（2021秋?萬柏林區(qū)期中）根據(jù)下面長方體的展開圖，計算表面積和體積。【思路引導】通過觀察長方體的展開圖可知，這個長方體的長是16厘米，寬是5厘米，高是（42﹣16×2）÷2＝5（厘米），根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓洪L方體的高：（42﹣16×2）÷2＝（42﹣32）÷2＝10÷2＝5（厘米）表面積：（16×5+16×5+5×5）×2＝（80+80+25）×2＝185×2＝370（平方厘米）體積：16×5×5＝80×5＝400（立方厘米）答：這個長方體的表面積是370平方厘米，體積是400立方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題考查的目的是理解掌握長方體展開圖的特征，以及長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是求出長方體的高。五．應用題（共5小題，滿分25分，每小題5分）20．（5分）（2022春?方城縣期中）一個長方體的底面是一個周長為30cm的長方形，高為10cm。如果長和寬的厘米數(shù)都是合數(shù)，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米？【思路引導】根據(jù)長方形的周長＝（長+寬）×2，那么長+寬＝周長÷2，據(jù)此求出長與寬的和，已知長和寬的厘米數(shù)都是合數(shù)，由此可以求出長和寬，然后根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?0÷2＝15（厘米）15＝9+6，所以長是9厘米，寬是6厘米，（9×6+9×10+6×10）×2＝（54+90+60）×2＝204×2＝408（平方厘米）答：這個長方體的表面積是408平方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查長方形的周長公式、長方體的表面積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式，重點是求出長方體的長和寬。21．（5分）（2020?呂梁）學校要粉刷長8m，寬6m，高4m的會議室的四周和頂棚，除去門窗的面積20m2，每平方米需要涂料0.5升，每升涂料20元，粉刷辦公室一共需要多少錢？【思路引導】先求需要粉刷的面積，就是用會議室頂棚的面積加上四面墻壁的面積減去門窗的面積，長、寬、高已知，利用長方體的表面積公式，即可求出需要粉刷的面積；再用需要粉刷的面積乘每平方米需要的涂料量，再乘以每升涂料需要的錢數(shù)，列式解答即可．【完整解答】解：[8×6+（8×4+6×4）×2﹣20]×0.5×20＝[48+（32+24）×2﹣20]×10＝[48+56×2﹣20]×10＝140×10＝1400（元）答：粉刷辦公室一共需要1400元錢．【考察注意點】此題主要考查長方體的表面積的計算方法在實際生活中的應用，關(guān)鍵是明白：需要粉刷的面積由哪幾部分組成．22．（5分）（2016春?梁子湖區(qū)期末）一個社區(qū)要挖一個長22m、寬10m、深2.5m的蓄水池．蓄水池挖好后，要在底部和四周抹一層水泥，抹水泥的面積有多大？【思路引導】要在蓄水池的四周和底面抹水泥，是在這個長方體的5個面上涂上水泥，缺少上面，根據(jù)長方體的表面積的求法，求出這5個面的總面積即可．【完整解答】解：22×10+22×2.5×2+10×2.5×2＝220+110+50＝380（平方米）答：抹水泥的面積有380平方米．【考察注意點】這是一道長方體表面積的實際應用，在計算時要分清需要計算幾個長方形面的面積，缺少的是哪一個面的面積，從而列式解答即可．23．（5分）有一個棱長1米的正方體，沿長、寬、高分別切3刀、4刀、5刀后成為120個小長方體，這120個小長方體的表面積總和是多少？【思路引導】棱長為1m的正方體的表面積是6平方米，每切一刀，總面積增加1×1×2＝2平方米，因為分成120個小長方體，共切3+4+5＝12刀，進而求出增加的面積，然后加上原來正方體的表面積即可．【完整解答】解：棱長為1米的正方體的表面積是6平方米，每切一刀，總面積增加2平方米，則表面積總和：6+（3+4+5）×2＝6+12×2＝6+24＝30（平方米）答：這120個小長方體的表面積總和是30平方米．【考察注意點】明確每切一刀，總面積增加1×1×2＝2平方米，是解答此題的關(guān)鍵．24．（5分）（2021春?章貢區(qū)期末）一個無蓋的長方體鐵皮水箱，長5分米，寬4分米，高6分米．做一個這樣的水箱至少要鐵皮多少平方分米？（接口處不計）【思路引導】首先搞清這道題是求長方體的表面積，其次這個長方體的表面由五個面組成，缺少上面，計算這五個面的面積和即可．【完整解答】解：5×4+4×6×2+5×6×2＝20+48+60＝128（平方分米）；答：做一個這樣的水箱至少要鐵皮128平方分米．【考察注意點】這是一道長方體表面積的實際應用，在計算時要分清需要計算幾個長方形面的面積，缺少的是哪一個面的面積，從而列式解答即可．六．解答題（共6小題，滿分34分）25．（5分）（2022春?方城縣期中）一個棱長為9cm的正方體，在它的一個角挖掉一個棱長為4cm的小正方體（如圖），計算出它的表面積和體積?！舅悸芬龑А客ㄟ^觀察圖形可知，大正方體的頂點上的小正方體原來外露3個，挖掉這個小正方體后，又外露與原來相同的3個面，所以剩下的圖形的表面積等于原來大正方體的表面積，剩下圖形的體積等于大小正方體的體積差，根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答?！就暾獯稹拷猓?×9×6＝81×6＝486（平方厘米）9×9×9﹣4×4×4＝729﹣64＝665（立方厘米）答：它的表面積是486平方厘米，體積是665立方厘米。【考察注意點】此題主要考查正方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。26．（5分）（2021春?萍鄉(xiāng)期末）計算下面幾何體（搭積木）的表面積和體積（單位：cm）【思路引導】通過觀察圖形可知，由于正方體與長方體粘合在一起，所以求這個組合圖形的表面積時，上面的正方體只求4個側(cè)面的面積，下面的長方體求表面積，然后合并起來；這個組合圖形的體積等于正方體與長方體的體積和，根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，長方體的表面積公式：S＝（ab+ah+bh）×2，正方體的體積公式：V＝a3，長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【完整解答】解：4×4×4+（8×5+8×6+5×6）×2＝16×4+（40+48+30）×2＝64+118×2＝64+236＝300（平方厘米）4×4×4+8×5×6＝64+240＝304（立方厘米）答：它的表面積是300平方厘米，體積是304立方厘米?！究疾熳⒁恻c】此題主要考查正方體、長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。27．（6分）（2021春?海滄區(qū)校級期中）把兩塊棱長5厘米的正方體的拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？（你能用幾種方法解答）【思路引導】把兩塊棱長5厘米的正方體的拼成一個長方體，這個長方體的表面積比兩個正方體的表面積和減少了正方體的兩個面的面積，因此，根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，求出兩個正方體的表面積和減去正方體的兩個面的面積；把兩塊棱長5厘米的正方體的拼成一個長方體，這個長方體的長等于正方體棱長的2倍，寬和高都