2026版《優(yōu)化設(shè)計大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計新高考版）第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示

第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準(zhǔn)突破目錄索引0102領(lǐng)航備考路徑新課標(biāo)核心考點20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.函數(shù)的概念與表示

T11

T6

2.函數(shù)的單調(diào)性

T7

T4T6T6T83.函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用T8T8T13T8T12T8

T4T8T6新課標(biāo)核心考點20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷4.指對冪運算及大小比較

T7T7

5.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)T6T7

T4

6.函數(shù)的圖象

T18

7.函數(shù)與方程

T10

8.函數(shù)模型及其應(yīng)用T6

T10

優(yōu)化備考策略考情分析:1.函數(shù)模塊是高考核心考查內(nèi)容之一,主要以基本初等函數(shù)或者由基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)為載體,考查定義域、值域、性質(zhì)、圖象、零點等相關(guān)知識,常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等交匯命題,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,難度中等.2.高考對函數(shù)知識的考查,重在交匯融合,還多有隱性知識考查,滲透在整卷的考查中.復(fù)習(xí)策略:1.明晰重要概念,熟練掌握常見基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì):定義域、值域、最值、奇偶性、周期性、單調(diào)性、零點等概念是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ),應(yīng)明確;二次函數(shù)、指對冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)貫穿在解決函數(shù)問題的全過程,應(yīng)熟練掌握.2.強化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練:數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法在解決函數(shù)問題中具有重要應(yīng)用,應(yīng)強化應(yīng)用意識.3.注重數(shù)學(xué)運算能力的提升:解決函數(shù)問題的過程中,代數(shù)推理、變形化簡、數(shù)值計算等貫穿其中,是影響解題成敗的關(guān)鍵因素,因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視運算能力的訓(xùn)練與提升.4.善于運用教材中函數(shù)性質(zhì)深化拓展得出的結(jié)論,快速、簡潔地解決相關(guān)問題.5.涉及抽象函數(shù)問題,注意尋找函數(shù)原型幫助分析和解決問題.課標(biāo)解讀1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.2.理解函數(shù)的三種表示方法:圖象法、列表法、解析法.會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?3.通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用.強基礎(chǔ)?固本增分知識梳理概念一般地,設(shè)A,B是非空的

,如果對于集合A中的

,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有

確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)

三要素對應(yīng)關(guān)系y=f(x),x∈A定義域

的取值范圍A

值域與x的值對應(yīng)的y值的集合{f(x)|x∈A}同一個函數(shù)如果兩個函數(shù)的

相同,

完全一致,那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)

實數(shù)集任意一個數(shù)x唯一x定義域?qū)?yīng)關(guān)系1.函數(shù)的概念

[教材知識深化]函數(shù)概念中的兩個允許,兩個不允許.(1)不允許“一對多”,允許“多對一”.(2)不允許A中存在“閑置”的元素,允許B中有“閑置”的元素.微思考定義域與值域相同的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)嗎?值域與對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)嗎?提示

定義域與值域相同的兩個函數(shù)不一定是同一個函數(shù),例如f(x)=2x與g(x)=-2x;值域與對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)不一定是同一個函數(shù),例如f(x)=x2(x≥0)與g(x)=x2(x≤0).2.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有

、圖象法、列表法.

微思考直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象的交點個數(shù)是多少?3.分段函數(shù)如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對應(yīng)方式,則稱其為分段函數(shù).解析法提示

直線x=a(a為常數(shù))與函數(shù)f(x)的圖象的交點個數(shù)是1或0.若設(shè)f(x)的定義域為D,則當(dāng)a∈D時,有1個交點,當(dāng)a?D時,有0個交點.[教材知識深化]1.分段函數(shù)的定義域是各段區(qū)間的并集,值域是各段值域的并集;2.分段函數(shù)定義域的各段區(qū)間的交集一定是空集;3.解析式中含有絕對值的函數(shù)一般都可以化為分段函數(shù);4.分段函數(shù)的圖象中,橫坐標(biāo)相同的地方不能有兩個或兩個以上的點.自主診斷

××√×2.(人教B版必修第一冊3.1.1節(jié)練習(xí)B第8題)已知函數(shù)f(x+1)=2x-3,求f(4),f(x).解

令x+1=4,得x=3,代入得f(4)=3;設(shè)x+1=t,則x=t-1,代入得f(t)=2t-5,因此f(x)=2x-5.

