云南省楚雄州大姚縣大姚一中2025年數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

云南省楚雄州大姚縣大姚一中2025年數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某食堂一窗口供應2葷3素共5種菜,甲、乙兩人每人在該窗口打2種菜,且每人至多打1種葷菜,則兩人打菜方法的種數(shù)為()A.64 B.81 C.36 D.1002.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交3.函數(shù)(,是自然對數(shù)的底數(shù),)存在唯一的零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.數(shù)列滿足,則數(shù)列的前20項的和為()A.100 B.-100 C.-110 D.1105.若函數(shù)有小于零的極值點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,命題“若,則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.37.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則()A. B. C. D.8.已知函數(shù),,若有最小值,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.設全集U=R,集合,,則集合()A. B.C. D.10.命題:在三角形中,頂點與對邊中點連線所得三線段交于一點,且分線段長度比為,類比可得在四面體中,頂點與所對面重心的連線所得四線段交于一點,且分線段比為()A. B. C. D.11.已知服從正態(tài)分布的隨機變量,在區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、、和.某企業(yè)為名員工定制工作服,設員工的身高(單位:)服從正態(tài)分布,則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制()A.套 B.套 C.套 D.套12.如表是降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對應數(shù)據(jù),根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程=0.7x+0.35,那么表中m的值為()A.4 B.3.15 C.4.5 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點為,準線為,過的直線與交于,兩點,過作,垂足為,的中點為,若,則__14.若復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的共軛復數(shù)__________.15.從湖中打一網(wǎng)魚,共條,做上記號再放回湖中;數(shù)天后再打一網(wǎng)魚共有條,其中有條有記號,則能估計湖中有魚____________條.16.若曲線(為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線,則實數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程是以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(Ⅰ)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;;(Ⅱ)已知點為直線上的兩個動點,且點為曲線上任意一點,求面積的最大值及此時點的直角坐標.18.(12分)在直角梯形中,,,,為的中點,如圖1.將沿折到的位置,使,點在上,且,如圖2.(1)求證:⊥平面;(2)求二面角的正切值.19.(12分)設{an}是等差數(shù)列,a1=–10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列.(Ⅰ)求{an}的通項公式;(Ⅱ)記{an}的前n項和為Sn,求Sn的最小值.20.(12分)某小組共有10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(I)設為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件發(fā)生的概率;(II)設為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.21.(12分)設數(shù)列的前n項和為已知直角坐標平面上的點均在函數(shù)的圖像上.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若已知點,,為直角坐標平面上的點,且有,求數(shù)列的通項公式;(3)在(2)的條件下,若使對于任意恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),(1)求在區(qū)間上的極小值和極大值;(2)求在(為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題甲,乙均有兩種情況,一葷一素和兩素,再由分步原理可得種數(shù)。【詳解】甲有兩種情況:一葷一素,種;兩素,種.故甲共有種,同理乙也有9種,則兩人打菜方法的種數(shù)為種.故選B.本題考查分類加法和分步乘法計數(shù)原理,屬于基礎題。2、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯誤,故選D.本題主要考查直線與平面的位置關系,直線與直線的位置關系,難度不大.3、B【解析】

由函數(shù)存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點,畫出與的大致圖象,根據(jù)使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點,得到,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)(,是自然對數(shù)的底數(shù),)存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點,因為,所以函數(shù)與函數(shù)唯一交點為,又因為,且,所以,即函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù),又因為是最小正周期為2,最大值為的正弦函數(shù),所以可得與函數(shù)的大致圖象,如圖所示,所以要使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個焦點,則,因為,則,,所以,解得,又因為,所以實數(shù)的范圍為,故選B.本題主要考查了函數(shù)的零點問題,函數(shù)的單調(diào)性的應用,以及導數(shù)的應用,其中解答中把唯一零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題,結(jié)合圖象進行分析研究是解答的關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.4、B【解析】

數(shù)列{an}滿足,可得a2k﹣1+a2k=﹣(2k﹣1).即可得出.【詳解】∵數(shù)列{an}滿足,∴a2k﹣1+a2k=﹣(2k﹣1).則數(shù)列{an}的前20項的和=﹣(1+3+……+19)1.故選:B.本題考查了數(shù)列遞推關系、數(shù)列分組求和方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.5、A【解析】分析:函數(shù)有小于零的極值點轉(zhuǎn)化為有負根,通過討論此方程根為負根,求得實數(shù)的取值范圍.詳解:設,則,函數(shù)在上有小于零的極值點,有負根,①當時,由,無實數(shù)根,函數(shù)無極值點,不合題意,②當時,由,解得,當時,;當時,,為函數(shù)的極值點,,解得,實數(shù)的取值范圍是,故選A.點睛:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負(左增右減),那么在處取極大值,如果左負右正(左減右增),那么在處取極小值.6、C【解析】

先寫出原命題的逆命題,否命題,再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時,根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【詳解】解:逆命題:設,若,則a>b,由可得,能得到a>b,所以該命題為真命題;否命題設,若a≤b,則,由及a≤b可以得到,所以該命題為真命是題;因為原命題和它的逆否命題具有相同的真假性,所以只需判斷原命題的真假即可,當時,,所以由a>b得到,所以原命題為假命題,即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個.故選C.本題主要考查四種命題真假性的判斷問題,由題意寫出原命題的逆命題,否命題并判斷命題的真假是解題的關鍵.7、B【解析】兩個數(shù)之和為偶數(shù),則這兩個數(shù)可能都是偶數(shù)或都是奇數(shù),所以。而,所以,故選B8、C【解析】

