夯基專題8正弦定理與余弦定理解三角形（教師版）

夯基專題8正弦定理與余弦定理解三角形考向考向一利用正、余弦定理求解基本量【核心知識(shí)】1.在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解強(qiáng)調(diào)：1．三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.【典例精講】例1.(2023·北京市豐臺(tái)區(qū)·期中考試)在△ABC中，acos?B-32A.π6 B.π3 C.2π3解：因?yàn)?/p>

acos?B-32b=c因?yàn)?/p>

sinC=sin所以

-3因?yàn)?/p>

0<B<π

，則

sinB≠0

，所以

cosA=-因?yàn)?/p>

A∈(0,π)

，所以

A=5π6故選：D．例2.(2023·重慶市縉云教育聯(lián)盟聯(lián)考)若滿足∠ABC=π4,AC=6,BC=k的△ABC恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.0,6 B.0,6∪62 C.解：由正弦定理可得

asinA故

sinA=a由

A∈0,3π4

且

故

0<sinA≤22

所以

0<k≤6

或

k=62

，即

k∈故選：B．【拓展提升】練11.(2023·江西省萍鄉(xiāng)市·期末考試)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若b=4+22-c，cosB=34，tanC=-解：由題意可得tanC=sinCcosC=-7sin2C+cos2C=1，且C為鈍角，

解得sinC=144，cosC=-24，

因?yàn)閏osB=34，且B為三角形的一個(gè)內(nèi)角，故sinB=1-練12.(2023·山東省威海市·模擬題)克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和．已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，且AC=3BD，∠ADC=2∠BAD.若AB?CD+BC?AD=43，則圓OA.4 B.2 C.3 D.解：由托勒密定理，得AC?BD=AB?CD+BC?AD=43，

因?yàn)锳C=3BD，所以BD=2，

設(shè)圓O的半徑為R，

由正弦定理，得ACsin∠ADC=BDsin∠BAD=2R，

又AC=3BD，所以sin∠ADC=考向考向二和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題【核心知識(shí)】三角形常用面積公式1.S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；2.S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；3.S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(其中r為三角形內(nèi)切圓半徑)．【典例精講】例3.(2023·江西省南昌市·聯(lián)考)鈍角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c，若A=π3,a=7,c=3，則△ABCA.338 B.332 C.解：由A=πcosA=b2解得b=1或b=2．又∵△ABC是鈍角三角形，比較三邊a,b,c的大小可知，c為最大邊，∴角C為最大角，即C為鈍角．①當(dāng)b=1時(shí)，cos?C=此時(shí)△ABC的面積為S=1②當(dāng)b=2時(shí)，cos?C=綜上可知，△ABC的面積為3故選C．例4.(2023·貴州省遵義市·期末考試)已知△ABC中，3AB=2AC，D為邊BC上一點(diǎn)，滿足sin∠CAD=2sin∠BAD，則BDDC=(

)A.13 B.12 C.32 D.3

解：BDDC=S△ABDS【拓展提升】練21.(2023·湖南省衡陽(yáng)市·模擬題)(多選)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知a+b:b+c:c+a=5:6:7，則下列結(jié)論正確的是(

)A.sinA:sinB:sinC=2:3:4

B.△ABC為鈍角三角形

C.若a=6，則△ABC的面積是615

D.若解：設(shè)a+b=5t,b+c=6t,c+a=7t，則a=3t,b=2t,c=4t，對(duì)于A，sinA:sinB:對(duì)于B，c最大，所以C最大，cosC=a2對(duì)于C，若a=6，則t=2，b=4,c=8，所以cosC=-所以△ABC的面積是S=12ab對(duì)于D，若正弦定理R=c△ABC的周長(zhǎng)l=9t，S=12ab所以Rr=16故選：BD練22.(2023·吉林省東北師大附中·模擬題)如圖，四邊形ABCD中∠BAC=90°，∠ABC=30°，AD⊥CD，設(shè)∠ACD=θ．