(-∞,0)∪(0,1]

研考點?精準(zhǔn)突破考點一函數(shù)的定義域(多考向探究預(yù)測)

A

D

A

C解析

函數(shù)f(2x-1)的定義域為(-1,2),所以-1<x<2,-2<2x<4,-3<2x-1<3,所以f(x)的定義域為(-3,3),對于函數(shù)f(1-x),由-3<1-x<3,得-2<x<4,所以函數(shù)f(1-x)的定義域為(-2,4).故選C.[對點訓(xùn)練2](2024·重慶期末)已知函數(shù)y=f(x-1)的定義域為(1,5),則函數(shù)y=f(x2)的定義域為(

)A.(-2,0) B.(0,2)C.(-2,2) D.(-2,0)∪(0,2)D解析

因為函數(shù)y=f(x-1)的定義域為(1,5),所以x-1∈(0,4),則由函數(shù)y=f(x2)可知0<x2<4,解得-2<x<0或0<x<2,函數(shù)y=f(x2)的定義域為(-2,0)∪(0,2).故選D.考點二函數(shù)的解析式

C

D

(3)已知f(x)在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),且f(x)+f(y)=f(xy)+1對任意的x∈(0,+∞)都成立,寫出一個滿足以上特征的函數(shù)f(x)=

.

1-log3x解析

因為f(x)在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),且f(x)+f(y)=f(xy)+1,所以滿足條件的函數(shù)可取f(x)=1-log3x.(4)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)-2f(-x)=2x,求f(x)的解析式.

B

(3)若f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,則f(x)的解析式為

.

f(x)=x2-x+3

考點三分段函數(shù)(多考向探究預(yù)測)

B

(3)已知函數(shù)值求自變量的值時,需要結(jié)合分段區(qū)間對自變量的值分類討論,解方程求值,并注意求得的值需要滿足自變量相應(yīng)的取值范圍,否則應(yīng)舍去.

C

0解析

由題意知,f(-1)=f(-1+2)=f(1)=log21=0.

B解析

根據(jù)題意,當(dāng)a<1時,f(f(a))=f(0)=0≠1,不符合題意;當(dāng)1≤a<2時,f(f(a))=f(a+1)=-ln

a+1=1,解得a=1;當(dāng)a=2時,f(f(a))=f(1)=2≠1,不符合題意;當(dāng)a>2時,f(f(a))=f[-ln(a-1)+1]=0≠1,不符合題意.故選B.

(-∞,-2]∪[0,+∞)解析

當(dāng)a≤0時,f(a)=a2+2a,由f(a)≥0得a2+2a≥0,解得a≥0或a≤-2,又因為a≤0,所以得a=0或a≤-2;當(dāng)a>0時,f(a)=lg(a2+1),由f(a)≥0得lg(a2+1)≥0,解得a∈R,又因為a>0,所以得a>0.綜上可得實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]∪[0,+∞).變式探究1本例(2)中,函數(shù)解析式不變,將“f(a)≥0”改為“f(a-1)≤3”,則實數(shù)a的取值范圍是

.

變式探究2本例(2)中,函數(shù)解析式不變,將“f(a)≥0”改為“f(f(m))<0”,則實數(shù)m的取值范圍是

.

解析

令f(m)=t,則“f(f(m))<0”即為“f(t)<0”.當(dāng)t≤0時,f(t)=t2+2t,由f(t)<0,得t2+2t<0,解得-2<t<0,又因為t≤0,所以得-2<t<0;當(dāng)t>0時,f(t)=lg(t2+1),由f(t)<0,得lg(t2+1)<0,此不等式無解.綜上可知-2<t<0,于是有-2<f(m)<0.當(dāng)m≤0時,f(m)=m2+