第13講幾何計數(shù)（教師版）

第13講幾何計數(shù)第13講幾何計數(shù)知識點(diǎn)知識點(diǎn)幾何計數(shù)（五上）課堂例題課堂例題基本數(shù)圖形1、（1）下列圖形中有_________條線段．（2）下列圖形中各有____________個三角形．【答案】

（1）36（2）15，30【解析】

（1）線段需要兩個端點(diǎn)確定，所以從9個點(diǎn)中選出兩個點(diǎn)，共有條線段．（2）左圖數(shù)三角形的個數(shù)，可以按含小三角形的個數(shù)分類．含1個小三角形的有5個，含2個小三角形的有4個，含3個小三角形的有3個，含4個小三角形的有2個，含5個小三角形的有1個．所以共計有個三角形．右圖三角形，跟左圖比較，多了中間線構(gòu)成的三角形，個數(shù)正好與原來左圖三角形個數(shù)相同15個．所以圖中三角形的個數(shù)共有30個．2、下列圖形中各有多少個三角形？【答案】

16，15【解析】

注意有序枚舉．（1）左圖由一部分組成的三角形有6個，由兩部分組成的三角形有3個，由三部分組成的三角形有6個，由六部分組成的三角形有1個，共計16個．（2）右圖中由一部分組成的三角形有4個，由兩部分組成的三角形有6個，由三部分組成的三角形有2個，由四部分組成的三角形有2個，由六部分組成的三角形有1個，共計15個．3、右圖中共有_________個三角形．【答案】

78【解析】

恰當(dāng)分類，有序枚舉．圖中的三角形可以分為兩類，一類是尖朝上的，一類是尖朝下的．設(shè)最小的三角形邊長為1．（1）尖朝上的：邊長為1的三角形有個；邊長為2的三角形有個；邊長為3的三角形有個；邊長為4的三角形有個；邊長為5的三角形有個；邊長為6的三角形有1個．所以尖朝上的三角形共有56個．（2）尖朝下的：邊長為1的三角形有個；邊長為2的三角形有個；邊長為3的三角形有1個．所以尖朝下的三角形共有22個．所以圖中一共有78個三角形．4、如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，沿網(wǎng)格線能數(shù)出多少個正方形？【答案】

91【解析】

根據(jù)邊長為1、2、3、4、5、6分成六類，共個正方形．5、右圖中含有_________個平行四邊形．【答案】

87【解析】

所有平行四邊形一共有三種不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如圖：這就提示我們可以按這個特點(diǎn)來分類，因?yàn)楦鶕?jù)圖形的對稱性，朝左與朝右的平行四邊形的個數(shù)是一樣多的．只需數(shù)出朝左或朝右其中的一種和朝上的，就能算出最后的答案了．下面我們來數(shù)尖朝上的平行四邊形．所有這種平行四邊形的邊都是斜的，沒有橫線，所以要數(shù)它們的個數(shù)，可以把圖中的所有橫線都去掉，變成如下圖形：這樣一來圖形就簡單了，這個圖里的平行四邊形很容易數(shù)出來：最小的平行四邊形有10個，兩個小平行四邊形拼成的有12個，三個小平行四邊形拼成的有4個，四個小平行四邊形拼成的有3個，共29個．再來數(shù)尖朝右的的平行四邊形．最小的平行四邊形有10個，兩個小平行四邊形拼成的有12個，三個小平行四邊形拼成的有4個，四個小平行四邊形拼成的有3個，共29個．因此原來圖形中一共有個平行四邊形．6、右圖中有_________個平行四邊形．【答案】

105【解析】

所有平行四邊形一共有三種不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如圖：這就提示我們可以按這個特點(diǎn)來分類，因?yàn)楦鶕?jù)圖形的對稱性，這三種平行四邊形的個數(shù)是一樣多的．只需數(shù)出其中的一種，就能算出最后的答案了．下面我們來數(shù)尖朝上的平行四邊形．所有這種平行四邊形的邊都是斜的，沒有橫線，所以要數(shù)它們的個數(shù)，可以把圖中的所有橫線都去掉，變成如下圖形：這樣一來圖形就簡單了，這個圖里的平行四邊形很容易數(shù)出來：最小的平行四邊形有10個，兩個小平行四邊形拼成的有12個，三個小平行四邊形拼成的有6個，四個小平行四邊形拼成的有5個，六個小平行四邊形拼成的有2個，共35個．而對于另外兩種平行四邊形，也可根據(jù)同樣的方法數(shù)出，都是35個．因此原來圖形中一共有個平行四邊形．復(fù)雜計數(shù)與容斥7、在右圖中（下列各小題中，長方形均包含正方形）（1）一共有_________個長方形．（2）包含“★”的長方形共有_________個．（3）包含“☆”的長方形共有_________個．（4）兩個五角星都包含的長方形共有_________個．（5）至少包含一個五角星的長方形共有_________個．（6）兩個五角星都不包含的長方形共有_________個．★★☆【答案】

