河南天一大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

河南天一大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．展開式中的所有項系數(shù)和是（）A．0 B．1 C．256 D．5122．已知集合，，且，則實數(shù)的值是（）A． B． C． D．3．已知集合，若，則實數(shù)的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或或4．已知隨機變量，若，則，分別為（）A．和 B．和 C．和 D．和5．已知函數(shù)，則A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)6．小趙、小錢、小孫、小李到個景點旅游，每人只去一個景點，設事件“個人去的景點彼此互不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若且，則n-m的最小值為()A．2ln2-1 B．2-ln2 C．1+ln2 D．28．在正方體中，點，分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A． B．與所成角為C．平面 D．與平面所成角的余弦值為9．設，則二項式展開式的所有項系數(shù)和為（）A．1 B．32 C．243 D．102410．已知tan=4,cot=,則tan（+）=（）A． B． C． D．11．如圖所示的電路有a，b，c，d四個開關，每個開關斷開與閉合的概率均為且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為（）A． B． C． D．12．已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則在上，的解集是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，分別是橢圓：短軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于，的任意一點，若直線與直線的斜率之積為，則__________．14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為_________.15．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i的值為.16．在某班舉行的“慶五一”聯(lián)歡晚會開幕前已排好有8個不同節(jié)目的節(jié)目單，如果保持原來的節(jié)目相對順序不變，臨時再插進去三個不同的新節(jié)目，且插進的三個新節(jié)目按順序出場，那么共有__________種不同的插入方法（用數(shù)字作答）．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若函數(shù)無極值，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當時，證明：．18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當時，求函數(shù)的最大值.19．（12分）已知橢圓：與拋物線有公共的焦點，且公共弦長為，（1）求，的值.（2）過的直線交于，兩點，交于，兩點，且，求.20．（12分）在平面直角坐標系中，曲線（是參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程：.（1）寫出曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；（2）設，直線與曲線交于、兩點，求的值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）已知當時恒成立，求的最大值．22．（10分）在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的極坐標方程為ρcos＝2.(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；(2)求曲線C上的點到直線l的最大距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

令，可求出展開式中的所有項系數(shù)和.【詳解】令，則，即展開式中的所有項系數(shù)和是1，故選B.本題考查了二項式定理的應用，考查了展開式的系數(shù)和的求法，屬于基礎題.2、B【解析】

根據(jù)已知，將選項代入驗證即可.【詳解】由，知且，經(jīng)檢驗符合題意，所以.故選：B本題考查集合間的關系，要注意特殊方法的應用，減少計算量，屬于基礎題.3、D【解析】

就和分類討論即可.【詳解】因為當時，，滿足；當時，，若，所以或.綜上，的值為0或1或2.故選D.本題考查集合的包含關系，屬于基礎題，解題時注意利用集合中元素的性質(zhì)（如互異性、確定性、無序性）合理分類討論.4、C【解析】

利用二項分布的數(shù)學期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性質(zhì)可求出和的值.【詳解】，，.，，由期望和方差的性質(zhì)可得，.故選：C.本題考查均值和方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．5、A【解析】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域為，且即函數(shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎題.6、D【解析】分析：這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應基本事件的個數(shù)，即可得出結論．詳解：小趙獨自去一個景點，則有3個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為種

所以小趙獨自去一個景點的可能性為種

因為4

個人去的景點不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點睛：本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵．7、C【解析】

作出函數(shù)的圖象，由題意可得，求得，可得，，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值，且為最小值，即可得解．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如下，，且，可得，，即為，可得，，，令，則當時，，遞減；當時，，遞增．則在處取得極小值，也為最小值，故選C．本題考查分段函數(shù)及應用，注意運用轉化思想和數(shù)形結合思想，運用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．8、C【解析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．【詳解】解：設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），（0，1，﹣2），（﹣2，0，1），2≠0，∴A1E與BF不垂直，故A錯誤；（﹣2，2，﹣1），（﹣2，﹣2，0），cos，0，∴A1F與BD所成角為90°，故B錯誤；（2，0，0），（0，2，1），（0，1，﹣2），?0，0，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故C正確；（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量（0，0，1），設A1F與平面ABCD所成角為θ，則sinθ，∴cosθ．∴A1F與平面ABCD所成角的余弦值為，故D錯誤．故選：C．本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．9、C【解析】

根據(jù)定積分求得，得出二項式，再令，即可求得展開式的所有項的系數(shù)和，得到答案.【詳解】由題意，可得，所以二項式為，令，可得二項式展開式的所有項系數(shù)和為，故選C.本題主要考查了微積分基本定理的應用，以及二項展開式的系數(shù)問題，其中解答中熟記定積分的計算，以及二項式的系數(shù)的求解方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、B【解析】

