2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長》專項測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，四邊形是矩形，對角線，交于點，點，Q分別在邊和上，線段經(jīng)過點，連接，．求證：．2．在矩形中，，，、是對角線上的兩個動點，分別從、同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為秒，其中．(1)若，分別是，中點，則四邊形一定是怎樣的四邊形（、相遇時除外）？答：__________；（直接填空，不用說理）(2)在（1）條件下，若四邊形為矩形，求的值；(3)在（1）條件下，若向點運動，向點運動，且與點，以相同的速度同時出發(fā)，若四邊形為菱形，求的值．3．如圖1，是某地度假中心的主體建筑，將其抽象為圖2的五邊形，測得，，，垂直于地面，，．（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）(1)求的度數(shù)；(2)求該建筑的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）4．如圖1，將矩形繞點A旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，直線和直線相交于點P．(1)直線和直線的位置關(guān)系為___________；(2)將矩形繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，點E落在對角線上，點D與點P重合，連接交于點Q，連接，（1）中直線和直線的位置關(guān)系是否仍然成立？四邊形是什么圖形？請證明你的猜想；(3)利用圖1求證：點P是線段的中點．5．如圖，在矩形中，，動點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；連接，作，交于點，以為鄰邊作矩形．設(shè)運動時間為．(1)當為何值時，點在線段的垂直平分線上？(2)在動點運動的過程中，的值是否為定值？請說明理由；(3)設(shè)矩形的面積為，求與之間的關(guān)系式．6．如圖，在四邊形中，，，，，點從點出發(fā)，以/的速度向點運動；點從點同時出發(fā)，以/的速度向點運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為．(1)____________，____________（用含的代數(shù)式示）；(2)在整個運動過程中是否存在值，使得四邊形是矩形？若存在，請求出值；若不存在，說明理由．7．【問題情境】如圖①，四邊形是矩形，，，連接．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點，的對應(yīng)點分別為點，．【初步感知】（1）如圖②，當點恰好落在的中線的延長線上時，求的長；【深入探究】（2）當所在直線經(jīng)過矩形一邊上的中點，且與邊交于點時，求的面積；（3）在繞點旋轉(zhuǎn)過程中，以，，三點構(gòu)成的三角形面積是否存在最大值？若存在，直接寫出面積的最大值；若不存在，請說明理由．8．如圖1，公園計劃將一個矩形門洞修改成為圓弧形門洞，如圖2，在矩形中，寬為，高為，點是，的交點，以點為圓心，為半徑作，地面與矩形門洞對角線的夾角約為，陰影部分為門洞改造后擴大的部分．(1)求的半徑；(2)求改造后圓弧形門洞的高度（即弧的中點到地面的距離）；(3)直接寫出陰影部分的面積．（結(jié)果保留）9．如圖，在中，，，，為的中點．動點在邊上，過點作的垂線交折線于點．以為鄰邊構(gòu)造矩形．(1)的長為___________，的長為___________；(2)當點落在上時，證明；(3)當點落在的邊上時，用圓規(guī)和無刻度的直尺在備用圖中作出矩形（保留作圖痕跡），并求此時的長；(4)沿直線將矩形剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合條件的的長．10．在平面直角坐標系中，點是矩形邊上一點，點是這個矩形外一點，給出如下定義：若點關(guān)于點的對稱點（點繞點旋轉(zhuǎn)180°得到點）在矩形的內(nèi)部或邊上，則稱點是矩形的“護衛(wèi)點”．(1)如圖，點，，，．①在點，，中，點______________是矩形的“護衛(wèi)點”；②若直線上存在矩形的“護衛(wèi)點”，則點的橫坐標的取值范圍是______________；(2)已知點，，，，，．當線段上的每一個點都是矩形的“護衛(wèi)點”時，直接寫出的取值范圍．11．在矩形中，，點是邊上不與端點、重合的動點，于，【課本再現(xiàn)】（1）如圖（1），當時，延長交于點，求證：；【類比遷移】（2）如圖（2），在（1）的條件下，延長交對角線于點，若點是的中點，，請分別求出，與的長（結(jié)果均用含有的代數(shù)式表示）；【拓展延伸】（3）如圖（3），若，直接寫出的值_____（結(jié)果用含有的式子表示）．12．在矩形中，，．點是射線上的一點，以點為中心將顧時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連結(jié)．(1)如圖①，當點在邊上時，求證：；(2)在圖②中只用無刻度的直尺和圓規(guī)，作出；（保留作圖痕跡．不用寫出作圖過程）(3)如圖③，設(shè)線段與射線交于點，①若，此時線段的長度為______；②若線段或與射線交于點，過點作交于點，若，直接寫出的長度．13．已知：如圖，在矩形中，．在上取一點E，，點F是邊上的一個動點，以為一邊作菱形，使點N落在邊上，點M落在矩形內(nèi)或其邊上．若，的面積為S．(1)當四邊形是正方形時，求x的值；(2)當四邊形是菱形時，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當時，S最大；當時，S最小．14．