(1)若△ABC面積是△ACD面積的4倍，求sin2θ；

(2)若∠ADB=π6，求tanθ．

解：(1)由四邊形ABCD中∠BAC=90°，∠ABC=30°，AD⊥CD，∠ACD=θ，

設(shè)AC=a，則AB=3a，AD=asinθ，CD=acosθ，

由題意S△ABC=4S△ACD，則12a?3a=4×12acosθ?asinθ，可得sin2θ=32．

(2)在△ABD中，由正弦定理BDsin∠BAD=考向三正、余弦定理的考向三正、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用考點(diǎn)一判斷三角形的形狀①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系．②化角：通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．考點(diǎn)二求解幾何計(jì)算問(wèn)題①根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示；②選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理．強(qiáng)調(diào)：解決以平面幾何為載體的問(wèn)題，主要注意以下幾方面：1.充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)；2.出現(xiàn)多個(gè)三角形時(shí)，從條件較多的三角形突破求解；3.四邊形問(wèn)題要轉(zhuǎn)化到三角形中去求解；4.通過(guò)三角形中的不等關(guān)系(如大邊對(duì)大角，最大角一定大于等于π3考點(diǎn)三用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題中的常用術(shù)語(yǔ)1．仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)．2．方向角相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等．3．方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．4．坡度(又稱坡比)坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比．【典例精講】例5.(2023·湖北省武漢市月考)(多選)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下面結(jié)論正確的是(

)A.若acos?A=bcos?B=ccos?C，則△ABC一定是等邊三角形；

B.若acosA=bcosB，則△ABC一定是等腰三角形；解：對(duì)于A，若acosA=bcosB=ccosC，則sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，

即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等邊三角形，故A正確；

對(duì)于B，若acosA=bcosB，則結(jié)合正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，

即sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，

則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若bcosC+ccosB=b，

由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sinB，

故sin(B+C)=sinB，即sinA=sinB，

而0°<A<180°，0°<B<180°，且A+B<180°，

故可得A=B，則△ABC是等腰三角形，故C正確；

對(duì)于D例6.(2023·湖南省岳陽(yáng)市·模擬題)如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走am到達(dá)B處，在B處測(cè)得山頂P的仰角為γ.想在山高的12處的山腰建立一個(gè)亭子，則此山腰高為(

)

A.12asinαsin(γ-α)sin(γ-β) 解：由題意可知，

∠PAQ=α

，

∠PBC=γ

，

∠PAB=α-β，

分別在

Rt△APQ

，

Rt△BPC

中，

∠APQ=π2所以

∠APB=∠APQ-∠BPQ=γ-α

，又

sin∠ABP=sin[π-(∠APB+∠BAP)]在

△ABP

中，由正弦定理可得，

ABsin∠APB即

asin(γ-α)=APsin(γ-β)在

Rt△APQ

中，

PQ=AP所以山腰高為

12PQ=故選：C．【拓展提升】練31.(2023·湖北省襄陽(yáng)市月考)(多選)在△ABC中各角所對(duì)得邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的有

(

)A.acosA=bcosB=ccosC

則△ABC為等邊三角形；

B.已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，則∠C=60°；

C.已知a=7，b=43解：對(duì)于A：∵acosA=bcosB=ccosC，

由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

代入得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，

∴tanA=tanB=tanC，

∴A=B=C，則△ABC是等邊三角形，故A正確；

對(duì)于B：∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab，則(a+b)2-c2=3ab，

∴a2+b2-c2=ab，則cosC=練32.(2023·湖北省竹溪一中月考)如圖，為測(cè)量某雕像AB的高度及觀景點(diǎn)C與F之間的距離(B,C,D,F在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點(diǎn)B，且B，C，D三點(diǎn)共線)，某校研究性學(xué)習(xí)小組同學(xué)測(cè)得∠BCF=60°，CD=16(3-1)米，且在C，D，F(xiàn)三點(diǎn)處，頂點(diǎn)A的仰