2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練-銳角三角函數(shù)與圓綜合計算

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練銳角三角函數(shù)與圓綜合計算1．如圖，在圓中，弦的垂直平分線交弦于點，交圓于點、，連接，，圓的半徑為．(1)若，求弦的長（用的代數(shù)式表示）；(2)證明：；(3)若是中點，求的長（用的代數(shù)式表示）．2．如圖1，以點為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點A、B、C、D，直線與相切于點H，交x軸于點E，交y軸于點．(1)填空：的長為______；的長為______；的半徑為______；的長為______；(2)如圖2，點P是直徑上的一個動點（不與C、D重合），連結(jié)并延長交于點．①當(dāng)時，求的值；②設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．3．如圖，已知是的外接圓，，是圓上一點，是延長線上一點，連接、，且，．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長．4．如圖，為的直徑，點，為圓上的不同于，的兩點，，連接，過點作的切線分別交、的延長線于點，．(1)求證：；(2)當(dāng)，圓的半徑為2，求．5．如圖，的頂點，，在同一個圓上，點在上，且，連結(jié)并延長交于點，連結(jié)并延長交于點，交圓于點，連結(jié)，．(1)若，，求．(2)若為圓的直徑，①求的度數(shù)；②求證：．6．已知點是以為直徑的圓上一點，連結(jié)，在上截取，連結(jié)并延長交圓于點，連結(jié)，設(shè)．(1)如圖1，若時，求度數(shù)；(2)如圖2，過點作，證明：；(3)如圖3，若，連結(jié)并延長，交的延長線于點，設(shè)的面積為，設(shè)面積為，用含的代數(shù)式表示．7．如圖，是半圓O的直徑，動點C在半圓上，平分與圓O交于點D，連接．(1)求證：；(2)過點B作，交的延長線于點E，設(shè)的面積為的面積為．①若，求；②若，則___________（直接寫出答案）8．如圖，為的直徑，C是圓上一點，D是的中點，于點F，延長至點Q，連接，，(1)求證：是的切線；(2)若點P是上的一點，連接．①求的值；②若為的角平分線，求的長．9．如圖，P是的直徑延長線上的一點，PB切于點B，且，D是圓上的一點，連接，，，，．

(1)求證∶；(2)若，，求的長．10．如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作圓，與相切于點，過點作交的延長線于點，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．11．如圖，是的直徑，點是圓上的一點，于點，交于點，連接，若平分，過點作于點交于點．

(1)求證：是的切線；(2)延長和交于點，若，求的值；(3)在（2）的條件下，求的值．12．如圖，在中，，點D是上一點，且，點O在上，以點O為圓心的圓經(jīng)過C，D兩點．

(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長．13．如圖，的內(nèi)接三角形中，，，，點在圓上運動．(1)求證：為的切線；(2)若三角形是等邊三角形時，，求的最大值；(3)如圖，連接，，當(dāng)，，時，設(shè)此時的面積為，的面積為，求的值．14．如圖，在中，，E為邊上一點，過E、B、C三點的圓交線段于點D，點A關(guān)于直線的對稱點F落在上，連．(1)求證：；(2)若，點E在運動過程中，當(dāng)點F關(guān)于直線的對稱點正好落在的邊上時，求的長；(3)當(dāng)時，設(shè)的面積為，的面積為，求的值．15．投影幾何，是研究圖形的投影性質(zhì)，即它們經(jīng)過投影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科．在經(jīng)典幾何學(xué)中，投影幾何處于一個特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)系起來．我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上點的對應(yīng)關(guān)系，用直線上點的位置刻畫圓上點的位置．如圖，是的直徑，直線是的切線，為切點．，是圓上兩點（不與點重合，且在直徑的同側(cè)），分別作射線，交直線于點，點．(1)如圖1，當(dāng)，長為時，求的長；(2)如圖2，當(dāng)，時，求的值；(3)如圖3，當(dāng)，時，連接，，直接寫出的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練——銳角三角函數(shù)與圓綜合計算》參考答案1．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理可得，結(jié)合，可得，最后根據(jù)，即可求解；（2）設(shè)交于點，根據(jù)垂直平分弦，，可得，結(jié)合可推出，得到，結(jié)合，即可得證；（3）由可得，推出，由是中點，可得，證明，得到，即，即可求解．【詳解】（1）解：連接，，，，，；（2）證明：設(shè)交于點，垂直平分弦，，，，，，即，，；（3），，又，．是中點，，，，，，即，，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．2．(1)5，，2，2(2)①；②y與x的函數(shù)關(guān)系式為【分析】（1）利用直線解析式求出點E和點F坐標(biāo)，進而得到和的長度，再根據(jù)邊角關(guān)系可得，繼而得到和；（2）①易證，從而求出的長，進而即可得解；②構(gòu)造8字型相似，作軸于點K，軸于點J，則，，解直角三角形可得，進而得到、和，再在中，，進而建立等式求解．【詳解】（1）解：直線交x軸于點E，交y軸于點F，令得，，解得，；令得，，；，，連接，則，，，，，即的半徑為2；，，是等邊三角形，；故答案為：5，，2，2；（2）解：①連接、，，，，，，，，為直徑，，，，；②由①知，，如圖，作軸于點K，軸于點J，則，，，，，，，在中，，，，，，，在中，，，即，整理得，與x的函數(shù)關(guān)系式為．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點、特殊直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性強，難度大，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由，證明是的直徑，再證明，則，即可證明直線是是的切線；（2）如圖，過作于，根據(jù)，證明，再進一步求解即可．【詳解】（1）證明：，是⊙O的直徑，

