廣東省培正中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

廣東省培正中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為2．已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則不等式的解集是()A． B． C． D．以上都不正確3．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A．B．C．D．4．已知雙曲線x2a2-yA．x212-y285．對于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（i1，i1，…，in）（n是不小于1的正整數(shù)），如果在p＜q時有ip＜iq，則稱“ip與iq”是該數(shù)組的一個“順序”，一個數(shù)組中所有“順序”的個數(shù)稱為此數(shù)組的“順序數(shù)”．例如，數(shù)組（1，4，3，1）中有順序“1，4”、“1，3”，其“順序數(shù)”等于1．若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a1，a3，a4，a5）的“順序數(shù)”是4，則（a5，a4，a3，a1，a1）的“順序數(shù)”是（）A．7 B．6 C．5 D．46．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則()A． B．e C． D．18．若隨機變量，且，則等于（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是（）A．變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點11．某快遞公司共有人，從周一到周日的七天中，每天安排一人送貨，每人至少送貨天，其不同的排法共有（）種.A． B． C． D．12．為客觀了解上海市民家庭存書量，上海市統(tǒng)計局社情民意調(diào)查中心通過電話調(diào)查系統(tǒng)開展專項調(diào)查，成功訪問了位市民，在這項調(diào)查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是B．總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是C．總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民，樣本的容量是D．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民，樣本的容量是二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線l過點（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標(biāo)為_________.14．將一邊長為的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為的小正方形，然后做成一個無蓋的方盒，當(dāng)?shù)扔赺_________時，方盒的容積最大．15．在上隨機地取一個數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為__________．16．二項式的展開式中的系數(shù)為，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點與橢圓交于兩點，且.（I）求直線的方程；（II）已知過右焦點的動直線與橢圓交于不同兩點，是否存在軸上一定點，使？（為坐標(biāo)原點）若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在說明理由.18．（12分）某工廠的某車間共有位工人，其中的人愛好運動。經(jīng)體檢調(diào)查，這位工人的健康指數(shù)（百分制）如下莖葉圖所示。體檢評價標(biāo)準(zhǔn)指出：健康指數(shù)不低于者為“身體狀況好”，健康指數(shù)低于者為“身體狀況一般”。（1）根據(jù)以上資料完成下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“身體狀況好與愛好運動有關(guān)系”？身體狀況好身體狀況一般總計愛好運動不愛好運動總計（2）現(xiàn)將位工人的健康指數(shù)分為如下組：，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示。計算該車間中工人的健康指數(shù)的平均數(shù)，由莖葉圖得到真實值記為，由頻率分布直方圖得到估計值記為，求與的誤差值；（3）以該車間的樣本數(shù)據(jù)來估計該廠的總體數(shù)據(jù)，若從該廠健康指數(shù)不低于者中任選人，設(shè)表示愛好運動的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。附：。19．（12分）質(zhì)檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產(chǎn)的12個零件質(zhì)量進行檢測．甲、乙兩個車間的零件質(zhì)量（單位：克）分布的莖葉圖如圖所示．零件質(zhì)量不超過20克的為合格．（1）質(zhì)檢部門從甲車間8個零件中隨機抽取4件進行檢測，若至少2件合格，檢測即可通過，若至少3件合格，檢測即為良好，求甲車間在這次檢測通過的條件下，獲得檢測良好的概率；（2）若從甲、乙兩車間12個零件中隨機抽取2個零件，用X表示乙車間的零件個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知．（I）求；（II）當(dāng)，求在上的最值．21．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，，是中點，求的長.22．（10分）在銳角中，角所對的邊分別為，已知．證明：；若的面積，且的周長為10，為的中點，求線段的長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)簡單隨機抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個人入選的概率.【詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個數(shù)不能被樣本容量整除時，則要先剔除幾個個體，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的概率相等，所以，每個個體被抽到包括兩個過程，一是不被剔除，二是選中，這兩個過程是相互獨立的，因此，每個人入選的概率為.故選：D.本題考查簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】令，則當(dāng)時：，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得：當(dāng)時，；當(dāng)時，；不等式在上的解集為，同理，不等式在上的解集為，綜上可得：不等式的解集是.3、B【解析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知，若，函數(shù)的對稱軸是，所以，故選B.4、D【解析】試題分析：因為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，所以ca考點：雙曲線的性質(zhì)．5、B【解析】

根據(jù)題意，找出一個各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a1，a3，a4，a5）的“順序數(shù)”是4的數(shù)組，再根據(jù)此條件判斷出（a5，a4，a3，a1，a1）的“順序數(shù)”．【詳解】根據(jù)題意，各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a1，a3，a4，a5）的“順序數(shù)”是4，假設(shè)a1＜a1，a1＜a3，a1＜a4，a1＜a5，且后一項都比前一項小，因此可以判斷出a1＞a3，a3＞a4，a4＞a5，則（a5，a4，a3，a1，a1）的“順序數(shù)”是6，故選：B．本題主要考查歸納推理、不等式的性質(zhì)，考查了學(xué)生的理解能力及分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．6、C【解析】f′(x)＝，則f′(1)＝1，故函數(shù)f(x)在點(1，－2)處的切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故選C7、C【解析】