小明在一次數(shù)學(xué)活動中，進行了如下的探究活動：如圖，在矩形中，，，以點為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點、、的對應(yīng)點分別為、、．(1)如圖①，當點落在邊上時，求的長；(2)如圖②，當點落在線段上時，與交于點．求的長．(3)記點為矩形對角線的交點，連接、，記面積為，求的取值范圍．15．垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作與它相鄰的兩個頂點所連對角線的垂線，與平行四邊形的一邊相交，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1，四邊形為“垂中平行四邊形”，平分，求證：．(2)如圖2，矩形為“垂中平行四邊形”，于點，交邊于點，若8，求的長．(3)如圖3，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．(4)如圖4，在中，于點，若，，以為邊構(gòu)造“垂中平行四邊形”，使點落在“垂中平行四邊形”的邊上，當過一個頂點作與它相鄰兩個頂點所連對角線的垂線經(jīng)過的中點時，求的長．參考答案1．見解析【分析】題目主要考查矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合圖形，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)得出與互相平分，，再由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴與互相平分，，∴，，∵，∴，∴．2．(1)四邊形是平行四邊形(2)或(3)【分析】（1）利用三角形全等可得則即可證明；（2）分為兩種情況，一種是四邊形為矩形，另一種是為矩形，利用即可求解；（3）根據(jù)菱形對角線平分且垂直可證明四邊形為菱形，再利用勾股定理即可求解.【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：由題意得：，∵四邊形是矩形，∴，，，∵分別是中點，，，，，，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖1，連接，由（1）得，，，∴四邊形是矩形，∴，①如圖1，當四邊形是矩形時，∴，∵，∴，∴；②如圖2，當四邊形是矩形時，∵，，∴，∴；綜上，四邊形為矩形時或；（3）解：如圖3，M和N分別是和的中點，連接，，，與交于O，∵四邊形為菱形，∴，，，∴，，∴四邊形為菱形，∴，設(shè)，則，由勾股定理可得：，即：，解得：，∴，即，∴當時，四邊形為菱形．【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是熟記特殊四邊形的判定與性質(zhì)，在解題中靈活運用.3．(1)(2)該建筑的高度為【分析】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式、矩形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．解題關(guān)鍵在于：（1）利用平行線性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和公式求角度；（2）通過作輔助線構(gòu)造矩形和直角三角形，利用矩形性質(zhì)和三角函數(shù)來求解線段長度，進而得到建筑高度．（1）要求的度數(shù)，已知且，可先得出和的度數(shù)，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式（邊形內(nèi)角和為，五邊形內(nèi)角和是），用內(nèi)角和減去已知的、、、的度數(shù)，即可求出．（2）求建筑的高度，通過作輔助線，過點作，過點作，將建筑高度分成和兩部分．先根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)得到，再通過角度關(guān)系求出，最后利用三角函數(shù)求出，兩者相加得到建筑高度．【詳解】（1）解：，垂直于地面，．

，，在五邊形中，

．（2）解：過點作，垂足為，再過點作，垂足為．

，，四邊形為矩形．．

，．

，．

該建筑的高度為．4．(1)(2)仍然成立，四邊形是平行四邊形，證明見解析(3)見解析【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．（1）設(shè)相交于點，證明，即可得到結(jié)論；（2）證明，則，證明，則，進一步即可證明，得到且，即可證明結(jié)論成立；（3）連接和相交于點O，連接，證明同理，，證明點P在線段上，則，即可證明結(jié)論．【詳解】（1），證明：設(shè)相交于點，∵將矩形繞點A旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，即（2）仍然成立，四邊形是平行四邊形.證明：∵四邊形和都是矩形∴∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴在和中，，∴∴∵∴∴∴且∴四邊形是平行四邊形；（3）連接和相交于點O，連接，∵四邊形是矩形，和相交于點O∴由（1）可知，∴∴點P，A，B，C，D都在以O(shè)為圓心，以為半徑的圓上∴同理，∴點P在線段上又∵∴點P是線段的中點5．(1)2(2)在動點P運動的過程中，的值為定值(3)【分析】（1）解直角三角形，可求出，根據(jù)余弦定義可求出，然后結(jié)合D是中點求解即可；（2）過點P作于點M，延長交BC于點N．證明，得出，解直角三角形，求出，，則，然后代入計算即可；（3）由（2）中，可求，在中，根據(jù)勾股定理可求出，然后代入化簡即可．【詳解】（1）解：過點P作于點G，點P在線段的垂直平分線上，，，，，四邊形為矩形，，，，在中，，，在中，，，由題意得：，，，，，答：當t的值為2時，點P在線段的垂直平分線上．