8.1.1 變量的相關關系 課件(共22張)2024-2025學年高二下學期數(shù)學選擇性必修第三冊人教A版

1人教A版2019選擇性必修第三冊第八章《成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析》

在必修課程中，我們學習了單個變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計特征的刻畫等知識與方法．例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，用方差刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度等．這些方法主要適用于通過樣本認識單個變量的統(tǒng)計規(guī)律．

在現(xiàn)實中，我們還經(jīng)常需要了解兩個或兩個以上變量之間的關系．例如，教育部門為掌握學生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；商家要根據(jù)顧客的意見改進服務水平，希望了解哪些因素影響服務水平，以及這些因素是如何起作用的；等等．

為此，我們需要進一步學習通過樣本推斷變量之間關系的知識和方法．

本章的學習內(nèi)容有成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性、一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表等，這些知識與方法在解決實際問題中非常有用.可以發(fā)現(xiàn)，兩個隨機變量的相關性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進行分析；利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機關系，進行預測；利用2×2列聯(lián)表可以檢驗兩個隨機變量的獨立性.

本章的學習對于提高我們解決實際問題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模等素養(yǎng)都是非常有幫助的.

如果變量y是變量x的函數(shù)，那么由x就可以唯一確定y.然而，現(xiàn)實世界中還存在這樣的情況：兩個變量之間有關系，但密切程度又達不到函數(shù)關系的程度.例如，人的體重與身高存在關系，但由一個人的身高值并不能確定他的體重值.那么，該如何刻畫這兩個變量之間的關系呢?下面我們就來研究這個問題.8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性

我們知道，一個人的體重與他的身高有關系.一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小.但身高并不是決定體重的唯一因素.

例如生活中的飲食習慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.1.相關關系：8.1.1變量的相關關系

兩個變量具有相關關系的事例在現(xiàn)實中大量存在.例如：1.子女身高y與父親身高x之間的關系.一般來說，父親的個子高，其子女的個子也會比較高；父親個子矮，其子女的個子也會比較矮.但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結構、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高.2.商品銷售收入y與廣告支出x之間的關系.一般來說，廣告支出越多，商品銷售收人越高.但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質量、居民收入等因素有關.

兩個變量具有相關關系的事例在現(xiàn)實中大量存在.例如：3.空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關系.一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會上升.但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素.4.糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關系.在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)量就越高.但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質量、降水量、田間管理水平等因素的影響.

因為在相關關系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數(shù)去描述變量之間的這種關系.對上述各例中兩個變量之間的相關關系，我們往往會根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗作出推斷.“經(jīng)驗之中有規(guī)律”，經(jīng)驗的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)驗推斷又有不足.例如，不同經(jīng)驗的人對同一情形可能會得出不同結論，不是所有的情形都有經(jīng)驗可循等.因此，在研究兩個變量之間的相關關系時，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構建適當?shù)哪Ｐ?，再利用模型進行估計或推斷.

變量的相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別和聯(lián)系：相同點：兩者均是兩個變量之間的關系；不同點：①函數(shù)關系是一種確定的關系，如勻速直線運動中時間t與路程s的關系，相關關系是一種非確定的關系，如一塊農(nóng)田的小麥產(chǎn)量與施肥量之間的關系；②函數(shù)關系是兩個隨機變量之間的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系；③函數(shù)關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．練習：下列關系中，屬于相關關系的是__________①正方形的邊長與面積之間的關系②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關系③出租車打車費與行駛的里程④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系②④兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.相關關系：探究：在對人體的脂肪含量和年齡之間關系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，如下表所示.表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結果，它們構成了成對數(shù)據(jù).編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎？

為了更加直觀地描述上述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關系，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征、用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表中每個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成了如下圖所示的統(tǒng)計圖.我們把這樣的統(tǒng)計圖叫做散點圖.

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應的脂肪含量值呈現(xiàn)增加的趨勢.這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關關系.

如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這兩個變量負相關.

由圖可推斷脂肪含量與年齡這兩個變量正相關.思考：（1）兩個變量負相關時，成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖有什么特點？（2）你能舉出生活中兩個變量正相關或負相關的一些例子嗎？

散點圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關系的一種直觀方法．觀察下面的散點圖，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關性，而且從整體上可以看出散點落在某條直線附近．一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關．年齡/歲脂肪含量/%

觀察散點圖8.1-2，我們發(fā)現(xiàn)：圖(1)中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個變量具有相關性，但不是線性相關；類似地，圖(2)中的散點落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關性，但它們既不是正相關，也不是負相關；圖(3)中的散點雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個變量有什么相關性．

一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．

課堂小結：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.1.相關關系把成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.2.散點圖3.正相關與負相關一個變量隨另一個變量的增加呈現(xiàn)減小的趨勢.正相關：一個變量隨另一個變量的增加呈現(xiàn)增加的趨勢.負相關：1.舉例說明什么叫相關關系．相關關系與函數(shù)關系有什么區(qū)別？例如，身高與腳長的關系，一般來說，身高較高的人腳長也會較長，但身高相同的人腳長末必相同；

受教育程度和收人水平的關系，一般來說，受教育程度高的人收入也較高，但受教育程度相同的人收入未必相同．

相關關系是指從總的變化趨勢來看，變量之間存在著某種關系，但這種關系又不能用函數(shù)關系完全表達出來．相關關系是不確定性的數(shù)量關系，對其中一個變量的每個取值，另一個變量可能有多個不同的取值；而函數(shù)關系是確定性的數(shù)量關系，對自變量的每個取值，因變量有唯一確定的值與之對應．相同點：均是指兩個變量的關系．不同點：函數(shù)關系是一種確定的關系，因果關系；而相關關系是一種非確定性關系，也可能是伴隨關系．

請看課本P95：練習12.根據(jù)下面的散點圖，判斷圖中的兩個變量是否存在相關關系．負相關非線性相關不相關正相關

請看課本P95：練習23.下表給出了一些地區(qū)的鳥的種類數(shù)與該地區(qū)的海拔高度的數(shù)據(jù)，鳥的種類數(shù)與海拔高度是否存在相關關系？如果是，那么這種相關關系有什么特點？地區(qū)ABCDEFGHIJK海拔/m1250115810674577017316106701493762549鳥的種類/種363037111113171329415海拔高度/m解：從散點圖中散點的分布看，鳥的種類數(shù)與海拔高度正相關，鳥的種類數(shù)在海拔高度1000m以上的明顯多于在海拔高度1000m以下的．但從局部看，不管是在海拔高度1000m以上，還是在海拔高度1000m以下，鳥的種類數(shù)和海拔高度正相關都不明顯

請看課本P95：練習3例：以下是某地不同樓盤新房的銷售價格y(單位:萬元)和面積x(單位:m2)的數(shù)據(jù)解：面積x(m2)11511080135105銷售價格y(萬元)24.821.619.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖；(2)判斷新房的銷售價格和面積之間是否具有相關關系．如果有相關關系，是正相關還是負相關？(1)數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖所示.(2)通過以上數(shù)據(jù)對應的散點圖可以判斷，新房的銷售價格和面積之間具有相關關系，且是正相關.1.下列所給出的兩個變量之間存在相關關系的為(

)A.學生的座號