對函數(shù)求導得出,由題意得出函數(shù)在上存在極小值點,然后對參數(shù)分類討論,在時,函數(shù)單調(diào)遞增,無最小值;在時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出,從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】,,構(gòu)造函數(shù),其中,則.①當時,對任意的,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,此時,,則對任意的,.此時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,無最小值;②當時,解方程,得.當時,,當時,,此時,.(i)當時,即當時,則對任意的,,此時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,無最小值;(ii)當時,即當時,,當時,,由零點存在定理可知,存在和,使得,即,且當和時,,此時,;當時,,此時,.所以,函數(shù)在處取得極大值,在取得極小值,由題意可知,,,可得,又,可得,構(gòu)造函數(shù),其中,則,此時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時,則,.因此,實數(shù)的取值范圍是,故選:C.9、A【解析】

求出,然后求解即可.【詳解】全集,集合,則集合,所以,故選A.該題考查的是有關集合的運算,屬于簡單題目.10、C【解析】

如圖,在中,可證明,且與交于O,同理可證其余頂點與對面重心的連線交于O,即得解.【詳解】如圖在四面體中,設是的重心,連接并延長交CD于E,連接,則經(jīng)過,在中,,且與交于O,同理,其余頂點與對面重心的連線交于O,也滿足比例關系.故選:C本題考查了三角形和四面體性質(zhì)的類比推理,考查了學生邏輯推理,空間想象,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.11、B【解析】

由可得,,則恰為區(qū)間,利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【詳解】由得:,,,又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制:套本題正確選項:本題考查利用正態(tài)分布進行估計的問題,屬于基礎題.12、D【解析】

因為線性回歸方程=0.7x+0.35,過樣本點的中心,,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、16【解析】

由題意畫出圖形,利用幾何知識得到直線的斜率,進一步求得直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,由弦長公式即可得答案.【詳解】由題意畫出圖形如圖,,為的中點,且,,則直線的傾斜角為,斜率為.由拋物線,得,則直線的方程為.聯(lián)立,得.則,.本題主要考查拋物線的定義,直線與拋物線位置關系的應用,以及弦長的求法.14、【解析】

先由復數(shù)的除法運算,求出復數(shù),進而可得出其共軛復數(shù).【詳解】因為,所以,因此其共軛復數(shù)為故答案為本題主要考查復數(shù)的運算,以及共軛復數(shù),熟記運算法則與共軛復數(shù)的概念即可,屬于基礎題型.15、【解析】

按比例計算.【詳解】估計湖中有魚條,則,.故答案為:.本題考查用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體,解題時把樣本的頻率作為總體頻率計算即可.16、【解析】分析:令y′≥1在(1,+∞)上恒成立可得a,根據(jù)右側(cè)函數(shù)的值域即可得出a的范圍.詳解:y′=+2ax,x∈(1,+∞),∵曲線y=lnx+ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線,∴y′=≥1在(1,+∞)上恒成立,∴a≥﹣恒成立,x∈(1,+∞).令f(x)=﹣,x∈(1,+∞),則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又f(x)=﹣<1,∴a≥1.故答案為:.點睛:利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)由參數(shù)方程利用消去,得到普通方程,由把極坐標化為普通方程。(Ⅱ)設點,由點到直線的距離和面積公式結(jié)合三角函數(shù)求得面積最值?!驹斀狻浚á瘢┣€化為普通方程為,直線的直角坐標方程為.(Ⅱ)設點,則點到直線的距離.,∴當時,當點P的直角坐標為時,有最大值1.由直角坐標與極坐標互換公式,利用這個公式可以實現(xiàn)直角坐標與極坐標的相互轉(zhuǎn)化。18、(1)見解析(2)【解析】試題分析:(1)證明:在圖中,由題意可知,為正方形,所以在圖中,,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,因為,ABBC,所以BC平面SAB,又平面SAB,所以BCSA,又SAAB,所以SA平面ABCD,(2)在AD上取一點O,使,連接EO.因為,所以EO//SA所以EO平面ABCD,過O作OHAC交AC于H,連接EH,則AC平面EOH,所以ACEH.所以為二面角E—AC—D的平面角,在中,…11分,即二面角E—AC—D的正切值為考點:線面垂直的判定及二面角求解點評:本題中第二問求二面角采用的是作角求角的思路,在作角時常用三垂線定理法;此外還可用空間向量的方法求解;以A為原點AB,AD,AS為x,y,z軸建立坐標系,寫出各點坐標,代入向量計算公式即可19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差,然后利用等差數(shù)列通項公式可得的通項公式;(Ⅱ)首先求得的表達式,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為,因為成等比數(shù)列,所以,即,解得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以;當或者時,取到最小值.等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題,解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關公式并能靈活運用.20、(I);(II).【解析】

(I)和為4次有兩種情況,一個是1次一個是3次與兩個都是2次;(II)隨機變量的所有可能取值有三種,為0,1,2,分別求出其概率即可求解.【詳解】(I)由已知得:,所以,事件發(fā)生的概率為.(II)隨機變量

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