（1）756（2）216（3）240（4）108（5）348（6）408【解析】

（1）7條橫線選2條作為長，9條豎線選2條作為寬，有個長方形．（2）包含“★”的長方形上下左右分別有3、4、3、6種選法，這樣的長方形有個．（3）包含“☆”的長方形上下左右分別有4、3、5、4種選法，這樣的長方形有個．（4）兩個五角星都含有的長方形上下左右分別有3、3、3、4種選法，這樣的長方形有個．（5）根據(jù)容斥原理，至少包含一個五角星的長方形有個．（6）用排除法，兩個五角星都不包含的長方形有個．8、如圖，數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個長方形？【答案】

135【解析】

如圖，下方陰影部分中一共有長方形個；右方陰影部分中一共有長方形個．其中右下方長方形中的長方形被重復(fù)計算了，共有個．所以圖中一共包含長方形個．9、右圖中有__________個含有★的長方形．★★【答案】

108【解析】

如圖所示，我們把這個圖分解為三個基礎(chǔ)圖形，則根據(jù)容斥原理，原圖中含有★的長方形的個數(shù)等于圖1中含有★的長方形個數(shù)與圖2中含有★的長方形個數(shù)和減去圖3中含有★的長方形個數(shù)．圖1中含有★的長方形個，圖2中含有★的長方形個，圖3中含有★的長方形個．所以原圖中含有長方形個．★★★★★★圖1圖2圖310、（2012年十一學(xué)校復(fù)試）數(shù)一數(shù)圖中共有三角形多少個？【答案】

44【解析】

圖中最小角為，因此只有等腰直角三角形．由1、2、4、8塊組成的等腰直角三角形分別有16、16、8、4個，共44個．11、（2014年金帆六秋）在如圖所示的圖中，含有__________個格點(diǎn)正方形．【答案】

20【解析】

邊長為1：9個；邊長為2：4個；邊長為3：1個；邊長為正方形對角線長：4個；邊長為長方形對角線長：2個．共20個．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、下圖中各有多少個三角形？【答案】

8，12【解析】

（1）左圖中由一部分組成的三角形有3個，由兩部分組成的三角形有4個，由四部分組成的三角形有1個，共計8個．（2）右圖中由一部分組成的三角形有5個，由兩部分組成的三角形有4個，由三部分組成的三角形有2個，由五部分組成的三角形有1個，共計12個．2、如圖，數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形？【答案】

48【解析】

只包含1個小三角形的有25個（朝上的15個，朝下的10個）；包含4個小三角形的有13個（朝上的10個，朝下的3個）；包含9個小三角形的有6個；包含16個小三角形的有3個；包含25個小三角形的有1個．所以共有個．3、圍棋棋盤是由19條橫線和19條豎線組成的正方形方陣，其中有_________個正方形．【答案】

2109【解析】

按正方形的大小分類，共有個．4、如圖，這是一個長為9，寬為4的網(wǎng)格，每一個小格都是一個正方形．請問：（1）從中可以數(shù)出多少個長方形？（2）從中可以數(shù)出包含黑點(diǎn)的長方形有多少個？【答案】

（1）450個（2）144個【解析】

（1）圖中共有5條橫線和10條豎線，而長方形的個數(shù)就等于任取兩條橫線兩條豎線的方法數(shù)．從5條橫線中取2條橫線共有種方法，從10條豎線中取2條豎線共有中方法．利用乘法原理，圖中共有個長方形；（2）如果長方形包含黑點(diǎn)，那么黑點(diǎn)就應(yīng)該在選出的兩條橫線之間，也應(yīng)該在兩條豎線之間，因此選出的兩條橫線應(yīng)該有一條在黑點(diǎn)上面，有一條在黑點(diǎn)下面；兩條豎線有一條在黑點(diǎn)左邊，有一條在黑點(diǎn)右邊．黑點(diǎn)上面有2條橫線下面有3條橫線，左邊有6條豎線右邊有4條豎線，因此包含黑點(diǎn)的長方形共有個．課后作業(yè)課后作業(yè)1、右圖中共有_________個三角形．【答案】

14【解析】

有序枚舉．含1行的三角形有10個，含2行的三角形有4個，共14個．2、右圖中共有_________個三角形．【答案】

10【解析】

含1小部分的三角形有5個，含2小部分的三角形有4個，含3小部分的三角形有1個，共10個．3、右圖是由15個的小正方形組成的，圖中一共有_________個長方形．（長方形包括正方形）【答案】

90【解析】

4條橫線選2條作為長，6條豎線選2條作為寬，有個長方形．4、如圖