，，∵，，，，，，

，

是的半徑，且，

直線是的切線；（2）解：，，，如圖，過作于，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．4．(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，三角函數(shù)比等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用．（1）利用圓的切線的性質(zhì)定理得出，根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，以及等量代換，得出，證出可得；（2）利用直徑定理得出，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得出，進而求出．【詳解】（1）證明：連接，為的切線，．，，，，．（2）解：連接，為的直徑，．又，，，半徑為2，，，．5．(1)(2)，見解析．【分析】（1）作于，由等腰三角形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理求出的長，即可求出；（2）由圓周角定理和平行四邊形的性質(zhì)先證，得出，可求的度數(shù)；由圓周角定理、等腰三角性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)，證得四邊形為矩形，由可知，則矩形為正方形，可得，解直角三角形，可知．【詳解】（1）解：作于，．，．四邊形為平行四邊形，．．．（2）解：為圓的直徑，．四邊形為平行四邊形，，，．．．，．，．，．在和中．．．證明：連接交于．為圓的直徑，．，．．，．，四邊形為矩形．，．矩形為正方形．．．即．，，．【點睛】本題考查了勾股定理、圓周角的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余，解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）連接，作于點，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由圓周角定理可得，則，據(jù)此求解；（2）連接，由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得，由相似三角形的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由對頂角的性質(zhì)可得，則，推出，據(jù)此證明；（3）作的垂直平分線，交于，則，由外角的性質(zhì)可得，由（2）知，則，結(jié)合三角函數(shù)的概念可得，設(shè)，由勾股定理可得，表示出，進而可得，由圓周角定理可得，由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行解答．【詳解】（1）解：連接，作于點，如圖所示：，，，是的直徑，，，，，；（2）證明：連接，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：作的垂直平分線，交于，連接，如圖所示：，，，由（2）知：，，，，設(shè)，，，，，在中，，則，，是直徑，，，，，即．【點睛】本題考查圓綜合，難度較大，涉及等腰三角形性質(zhì)、圓周角定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、對頂角相等、垂直平分線性質(zhì)、外角性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)①②1【分析】本題考查圓周角定理，解直角三角形：（1）圓周角定理結(jié)合角平分線的定義，得到，即可得證；（2）①如圖，過作于，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義及等腰三角形性質(zhì)即可得答案；②同①進行求解即可．【詳解】（1）解：∵平分，，∵，∴，∴；（2）解：①過作于，如圖所示：，即，，，，，即，設(shè)，則，，，，，，；②同①可知：當(dāng)時，則：，∴，∴點與點重合，∴為等腰直角三角形，∴，∴．故答案為：1．8．(1)詳見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)，證明，再根據(jù)圓周角定理得出，即可證明，即可證明；（2）①連接，證明，設(shè)的半徑為，利用相似三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；②過點作交于點，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．本題考查圓的綜合應(yīng)用，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接，．，，，，為的直徑，，，是的切線；（2）解：①如圖，連接，是的中點，，，為的直徑，，，，．，設(shè)的半徑為，則，解得，經(jīng)檢驗，是方程的解，，，，，．②如圖，過點作交于點，，，是的角平分線，，，，，，，．9．(1)見解析(2)【分析】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，解直角三角形的知識．解題的關(guān)鍵是掌握圓的切線的性質(zhì)和圓周角定理．（1）連接，可得，由，可得，因為，所以，可得；（2）作于，在中，，，可得，，在中，可求得，，在中，可求得，根據(jù)，即可得出的長．【詳解】（1）如圖，連接，

