人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)28.1　銳角三角函數(shù)課件

第二十八章銳角三角函數(shù)

28.1銳角三角函數(shù)

第一課時(shí)一、情景導(dǎo)入意大利比薩斜塔1350年落成時(shí)就已傾斜，其塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線2.1m．1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震，這座高54.5m的斜塔在大幅度搖擺后仍魏然屹立，但塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線增至5.2m，而且還在繼續(xù)傾斜，有倒塌的危險(xiǎn)．當(dāng)?shù)貜?990年對(duì)斜塔進(jìn)行維修糾偏，2001年竣工，此時(shí)塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm．

一、情景導(dǎo)入你能用“塔身中心線與垂直中心線所成的角θ”來(lái)描述比薩斜塔的傾斜程度嗎？一、情景導(dǎo)入問(wèn)題為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測(cè)得斜坡的坡角(∠A)為30o，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？BCA30°一、情景導(dǎo)入根據(jù)“在直角三角形中，30o角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”，即可得AB＝2BC＝70(m)，即需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管．如果出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？如果出水口的高度為80m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？一、情景導(dǎo)入在上面求AB(所需水管的長(zhǎng)度)的過(guò)程中，我們用到了下面的結(jié)論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o，那么無(wú)論這個(gè)三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于

．一、情景導(dǎo)入如圖，任意畫(huà)一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90o，∠A＝45o，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比你能得出什么結(jié)論？由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，

因此ABC一、情景導(dǎo)入結(jié)論：在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45o時(shí)，無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于二、探究新知思考：一般地，當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？二、探究新知如圖，任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90o，∠A＝∠A′，那么與有什么關(guān)系？你能解釋嗎？ABCA'C'二、探究新知解：∵∠C＝∠C'＝90o，∠A＝∠A'，

∴Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'．∴即二、探究新知結(jié)論：在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．

二、探究新知如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即當(dāng)∠A＝30o時(shí)，∠A的正弦為多少？∠A＝45o或60o呢？答：ABCcab對(duì)邊斜邊二、探究新知注意：正弦的三種表示方式：sinA(省去角的符號(hào))，sin30o，sin∠BAC．二、探究新知例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，求sinA

和sinB的值．ABC43圖①ABC135圖②二、探究新知解：如圖①，在Rt△ABC中，由勾股定理得

因此如圖②，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此二、探究新知判斷對(duì)錯(cuò)．(

)(

)()sinA＝0.6m

()sinB＝0.8m(

)

A10m6mBC√×××√二、探究新知例2在△ABC中，∠C＝90o，AC＝24cm，sinA＝

，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．A25x7xBC二、探究新知解：設(shè)BC＝7x，則AB＝25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即

24x＝24，解得x＝1．故BC＝7x＝7cm，AB＝25x＝25cm．∴△ABC的周長(zhǎng)為AB＋BC＋AC＝7＋24＋25＝56(cm)．三、課堂小結(jié)正弦函數(shù)正弦函數(shù)的概念正弦函數(shù)的應(yīng)用已知邊長(zhǎng)求正弦值已知正弦值求邊長(zhǎng)∠A的對(duì)邊斜邊sinA＝四、課堂訓(xùn)練1．在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，sinA的值(

)．A．?dāng)U大100倍B．縮小C．不變D．不能確定C四、課堂訓(xùn)練2．如圖，sinA的值為()．

A． B．C． D．7ACB330°C四、課堂訓(xùn)練3．在Rt△ABC中，∠C＝90o，若sinA＝

，則∠A＝_______，∠B＝_______．45o45o四、課堂訓(xùn)練4．如圖，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，則sin∠ABC的值為_(kāi)______．方法總結(jié)：用定義法求銳角三角函數(shù)值時(shí)，要注意先判斷這個(gè)角所在的三角形的形狀，只有在直角三角形中才能用定義，若不是直角三角形，則應(yīng)構(gòu)造直角三角形．四、課堂訓(xùn)練5．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90o，CD⊥AB，圖中sinB可由哪兩條線段比求得．解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，∵∠B＝∠ACD，∴方法總結(jié)：求一個(gè)角的正弦值，除了用定義直接求，還可以轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值．DCBA五、作業(yè)教科書(shū)習(xí)題28.1第1，2，6題．第二十八章銳角三角函數(shù)

28.1銳角三角函數(shù)

第二課時(shí)

一、情景導(dǎo)入如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90o，當(dāng)∠A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定．此時(shí)，其他邊之間的比是否也確定了呢？

ABC二、探究新知如圖所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D，∠C＝∠F＝90o，則成立嗎？為什么？