（2）解：在動點P運動的過程中，的值為定值．過點P作于點M，延長交于點N．，四邊形為矩形，，，，，，，，，，由（1）知：，在中，，，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，答：在動點P運動的過程中，的值為．（3）解：由（2）知：，四邊形是矩形，，在中，，由勾股定理得，，答：y與t之間的關(guān)系式為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相關(guān)性質(zhì)定理進行推理論證是解題的關(guān)鍵．6．(1)，(2)存在，【分析】本題考查列代數(shù)式，平行四邊形、矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定．（1）由運動的速度即可表示長，的長；（2）根據(jù)矩形的判定列方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，，∵，∴故答案為：，；（2）解：存在，在四邊形中：，∴當時，四邊形是矩形，∴，解得：，∴當時，四邊形是矩形．7．（1）；（2）的面積為或；（3）64【分析】（1）如圖，由旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形是矩形，，，得出，勾股定理求出，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出，從而得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，求出，即可求出．（2）①當直線經(jīng)過中點時，連接，由旋轉(zhuǎn)得：，證明，得出，根據(jù)四邊形是矩形，得出，即可得，，證明，在中，設(shè)，則，，由勾股定理列方程得出，解出，得出，根據(jù)即可求解；②當直線經(jīng)過中點時，，由旋轉(zhuǎn)得：，，證明，得出，設(shè)，則，則，在中，由勾股定理得，化簡得，求出，再根據(jù)即可求解；③直線不經(jīng)過、的中點．（3）如圖所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，過點作交延長線于點．則，則最大時，在繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，以C，E，F(xiàn)三點構(gòu)成的面積最大值，根據(jù)，得出，如圖所示，當最大時最大，此時、、三點共線，點和點重合，此時，求出．【詳解】（1）解，如圖，由旋轉(zhuǎn)得，，∵四邊形是矩形，，，∴，∵點O是斜邊的中點，，，，，即，∴，∴．（2）解：①當直線經(jīng)過中點時，連接，由旋轉(zhuǎn)得：，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，，∴，在中，設(shè)，則，則，由勾股定理得，即，解得：，∴，∴；②當直線經(jīng)過中點時，，由旋轉(zhuǎn)得：，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，由勾股定理得，即，化簡得，解得：（舍去），∴；③直線不經(jīng)過、的中點．綜上，的面積為或．（3）如圖所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，過點作交延長線于點．則，則最大時，在繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，以C，E，F(xiàn)三點構(gòu)成的面積最大值，，，如圖所示，當最大時最大，此時、、三點共線，點和點重合，此時，．【點睛】該題是幾何綜合題，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解題的關(guān)鍵是分類討論和數(shù)形結(jié)合．8．(1)(2)圓弧形門洞的拱高為(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理求得矩形鄂的對角線長即可．（2）設(shè)弧的中點為，作于，利用垂徑定理，三角形中位線定理，結(jié)合所求解答即可．（3）根據(jù)陰影部分的面積，依據(jù)面積計算公式解答即可．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，．．的半徑為．（2）解：如圖，設(shè)弧的中點為，作于，由對稱性可知，過圓心，則，，．圓弧形門洞的拱高為．（3）解：．理由如下：的面積，．，，．．陰影部分的面積．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，扇形面積公式，圓的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．9．(1)6；(2)證明見解析(3)作圖見解析，2(4)2，3，【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理分別求得，即可求解；（2）根據(jù)，，即可得證；（3）在中，根據(jù)列式計算，即可求解．（4）根據(jù)題意，分三種情況討論，①當經(jīng)過的中點時，②當重合時，③當經(jīng)過的中點時，分別畫出圖形，解直角三角形，即可求解．【詳解】（1）在中，，，，∴，；故答案為：6；．（2）證明：∵，∴∵，∴∵∴（3）解：如圖，∵四邊形是矩形，∴∴∴∴，在中，∴解得：（4）解：①當經(jīng)過的中點時，符合題意，如圖∴由（3）可得∴是等邊三角形，∴，由（3）可得，∴∴；②當重合時，符合題意，如圖，∴③當經(jīng)過的中點時，符合題意，如圖∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．綜上所述，所有符合條件的的長為2，3，．