長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，的圖象在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，若圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．2．在《九章算術(shù)）方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無(wú)所失矣．”注述中所用的割圓術(shù)是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在中“…”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，這可以通過(guò)方程確定出來(lái)，類似地，可得的值為（）A． B． C． D．3．在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．4．在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，若q＝2，且a2與2a4的等差中項(xiàng)為18，則S5＝()A．－62 B．62 C．32 D．－325．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，，則（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝根據(jù)以往二人的比賽數(shù)據(jù)分析，甲在每局比賽中獲勝的概率為，則本次比賽中甲獲勝的概率為（）A． B． C． D．8．有個(gè)人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．9．芻薨（），中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載“芻薨者，下有褒有廣，而上有褒無(wú)廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱，芻薨字面意思為茅草屋頂”，如圖，為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則搭建它（無(wú)底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為（）A．24 B． C．64 D．10．年平昌冬奧會(huì)期間，名運(yùn)動(dòng)員從左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．11．曲線作線性變換后得到的回歸方程為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．12．下列關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是（）A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是編號(hào)B．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是解釋變量和預(yù)報(bào)變量C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)則的最大值是________.14．7個(gè)人站成一排，其中甲一定站在最左邊，乙和丙必須相鄰，一共有______種不同排法15．半徑為的圓形鐵片剪去一個(gè)扇形，用剩下的部分卷一個(gè)圓錐．圓錐的體積最大值為_(kāi)_____16．已知，，，，且∥，則＝．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．18．（12分）數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在四邊形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的長(zhǎng).20．（12分）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng).21．（12分）已知數(shù)列（）的通項(xiàng)公式為（）.（1）分別求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和與系數(shù)之和；（2）求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）記（），求集合的元素個(gè)數(shù)（寫出具體的表達(dá)式）.22．（10分）（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得到，，即.利用導(dǎo)數(shù)的切線過(guò)點(diǎn)得到，再求函數(shù)在處的切線傾斜角的正切值和正弦值，代入式子計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.即：，解得，.所以，，切點(diǎn)為.，.切線為：.因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得.所以，.，所以.所以.故選：B本題主要考查導(dǎo)數(shù)的切線問(wèn)題，同時(shí)考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.2、B【解析】

設(shè)，可得，求解即可.【詳解】設(shè)，則，即，解得，取.故選B.本題考查了類比推理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

利用函數(shù)在連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，可得導(dǎo)函數(shù)在大于等于0恒成立即可得到的取值范圍．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在恒成立，分離參數(shù)得恒成立，即，故選D．本題考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增等價(jià)于在該區(qū)間內(nèi)恒成立．4、B【解析】

先根據(jù)a2與2a4的等差中項(xiàng)為18求出，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求S5.【詳解】因?yàn)閍2與2a4的等差中項(xiàng)為18，所以，所以.故答案為：B(1)本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，考查等差中項(xiàng)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本的計(jì)算能力.(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.5、B【解析】

直接根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解即可.【詳解】，，，即，，故選B.本題主要考查正態(tài)分布與正態(tài)曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.正態(tài)曲線的常見(jiàn)性質(zhì)有：（1）正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，且越大圖象越靠近右邊，越小圖象越靠近左邊；（2）邊越小圖象越“痩長(zhǎng)”，邊越大圖象越“矮胖”;(3)正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關(guān)于對(duì)稱，6、C【解析】

先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，然后把不等式變形為，再利用單調(diào)性求解即可．【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)镽．∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)．又根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．解答本題的關(guān)鍵是挖掘題意、由條件得到函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解，這是解答抽象不等式（即不知表達(dá)式的不等式）問(wèn)題的常用方法，考查理解和應(yīng)用能力，具有一定的難度和靈活性．7、D【解析】