ABCDEF二、探究新知證明：∵∠A＝∠D，∠C＝∠F＝90o，∴Rt△ABC∽R(shí)t△DEF．∴即二、探究新知如圖所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D，∠C＝∠F＝90o，則成立嗎？為什么？ABCDEF二、探究新知證明：∵∠A＝∠D，∠C＝∠F＝90o，∴Rt△ABC∽R(shí)t△DEF．∴∴二、探究新知如圖，當(dāng)∠A確定時(shí)，∠A的鄰邊與斜邊的比，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比都是確定的．我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即把∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即ABC二、探究新知注意：(1)若角是用一個(gè)大寫(xiě)字母或一個(gè)小寫(xiě)希臘字母表示的，則sinA，cosA，tanA的寫(xiě)法中可省去角的符號(hào)“∠”.(2)sinA，cosA，tanA是一個(gè)比值，是兩條線段長(zhǎng)度的比，是沒(méi)有單位的．(3)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)整體符號(hào)，如cosA不表示“cos”乘以“A”．二、探究新知∠A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)．同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)．ABC斜邊c對(duì)邊a鄰邊b二、探究新知例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．解：由勾股定理得因此ABC106二、探究新知1．在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝12，AB＝13.sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．ABC1213二、探究新知2．在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝2，BC＝3．sinA＝_______，cosA＝_______，tanA＝_____，sinB＝_______，cosB＝_______，tanB＝_____．ACB23二、探究新知結(jié)論：一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦，或一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦，一個(gè)銳角的正切和它余角的正切互為倒數(shù)．sinA＝cos(90o－A)cosA＝sin(90o－A)tanA·tan(90o－A)＝1二、探究新知例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，BC＝6，sinA＝，求cosA、tanB的值．解：∵又∴

ABC6三、課堂小結(jié)余弦函數(shù)和正切函數(shù)余弦：在直角三角形中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做角A的余弦．正切：在直角三角形中，銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做角A的正切．性質(zhì)：∠A的大小確定的情況下，cosA，tanA為定值，與三角形的大小無(wú)關(guān)．四、課堂訓(xùn)練1．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA＝()．

C四、課堂訓(xùn)練2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為m，∠A＝35o，則直角邊BC的長(zhǎng)是()．ABCA四、課堂訓(xùn)練3．已知∠A，∠B為銳角，(1)若∠A＝∠B，則cosA______cosB；(2)若tanA＝tanB，則∠A______∠B．(3)若tanA·tanB＝1，則∠A與∠B的關(guān)系為：

_____________．4．tan30o＝______，tan60o＝______．＝＝∠A+∠B＝90o四、課堂訓(xùn)練5．如圖，直徑為5的⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，3)和點(diǎn)

O(0，0)，B是y

軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠OBC的余弦值為_(kāi)____．方法總結(jié)：在圓中求銳角三角函數(shù)值時(shí)，常通過(guò)直徑構(gòu)造直角三角形，并利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，進(jìn)而求出三角函數(shù)值．四、課堂訓(xùn)練6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，cosA＝，求sinA，tanA的值．解：設(shè)AC＝15k，則AB＝17k．∴

∴方法總結(jié)：設(shè)而不求是設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值的常用方法．ABC五、作業(yè)教科書(shū)習(xí)題28.1第1，2題．第二十八章銳角三角函數(shù)

28.1銳角三角函數(shù)

第三課時(shí)一、情景導(dǎo)入為了測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，準(zhǔn)備了如下測(cè)量工具：①

含30o和60o兩個(gè)銳角的三角尺；②

皮尺．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，測(cè)出一棵大樹(shù)的高度．你會(huì)嗎？一、情景導(dǎo)入ABC∠A的鄰邊∠A的對(duì)邊斜邊二、探究新知兩塊三角尺中有幾個(gè)不同的銳角？分別求出這幾個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值．30o60o45o45o二、探究新知解：設(shè)30o所對(duì)的直角邊長(zhǎng)為a，那么斜邊長(zhǎng)為2a，另一條直角邊長(zhǎng)＝∴

30o60o二、探究新知∴

30o60o二、探究新知解：設(shè)兩條直角邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)＝∴

45o45o二、探究新知?dú)w納：

30o、45o、60o角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角A銳角三角函數(shù)

30o

45o

60osinAcosAtanA二、探究新知例1

求下列各式的值：(1)cos260o＋sin260o；(2)解：(1)cos260o＋sin260(2)方法總結(jié)：有關(guān)特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，先寫(xiě)出三角函數(shù)值，將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．二、探究新知計(jì)算：(1)sin30o＋cos45o；(2)sin230o＋cos230o－tan45o．解：(1)原式＝(2)原式＝二、探究新知例2

(1)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AB＝

，

BC＝

，求∠A的度數(shù)；解：在圖中，∵

∴

∠A＝45o.ABC二、探究新知(2)如圖，AO是圓錐的高，OB是底面半徑，AO＝

OB，求α的度數(shù)．解：在圖中，∵

tanα＝

∴

α＝60o．方法總結(jié)：根據(jù)一個(gè)銳角的特殊三角函數(shù)值，也可以求出角的度數(shù)．ABO二、探究新知例3

如圖，在△ABC中，∠A＝30o，求AB．

解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A＝30o，

ABCD二、探究新知方法總結(jié)：銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，當(dāng)此銳角所在的三角形不是直角三角形時(shí)，必須通過(guò)作輔助線構(gòu)造出直角三角形求解．ABCD三、課堂小結(jié)30o、45o、60o角的三角函數(shù)值通過(guò)三角函數(shù)值求角度

