廣東省韶關(guān)市新豐縣一中2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

廣東省韶關(guān)市新豐縣一中2025年高二下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．關(guān)于“斜二測(cè)”畫(huà)圖法，下列說(shuō)法不正確的是（）A．平行直線(xiàn)的斜二測(cè)圖仍是平行直線(xiàn)B．斜二測(cè)圖中，互相平行的任意兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之比保持原比例不變C．正三角形的直觀(guān)圖一定為等腰三角形D．在畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，由于坐標(biāo)軸的選取不同，所得的直觀(guān)圖可能不同2．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3043．定義：如果一個(gè)向量列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常向量，那么這個(gè)向量列做等差向量列，這個(gè)常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以為首項(xiàng)，公差的等差向量列.若向量與非零向量）垂直，則（）A． B． C． D．4．函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．5．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．等差數(shù)列an中的a2?，??A．5 B．4 C．3 D．27．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．10．下列四個(gè)命題中，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）①經(jīng)過(guò)球面上任意兩點(diǎn)，可以作且只可以作一個(gè)大圓；②經(jīng)過(guò)球直徑的三等分點(diǎn)，作垂直于該直徑的兩個(gè)平面，則這兩個(gè)平面把球面分成三部分的面積相等；③球的面積是它大圓面積的四倍；④球面上兩點(diǎn)的球面距離，是這兩點(diǎn)所在截面圓上，以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng)．A．0 B．1 C．2 D．311．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．12．函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖象如圖所示，設(shè)g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．湖結(jié)冰時(shí)，一個(gè)球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個(gè)直徑為24cm,深為8cm的空穴，則該球的半徑為.14．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為_(kāi)_________．15．已知一個(gè)總體為：、、、、，且總體平均數(shù)是，則這個(gè)總體的方差是______．16．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)取最小值時(shí)，直線(xiàn)的傾倒角等于___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列滿(mǎn)足，等比數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）2019年某地初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定：考生必須參加長(zhǎng)跑.擲實(shí)心球.1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)測(cè)試各項(xiàng)20分，滿(mǎn)分60分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)，為掌握全年級(jí)學(xué)生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計(jì)分規(guī)則如表1：（1）規(guī)定：學(xué)生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學(xué)生中，男生跳繩個(gè)數(shù)大等于185個(gè)的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)？附：參考公式臨界值表：（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，全年級(jí)恰有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）（用樣本數(shù)據(jù)的平值和方差估計(jì)總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）①估計(jì)正式測(cè)試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，正式測(cè)試時(shí)1分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為ξ，求ξ占的分布列及期望．19．（12分）一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)函數(shù)：，，，（I）從中任意拿取張卡片，若其中有一張卡片上寫(xiě)著的函數(shù)為奇函數(shù)，在此條件下，求兩張卡片上寫(xiě)著的函數(shù)相加得到的新函數(shù)為奇函數(shù)的概率；（II）現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫(xiě)有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)使得，求證：.21．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線(xiàn)l的參數(shù)方程為．（1）若，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求．22．（10分）如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，若異面直線(xiàn)與所成角的大小為，求正四棱柱的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的特征，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．【詳解】解：對(duì)于A，平行直線(xiàn)的斜二測(cè)圖仍是平行直線(xiàn)，A正確；對(duì)于B，斜二測(cè)圖中，互相平行的任意兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之比保持原比例不變，B正確；對(duì)于C，正三角形的直觀(guān)圖不一定為等腰三角形，如圖所示；∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D，畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，由于坐標(biāo)軸的選取不同，所得的直觀(guān)圖可能不同，D正確．故選：C．本題考查了斜二測(cè)畫(huà)法的特征與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2、A【解析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積的形式，利用兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，就可以求出的會(huì)下，最后可以計(jì)算出的值.【詳解】令，由已知等式可得：，，設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，正確求出通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.3、D【解析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得向量，再根據(jù)向量垂直得遞推關(guān)系，最后根據(jù)累乘法求結(jié)果.【詳解】由題意得，因?yàn)橄蛄颗c非零向量）垂直，所以因此故選：D本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、向量垂直坐標(biāo)表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.4、C【解析】分析：函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則即可詳解：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且在上有唯一零點(diǎn)，故，解得故選點(diǎn)睛：函數(shù)為一次函數(shù)其單調(diào)性一致，不用分類(lèi)討論，為滿(mǎn)足有唯一零點(diǎn)列出關(guān)于參量的不等式即可求解。5、D【解析】