先求導(dǎo)，再計算出，再求.【詳解】由題得，所以.故選：C.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和基本的計算能力，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由正態(tài)密度曲線的對稱性得出，由此可得出結(jié)果.【詳解】由于，則正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，所以，故選A.本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計算，解題時要確定正態(tài)密度曲線的對稱軸，利用對稱性列等式計算，考查計算能力，屬于中等題.9、B【解析】

先根據(jù)“曲線存在垂直于直線的切線”求的范圍，再利用充要條件的定義判斷充要性.【詳解】由題得切線的斜率為2，所以因為,所以“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的必要不充分條件.故答案為B10、C【解析】分析：根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)依次判斷各選項即可．詳解：對于A：根據(jù)b的正負(fù)即可判斷正負(fù)相關(guān)關(guān)系．線性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負(fù)相關(guān)．對于B：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：=1．可得=2．即，解得：m=3．對于C：相關(guān)系數(shù)和斜率不是一回事，只有當(dāng)樣本點都落在直線上是才滿足兩者相等，這個題目顯然不滿足，故不正確.對于D：由線性回歸方程一定過（，），即（1，2）．故選：C．點睛：本題考查了線性回歸方程的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，對于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計算精準(zhǔn)，正確理解題意，應(yīng)用回歸方程對總體進行估計.11、C【解析】分析：把天分成天組，然后人各選一組值班即可.詳解：天分成天，天，天組，人各選一組值班，共有種，故選C.點睛：本題主要考查分組與分配問題問題，著重考查分步乘法計數(shù)原理，意在考查綜合運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)總體、樣本及樣本的容量的概念，得到答案.【詳解】根據(jù)題目可知，總體是上海市民家庭的存書量，樣本是位市民家庭的存書量，樣本的容量是故選B項.本題考查總體、樣本及樣本的容量的概念，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點，將點坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進而可求焦點坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點在拋物線上，將代入中，解得：，，由拋物線方程可得：，焦點坐標(biāo)為.點睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對稱性質(zhì)，得到拋物線上點的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.14、【解析】

先求出方盒容積的表達式，再利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)單調(diào)性求最大值.【詳解】方盒的容積為：當(dāng)時函數(shù)遞減，當(dāng)時函數(shù)遞增故答案為本題考查了函數(shù)的最大值的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計算能力.15、【解析】試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.【考點】直線與圓位置關(guān)系；幾何概型【名師點睛】本題是高考?？贾R內(nèi)容，考查幾何概型概率的計算.本題綜合性較強，具有“無圖考圖”的顯著特點，涉及點到直線距離的計算.本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等.16、【解析】分析：先根據(jù)二項展開式的通項求得的系數(shù)，進而得到的值，然后再根據(jù)微積分基本定理求解即可．詳解：二項式的展開式的通項為，令，可得的系數(shù)為，由題意得，解得．∴．點睛：解答有關(guān)二項式問題的關(guān)鍵是正確得到展開式的通項，然后根據(jù)題目要求求解．定積分計算的關(guān)鍵是確定被積函數(shù)的原函數(shù)，然后根據(jù)微積分基本定理求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）【解析】

（I）解法一：直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．（II）II）設(shè)l2的方程為與橢圓聯(lián)立：．假設(shè)存在點T（t，0）符合要求，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【詳解】解：（I）設(shè)的方程為與橢圓聯(lián)立得直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點，故恒成立，設(shè)，則，，解得，的方程為或；解2：由焦半徑公式有，解得.（II）設(shè)的方程為與橢圓聯(lián)立：，由于過橢圓內(nèi)一點，假設(shè)存在點符合要求，設(shè)，韋達定理：，點在直線上有，即，，解得.解決解析幾何中探索性問題的方法存在性問題通常采用“肯定順推法”．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．18、（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認(rèn)為“身體狀況好與愛好運動有關(guān)系”；（2）誤差值為；（3）數(shù)學(xué)期望【解析】

（1）根據(jù)莖葉圖補全列聯(lián)表，計算可得，從而得到結(jié)論；（2）利用平均數(shù)公式求得真實值；利用頻率直方圖估計平均數(shù)的方法求得估計值，作差得到結(jié)果；（3）可知，利用二項分布數(shù)學(xué)期望計算公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由莖葉圖可得列聯(lián)表如下：身體狀況好身體狀況一般總計愛好運動不愛好運動總計有的把握認(rèn)為“身體狀況好與愛好運動有關(guān)系”（2）由莖葉圖可得：真實值由直方圖得：估計值誤差值為：（3）從該廠健康指數(shù)不低于的員工中任選人，愛好運動的概率為：則數(shù)學(xué)期望本題考查獨立性檢驗、莖葉圖和頻率分布直方圖的相關(guān)知識、二項分布數(shù)學(xué)期望的計算，涉及到卡方的計算、利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)、隨機變量服從二項分布的判定等知識，屬于中檔題.19、（1）（2）見解析【解析】分析：（1）設(shè)事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測通過”；事件表示“檢測良好”.通過，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．

（2）由題意知，的所有可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．詳解：（1）設(shè)事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測通過”；事件表示“檢測良好”.∴∴.故所求概率為.（2）可能取值為分布列為所以，.點睛：本題考查條件概率的應(yīng)用，離散型隨機變量的分布列以及期望的求法