【點睛】本題考查了動點問題，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，作垂線，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．(1)①和；②或(2)或【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，熟練掌握新定義，是解題的關(guān)鍵：（1）①根據(jù)新定義，作圖后，進行判斷即可；②易得直線過，，確定矩形的護衛(wèi)點的范圍，數(shù)形結(jié)合確定點的橫坐標的范圍即可；（2）先確當矩形的護衛(wèi)點的范圍，求出直線的解析式，分線段在矩形的下方和上方，兩種情況，進行討論求解即可．【詳解】（1）①如圖，點繞點旋轉(zhuǎn)得到點，點在矩形的內(nèi)部，點繞點旋轉(zhuǎn)得到點，點在矩形的邊上，故點和是矩形的“護衛(wèi)點”，繞矩形邊上一點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，不在矩形的內(nèi)部或邊上，故不是矩形的“護衛(wèi)點”；故答案為：和；②∵，∴當時，，當時，則：，∴直線過，，如圖，由新定義可知，矩形的護衛(wèi)點所在的位置為矩形的邊上或內(nèi)部且在矩形的外部，由圖可知：上的點的橫坐標為，的縱坐標為，直線與邊的交點的橫坐標為，與邊的交點的縱坐標為6；當時，則：，由圖象可知，點的橫坐標的取值范圍為：或；（2）∵點，，，，∴四邊形為邊長為3，2的矩形，由新定義可知，四邊形的護衛(wèi)點應(yīng)該在以邊長為9，6的矩形的邊上和內(nèi)部且在矩形的外部，如圖：∵，，∴點在點的右上方，點在軸上，設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，∴，∴，當線段在矩形的下方時，如圖，當點恰好在邊上時，此時，符合題意；當線段恰好經(jīng)過點時，把代入，得：，解得：，∴當時，線段上的每一個點都是矩形的“護衛(wèi)點”；當線段在矩形的上方時，如圖，當線段經(jīng)過點時，把代入，得：，解得：，當點恰好在邊上時，此時，解得：∴當時，線段上的每一個點都是矩形的“護衛(wèi)點”；綜上：或．11．（1）見解析；（2），，；（3）【分析】（1）當時，，則矩形是正方形，再證明即可得解；（2）延長，交于點，由（1）可知：，由全等三角形的性質(zhì)可得，，解直角三角形得出，證明，由相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）證明得出，設(shè)，則，，，，證明得出，設(shè)，求出，，，再證明即可得解．【詳解】解：（1）證明：當時，，矩形是正方形，，，，，，，在和中（2）延長，交于點，由（1）可知：，．點是中點，，，，，因為，則，．，，，，，（3）由（1）得，又在矩形中，，設(shè)，，，由（1）得，，設(shè)，，，，，在矩形中，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)見解析(3)①；②或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，進而得出，即可證明，可得，進而可得；（2）過點作，截取，連接，即可求解；（3）①證明，即可求解；②分類討論，當與射線交于點，過點作于點，根據(jù)得出，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；當線段與射線交于點，同理可得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)可得∴，∵在矩形中，，∴∴∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：①如圖，由旋轉(zhuǎn)可得∴是等腰直角三角形，∵，∴∵∴，∴∴∴②如圖，當與射線交于點，過點作于點由（1）可得∴，∵，∴∴即∵∴∴∴，則∵∴∴∴∵∴∴；②如圖，當線段與射線交于點，同理可得，，，∴，∴，則，∵，∴，∴∴，解得：∴綜上所述，的長度為或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，基本作圖，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．(1)3(2)(3)，【分析】（1）只要證明即可解決問題；（2）如圖，連接，作于Q，想辦法證明，可得，由此即可解決問題；（3）①如圖3中，當點N與D重合時，x的值最小，的面積最大，在中，，推出S的最大值．②如圖4中，當點M在上時，x的值最大，的面積最?。驹斀狻浚?）解：如圖1中，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖，連接，作于Q，則，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵矩形中，，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴.∴S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）解：①如圖3中，當點N與D重合時，x的值最小，的面積最大，在中，，∴S的最大值．②如圖4中，當點M在上時，x的值最大，的面積最小，此時易得，∵，∴，∴；故答案為：；【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會利用一次函數(shù)的性質(zhì)確定最值問題．14．(1)；(2)；(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，由矩形性質(zhì)知，再在中根據(jù)勾股定理可得；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，可得，由勾股