試題分析：由題意得，，故選B．考點：兩角和的正切函數(shù)．11、C【解析】

由獨立事件同時發(fā)生的概率公式計算．把組成一個事整體，先計算它通路的概率．【詳解】記通路為事件，則，所以燈泡亮的概率為．故選：C.本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，由獨立事件的概率公式計算即可．12、C【解析】

首先結合函數(shù)的對稱性和函數(shù)的奇偶性繪制函數(shù)圖像，原問題等價于求解函數(shù)位于直線下方點的橫坐標，數(shù)形結合確定不等式的解集即可.【詳解】函數(shù)滿足，則函數(shù)關于直線對稱，結合函數(shù)為奇函數(shù)繪制函數(shù)的圖像如圖所示：的解集即函數(shù)位于直線下方點的橫坐標，當時，由可得，結合可得函數(shù)與函數(shù)交點的橫坐標為，據(jù)此可得：的解集是.本題選擇C選項.本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

設點坐標為，則．由題意得，解得．答案：2點睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解．解題時要注意橢圓本身所含的一些范圍的應用，如橢圓上的點的橫坐標等．14、【解析】

求導根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)是單調(diào)遞增的，再利用解得答案.【詳解】當時，是定義在上的奇函數(shù)是在上單調(diào)遞增故答案為本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增是解題的關鍵.15、1【解析】

由程序框圖知該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】模擬執(zhí)行如圖所示的程序框圖如下，判斷，第1次執(zhí)行循環(huán)體后，，，；判斷，第2次執(zhí)行循環(huán)體后，，，；判斷，第3次執(zhí)行循環(huán)體后，，，；判斷，退出循環(huán)，輸出的值為1．本題主要考查對含有循環(huán)結構的程序框圖的理解，模擬程序運算可以較好地幫助理解程序的算法功能．16、1【解析】分析：根據(jù)題意，先由分步計數(shù)原理計算ABC三個節(jié)目插到8個節(jié)目之間的排法，又由倍分法分析可得答案．詳解：根據(jù)題意，原來有8個節(jié)目，有9個空位，在9個空位中任選1個，安排A節(jié)目，有9種情況，排好后有10個空位，在10個空位中任選1個，安排B節(jié)目，有10種情況，排好后有11個空位，在11個空位中任選1個，安排C節(jié)目，有11種情況，排好后有11個空位，在ABC的安排方法有9×10×11=990種，又由三個新節(jié)目按A，B，C順序出場，則不同的安排方法有×990=1種；故答案為：1．點睛：本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）實數(shù)的取值范圍是；（2）見解析.【解析】分析：（1）因為函數(shù)無極值，所以在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.即或在時恒成立，求導分析整理即可得到答案；（2）由（Ⅰ）可知，當時，當時，，即.欲證，只需證即可，構造函數(shù)=（），求導分析整理即可.詳解：（Ⅰ）函數(shù)無極值，在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減.即或在時恒成立；又，令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，當時，，即，當時，顯然不成立；所以實數(shù)的取值范圍是.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當時，當時，，即.欲證，只需證即可.構造函數(shù)=（），則恒成立，故在單調(diào)遞增，從而.即，亦即.得證.點睛：可以從所證不等式的結構和特點出發(fā)，結合已有的知識利用轉化與化歸思想，構造一個新的函數(shù)，再借助導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉化，從而使不等式得到證明，其一般步驟是：構造可導函數(shù)→研究單調(diào)性或最值→得出不等關系→整理得出結論．18、（Ⅰ），最小正周期為；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，問題得解.【詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，則，∴，∴的最大值為2.本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)周期公式，考查了整體法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.19、（1），；（2）.【解析】

(1)由橢圓以及拋物線的對稱性可得到交點的縱坐標，代入，可得到交點的橫坐標，再由有公共的焦點，即可得到，的值；(2)先設：，再由直線交于，兩點，交于，兩點，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得橫坐標之間的關系，再由已知條件可得，從而可求出.【詳解】（1）∵，均關于軸對稱，∴公共弦也關于軸對稱，∵公共弦長為，將代入，中解得與，∴，.∵，有公共的焦點，∴，解得，.（2），設，，，，∵，∴，即，.當?shù)男甭什淮嬖跁r，顯然不成立，∴設：，將方程代入整理得，，.將方程代入整理得，∴，.代入中解得，∵，∴.本題考查了橢圓以及拋物線的對稱性，以及直線與橢圓和拋物線的關系，拋物線定義求弦長，考查了學生的計算能力，屬于較難題.20、（1）曲線的普通方程是，直線的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）直接利用參數(shù)方程公式得到曲線方程，三角函數(shù)展開代入公式得到答案.（2）寫出直線的參數(shù)方程，代入曲線方程，利用韋達定理得到答案.【詳解】解：（1）曲線的普通方程是，直線的