由題意得在上恒成立，利用分離參數(shù)思想即可得出結(jié)果．【詳解】∵，∴，又∵函數(shù)在上是增函數(shù)，∴在恒成立，即恒成立，可得，故選D.本題主要考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．6、D【解析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到a2,a4030是方程x【詳解】由題意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函數(shù)f∴l(xiāng)og2本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的極值，對(duì)數(shù)運(yùn)算，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7、D【解析】取，則，但，故；取，則，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要條件，選D.8、B【解析】

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則、、、、，，、，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：B本題考查了空間向量法求異面直線(xiàn)所成的角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函數(shù)的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即x=時(shí)取最大值）故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.10、C【解析】

結(jié)合球的有關(guān)概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問(wèn)題,對(duì)于球的大圓、球面積公式、球面距離等的含義的理解,是解決此題的關(guān)鍵.【詳解】對(duì)于①,若兩點(diǎn)是球的一條直徑的端點(diǎn),則可以作無(wú)數(shù)個(gè)球的大圓,故①錯(cuò);

對(duì)于②三部分的面積都是，故②正確對(duì)于③,球面積=,是它大圓面積的四倍,故③正確;

對(duì)于④,球面上兩點(diǎn)的球面距離,是這兩點(diǎn)所在大圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng),故④錯(cuò).

所以①④錯(cuò)誤.

所以C選項(xiàng)是正確的.本題考查球的性質(zhì),特別是求兩點(diǎn)的球面距離,這兩個(gè)點(diǎn)肯定在球面上,做一個(gè)圓使它經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn),且這個(gè)圓的圓心在球心上,兩點(diǎn)的球面距離對(duì)應(yīng)的是這個(gè)圓兩點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)的較短的那個(gè)弧的距離.11、B【解析】由于,故排除選項(xiàng).,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),排除選項(xiàng).,排除選項(xiàng),故選B.12、B【解析】

結(jié)合圖象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范圍，從而可得到g(x)【詳解】由圖象可知，y軸左側(cè)上方圖象為f'(x)的圖象，下方圖象為對(duì)g(x)求導(dǎo)，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，結(jié)合圖象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)時(shí)，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、13cm【解析】

設(shè)球半徑為R，則，解得，故答案為13.14、【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問(wèn)題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).15、【解析】

利用總體平均數(shù)為求出實(shí)數(shù)的值，然后利用方差公式可求出總體的方差.【詳解】由于該總體的平均數(shù)為，則，解得.因此，這個(gè)總體的方差為.故答案為：.本題考查方差的計(jì)算，利用平均數(shù)和方差公式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析：圓心,當(dāng)弦的長(zhǎng)取最小值時(shí),,.考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）,；（2）.【解析】分析：（1）由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得；再求出和，進(jìn)而求出公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.詳解：解：（1），所以數(shù)列為等差數(shù)列，則；，所以，則.（2），則兩式相減得整理得.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列前項(xiàng)和，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力.錯(cuò)位相減法是必須掌握的求和方法之一：若，其中是公差為d的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.具體運(yùn)算步驟如下：1、寫(xiě)出新數(shù)列的和.……（1）2、等式左右同時(shí)乘以等比數(shù)列部分的公比.……（2）3、兩式相減.（1）-（2）整理得：注意：首項(xiàng)系數(shù)為正，末項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，中間有項(xiàng).4、求.最后再化簡(jiǎn)整理為最簡(jiǎn)形式即可.18、（1）不能有的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）①，②分布列見(jiàn)解析，期望值為.【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫(xiě)好聯(lián)表，通過(guò)計(jì)算出，由此判斷不能有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān).（2）根據(jù)頻率分布計(jì)算出平均數(shù)和方差，由此求得正態(tài)分布，計(jì)算出的概率，進(jìn)而估計(jì)出個(gè)以上的人數(shù).利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式計(jì)算出概率，由此求得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）表2如下圖所示：由公式可得因?yàn)樗圆荒苡?9%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān).（2）①而，故服從正態(tài)分布,故正式測(cè)試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)約為1683人.②,服從的分布列為：0123P本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查正態(tài)分布均值和方差的計(jì)算，考查二項(xiàng)分布分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題.19、（1）（2）數(shù)學(xué)期望為.【解析】