點是圓直徑延長線上的一點，切圓于點，，，，，，，；（2）如圖，作于，

為的直徑，，，，，，，，，，，，，．10．(1)見解析；(2)．【分析】（）過點作于，證明，得到，即可求證；（）解直角三角形得，進而由勾股定理得，利用可得，即得，，可得，又由余角性質(zhì)得，得到，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作于，則，∵是的切線，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴為的切線；（2）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）如圖1，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由角平分線的定義得到，等量代換得到，根據(jù)平行線的判定定理得到，由平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進而依據(jù)解答即可；（3）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

，，平分，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，設(shè)，則，，，，；（3）解：由（2）知：，，，，，，，，，，∽，．【點睛】此題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點有：平行線的判定和性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)和判定，切線的判定，三角函數(shù)定義以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．掌握切線的判定和相似三角形的性質(zhì)和判定是解本題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，解直角三角形．熟練掌握切線的判定方法，正弦的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進而得到，即可得出是的切線；（2）解直角三角形，求出的長，進而求出的長，再解直角三角形，求出的長即可．【詳解】（1）證明：直線與相切，理由如下：連接，則：，

∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，，的半徑為3，∴，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，，則：，∴，∴．13．(1)見解析(2)4(3)【分析】（1）連接并延長，交于點，連接，證得，再利用等腰三角形三線合一性質(zhì)證得，再用平行線性質(zhì)可證得結(jié)果；（2）過點C作，先求得，當(dāng)點D與點A重合時，最大，此時也最大，據(jù)此求解即可；（3）如圖，分別延長相交于點P，過點D作，過點C作，連接并延長，交于點，連接，設(shè)，則，再分別用含有a的代數(shù)式表示出及的面積，再求解即可．【詳解】（1）證明：連接并延長，交于點，連接，，，，，，，，，是的切線；（2）如圖，過點C作，三角形是等邊三角形時，，，在中，，，點在圓上運動．當(dāng)點D與點A重合時，最大，為，此時也最大，得，的最大值為4；（3）如圖，分別延長相交于點P，過點D作，過點C作，連接并延長，交于點，連接，由（1）結(jié)論得，,設(shè)，則，由勾股定理得：

，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，【點睛】本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點有：切線的性質(zhì)與判定定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，題目的綜合性較強，對學(xué)生的綜合解題能力要求很高，是一道不錯的中考壓軸題．14．(1)詳見解析(2)的長為或6(3)【分析】（1）利用對稱的性質(zhì)得到，利用圓周角定理得到，進而得到，最后根據(jù)直角三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)即可解題；（2）根據(jù)點F關(guān)于直線的對稱點正好落在的邊上，分兩種情況討論，①當(dāng)點F關(guān)于直線的對稱點正好落在的邊上G點時，連接，②當(dāng)點F關(guān)于直線的對稱點正好落在的邊上I點時，設(shè)與交于點M，連接，結(jié)合等邊三角形，解直角三角形，以及等腰直角三角形性質(zhì)和判定求解，即可解題；（3）作交于J，連接，作于L，作于K，利用等腰三角形性質(zhì)和圓周角定理得到，設(shè)，則，結(jié)合勾股定理推出，，進而推出，利用對稱的性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)得到證明，利用相似三角形性質(zhì)得到與，證明是等腰直角三角形，即可得到，進而得到，即可解題．【詳解】（1）證明：點A、點F關(guān)于直線對稱，，，，，又，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，分兩種情況：①當(dāng)點F關(guān)于直線的對稱點正好落在的邊上G點時，連接，如