根據(jù)題意，可知甲獲勝情況有三種：第一局勝、第二局勝，第一局勝、第二局負(fù)、第三局勝，第一局負(fù)、第二局勝、第三局勝，由互斥事件概率加法運(yùn)算即可求解.【詳解】甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝，甲在每局比賽中獲勝的概率為，則甲獲勝有以下三種情況：第一局勝、第二局勝，則甲獲勝概率為；第一局勝、第二局負(fù)、第三局勝，則甲獲勝概率為；第一局負(fù)、第二局勝、第三局勝，則甲獲勝概率為；綜上可知甲獲勝概率為，故選：D.本題考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】總排法數(shù)為，故選C．點(diǎn)睛：本題是排列中的相鄰問(wèn)題，用“捆綁法”求解，解決此問(wèn)題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個(gè)人，和其他3人看作是4人進(jìn)行排列，第二步這三人之間也進(jìn)行排列，然后用乘法原理可得解．9、B【解析】茅草面積即為幾何體的側(cè)面積，由題意可知該幾何體的側(cè)面為兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底長(zhǎng)為4，下底長(zhǎng)為8，高為；等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，高為．故側(cè)面積為．即需要的茅草面積至少為．選B．10、C【解析】分析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①最左邊排甲；②最左邊排乙，分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，則分兩種情況討論：①最左邊排甲，則剩下4人進(jìn)行全排列，有種安排方法；②最左邊排乙，則先在剩下的除最右邊的3個(gè)位置選一個(gè)安排甲，有3種情況，再將剩下的3人全排列，有種情況，此時(shí)有種安排方法，則不同的排法種數(shù)為種.故選：C.點(diǎn)睛：解決排列類應(yīng)用題的策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排問(wèn)題直排法處理．(3)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先集中后局部的處理方法．11、D【解析】分析：令，對(duì)函數(shù)進(jìn)行二次擬合得出a，b的值，代入計(jì)算即可.詳解：令，解得，，開(kāi)口向上，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選D.點(diǎn)睛：本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問(wèn)題，選擇對(duì)數(shù)變換是關(guān)鍵.12、C【解析】分析：根據(jù)殘差圖的定義和圖象即可得到結(jié)論．詳解：A殘差圖的橫坐標(biāo)可以是編號(hào)、解釋變量和預(yù)報(bào)變量，故AB正確；可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高．則對(duì)應(yīng)相關(guān)指數(shù)越大，故選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤.故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查殘差圖的理解，比較基礎(chǔ)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)為，結(jié)合求最值即可.【詳解】,由,,則的最大值為.本題主要考查了三角函數(shù)的化一公式及區(qū)間上求最值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14、240.【解析】分析：本題是一個(gè)排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，甲要站在最左邊，剩下6個(gè)位置，6個(gè)人排列，乙和丙必須相鄰，把乙和丙看成一個(gè)元素，同另外4個(gè)人排列，乙和丙之間也有一個(gè)排列，相乘得到結(jié)果．詳解：由題意知本題是一個(gè)排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，甲要站在最左邊，剩下6個(gè)位置，6個(gè)人排列，∵乙和丙必須相鄰，∴把乙和丙看成一個(gè)元素，同另外4個(gè)人排列，乙和丙之間也有一個(gè)排列，根據(jù)乘法原理知共有A55A22=240種結(jié)果，故答案為240點(diǎn)睛：站隊(duì)問(wèn)題是排列組合中的典型問(wèn)題，解題時(shí)要先排限制條件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒(méi)有限制條件的元素，最后要用計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果，本題的甲不影響排列．15、【解析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，構(gòu)造關(guān)于圓錐體積的函數(shù)，可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減本題正確結(jié)果：本題考查圓錐體積最值的求解，關(guān)鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構(gòu)造為關(guān)于圓錐的高的函數(shù)，從而可利用導(dǎo)數(shù)求解得到函數(shù)的最值.16、【解析】

因?yàn)?，，，由∥知，屬于，．考點(diǎn)：平行向量間的坐標(biāo)關(guān)系．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，求得，令令，解得或，分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，由題意，在上恒成立．即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，令，求得，分類討論即可求解．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，．；令，解得或．∴當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)，即時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，．由題意，在上恒成立．即即在上恒成立．1）顯然時(shí)，不等式成立；2）當(dāng)時(shí)，令，則．①當(dāng)時(shí)，只須恒成立．∵恒成立，（可求導(dǎo)證明或直接用一個(gè)二級(jí)結(jié)論：）．∴當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增；∴．∴．②當(dāng)時(shí)，只須恒成立．∵此時(shí)，即單減．∴．∴．綜上所述，．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18、（1）,；（2）.【解析】分析：（1）由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得；再求出和，進(jìn)而求出公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.詳解：解：（1），所以數(shù)列為等差數(shù)列，則；，所以，則.（2），則兩式相減得整理得.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列前項(xiàng)和，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力.錯(cuò)位相減法是必須掌握的求和方法之一：若，其中是公差為d的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.具體運(yùn)算步驟如下：1、寫出新數(shù)列的和.……（1）2、等式左右同時(shí)乘以等比數(shù)列部分的公比.……（2）3、兩式相減.（1）-（2）整理得：注意：首項(xiàng)系數(shù)為正，末項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，中間有項(xiàng).4、求.最后再化簡(jiǎn)整理為最簡(jiǎn)形式即可.19、（1）（2）【解析】

（1）先利用余弦定理求出BC=2,再利用正弦定理求出，再求的余弦值；（2）先求出,再利用正弦定理求AD得解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，即，所?由正弦定理得，所以，又因?yàn)?，所?（2）由（1）得，所以，所以，所以.本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、答案見(jiàn)解析【解析】

由題意首先求得n的值，然后結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可確定展開(kāi)式中所有有理項(xiàng).【詳解】由題意可得：，解得：，則展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，由于且，故當(dāng)時(shí)展開(kāi)式為有理項(xiàng)，分別為：，，.(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理