（Ⅰ）所有的基本事件包括兩類(lèi)：一類(lèi)為兩張卡片上寫(xiě)的函數(shù)均為奇函數(shù)；另一類(lèi)為兩張卡片上寫(xiě)的函數(shù)為一個(gè)是奇函數(shù)，一個(gè)為偶函數(shù)，先求出基本事件總數(shù)為，滿(mǎn)足條件的基本事件為兩張卡片上寫(xiě)的函數(shù)均為奇函數(shù)，再求出滿(mǎn)足條件的基本事件個(gè)數(shù)為，由此能求出結(jié)果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，1．分別求出對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：(Ⅰ)為奇函數(shù)；為偶函數(shù)；為偶函數(shù)；為奇函數(shù);為偶函數(shù)；為奇函數(shù)，所有的基本事件包括兩類(lèi)：一類(lèi)為兩張卡片上寫(xiě)的函數(shù)均為奇函數(shù)；另一類(lèi)為兩張卡片上寫(xiě)的函數(shù)為一個(gè)是奇函數(shù)，一個(gè)為偶函數(shù)；基本事件總數(shù)為，滿(mǎn)足條件的基本事件為兩張卡片上寫(xiě)的函數(shù)均為奇函數(shù)，滿(mǎn)足條件的基本事件個(gè)數(shù)為，故所求概率.(Ⅱ)可??；;；故的分布列為.的數(shù)學(xué)期望為.本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求解該類(lèi)問(wèn)題，首先要正確理解題意，其次要準(zhǔn)確無(wú)誤的找出隨機(jī)變量的所以可能值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計(jì)算，也就是要過(guò)三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計(jì)算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).20、（1）；（2）或；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)斜率，再根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式列等式，解得的值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a討論導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)情況，再根據(jù)對(duì)應(yīng)單調(diào)性確定函數(shù)值域，最后根據(jù)無(wú)零點(diǎn)確定最小值大于零或最大值小于零，解得結(jié)果，（3）先根據(jù)，解得，代入得，再轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)：最后利用導(dǎo)數(shù)證明h(t)<0成立.詳解：（1）因?yàn)閒′(x)＝－a，所以k＝f′(1)＝1－a，又因?yàn)閒(1)＝－a－b，所以切線(xiàn)方程為y＋a＋b＝(1－a)(x－1)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(2，0)，所以a＋b=1－a，即2a＋b＝1.（2）當(dāng)b＝0時(shí)，f(x)＝lnx－ax，所以f′(x)＝－a＝.10若a≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上遞增，所以f(x)＞f()＝－1－，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在(，＋∞)上沒(méi)有零點(diǎn)，所以－1－≥0，即a≤－e；20若a＞0，由f′(x)＝0，得x＝.①當(dāng)≤時(shí)，即a≥e時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在(，＋∞)上遞減，所以f(x)＜f()＝－1－＜0，符合題意，所以a≥e；②當(dāng)＞時(shí)，即0＜a＜e時(shí)，若＜x＜，f′(x)＜0，f(x)在(，)上遞增；若x＞，f′(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上遞減，所以f(x)在x＝處取得極大值，即為最大值，要使函數(shù)y＝f(x)在(，＋∞)上沒(méi)有零點(diǎn)，必須滿(mǎn)足f()＝ln－1＝－lna－1＜0，得a＞，所以＜a＜e.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤－e或a＞.（3）不妨設(shè)0＜x1＜x2，由f(x1)＝f(x2)，得lnx1－ax1－b＝lnx2－ax2－b，因?yàn)閍＞0，所以.又因?yàn)?，f′(x)在(0，＋∞)上遞減，且f′()＝0，故要證，只要證，只要證，只要證，只