特殊角的三角函數(shù)值四、課堂訓(xùn)練1．

tan(α＋20o)＝1，銳角α的度數(shù)應(yīng)是()．

A．40oB．30oC．20oD．10o2．已知sinA＝

，則下列正確的是()．

A．cosA＝B．cosA＝C．tanA＝

1D．tanA＝D

B

四、課堂訓(xùn)練3．求下列各式的值：(1)

1－2sin30ocos30o；(2)3tan30o－tan45o＋2sin60o

；(3)

答案：(1)；(2)

；(3)

2．五、作業(yè)教科書(shū)習(xí)題28.1第3題．第二十八章銳角三角函數(shù)

28.1銳角三角函數(shù)

第四課時(shí)一、情景導(dǎo)入要測(cè)量教學(xué)樓的高度，小英身高1.6m．她在距離教學(xué)樓30m處測(cè)得仰角為25o，你能借助計(jì)算器估算出教學(xué)樓的高度嗎？(精確到0.1m)25o一、情景導(dǎo)入填寫(xiě)下表：

銳角A銳角三角函數(shù)

30o

45o

60osinAcosAtanA二、探究新知通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道當(dāng)銳角A是30o、45o、60o等特殊角時(shí)，可以求得這些特殊角的銳角三角函數(shù)值；如果銳角

A不是這些特殊角，怎樣得到它的銳角三角函數(shù)值呢？二、探究新知例1

(1)用計(jì)算器求sin18o的值；解：第一步：按計(jì)算器鍵；第二步：輸入角度值18；屏幕顯示結(jié)果sin18o＝0.309016994．sin二、探究新知(2)用計(jì)算器求tan30o36′的值；解：方法①：第一步：按計(jì)算器鍵；第二步：輸入角度值30.6(因?yàn)?0o36′＝30.6o)；屏幕顯示答案：0.591398351．方法②：第一步：按計(jì)算器鍵；第二步：輸入角度值30，分值36

(使用鍵)

；屏幕顯示答案：0.591398351．tantano

′″二、探究新知(3)已知sinA＝0.5018，用計(jì)算器求∠A的度數(shù)．解：第一步：按計(jì)算器鍵；第二步：輸入函數(shù)值0.5018；屏幕顯示答案：30.11915867o(按實(shí)際需要進(jìn)行精確)．還可以利用鍵，進(jìn)一步得到∠A＝30o07′08.97″(這說(shuō)明銳角A精確到1′的結(jié)果為30o7′，精確到1″的結(jié)果為30o7′9″)．方法總結(jié)：已知銳角三角函數(shù)值，利用計(jì)算器求銳角的度數(shù)時(shí)要注意先按

鍵．2ndFsin°′″2ndF2ndF二、探究新知1．用計(jì)算器求下列各式的值(精確到0.0001)：(1)sin47o；(2)sin12o30′；(3)cos25o18′；(4)sin18o＋cos55o－tan59o.答案：(1)0.7314；

(2)0.2164；

(3)0.9041；

(4)－0.7817．二、探究新知2．已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角∠A，∠B的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1o)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5．答案：(1)∠A≈44.4o；∠B≈0.6o．(2)∠A≈81.4o；∠B≈36.9o．(3)∠A≈67.4o；∠B≈26.6o．二、探究新知用計(jì)算器求下列各組銳角的三角函數(shù)值，從中你能發(fā)現(xiàn)什么？

銳角A……15182022

…808284…sin

A…………cos

A…………tan

A…………0.98480.26790.37460.34200.30900.25880.99450.99030.10450.13920.17360.92720.95110.93970.96599.51447.11545.67130.36400.40400.3249二、探究新知由上述數(shù)據(jù)可以看出：(1)對(duì)于銳角

A，sin

A

隨銳角

A

的增大而增大，且

sin

A滿足

0＜sin

A＜1．(2)對(duì)于銳角

A，cos

A

隨銳角

A

的增大而減小，且

cos

A

滿足

0＜cos

A＜1．(3)對(duì)于銳角

A，tan

A

隨銳角

A

的增大而增大，且

tan

A

滿足

tan

A＞0．二、探究新知(1)利用計(jì)算器求值，并提出你的猜想：sin20o＝______，cos20o＝______，sin220o＝______；cos220o＝______；sin35o＝______，cos35o＝______，sin235o＝______；cos235o＝______；猜想：已知0o＜∠A＜90o，則sin2

A＋

cos2A

＝

______．0.