云南省楚雄州大姚縣大姚一中2025年數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

云南省楚雄州大姚縣大姚一中2025年數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某食堂一窗口供應2葷3素共5種菜，甲、乙兩人每人在該窗口打2種菜，且每人至多打1種葷菜，則兩人打菜方法的種數(shù)為（）A．64 B．81 C．36 D．1002．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交3．函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項的和為()A．100 B．-100 C．-110 D．1105．若函數(shù)有小于零的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知，命題“若，則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．37．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設全集U＝R，集合，，則集合()A． B．C． D．10．命題：在三角形中，頂點與對邊中點連線所得三線段交于一點，且分線段長度比為，類比可得在四面體中，頂點與所對面重心的連線所得四線段交于一點，且分線段比為（）A． B． C． D．11．已知服從正態(tài)分布的隨機變量，在區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、、和.某企業(yè)為名員工定制工作服，設員工的身高（單位：）服從正態(tài)分布，則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制（）A．套 B．套 C．套 D．套12．如表是降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對應數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程=0.7x+0.35，那么表中m的值為（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于，兩點，過作，垂足為，的中點為，若，則__14．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)__________．15．從湖中打一網(wǎng)魚，共條，做上記號再放回湖中；數(shù)天后再打一網(wǎng)魚共有條，其中有條有記號，則能估計湖中有魚____________條.16．若曲線(為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為．(Ⅰ)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；；(Ⅱ)已知點為直線上的兩個動點，且點為曲線上任意一點，求面積的最大值及此時點的直角坐標．18．（12分）在直角梯形中，，，，為的中點，如圖1．將沿折到的位置，使，點在上，且，如圖2．（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的正切值．19．（12分）設{an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值．20．（12分）某小組共有10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.（I）設為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件發(fā)生的概率；（II）設為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.21．（12分）設數(shù)列的前n項和為已知直角坐標平面上的點均在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若已知點，，為直角坐標平面上的點，且有，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，若使對于任意恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，（1）求在區(qū)間上的極小值和極大值；（2）求在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題甲，乙均有兩種情況，一葷一素和兩素，再由分步原理可得種數(shù)。【詳解】甲有兩種情況：一葷一素，種；兩素，種.故甲共有種，同理乙也有9種，則兩人打菜方法的種數(shù)為種.故選B.本題考查分類加法和分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題。2、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯誤，故選D.本題主要考查直線與平面的位置關系，直線與直線的位置關系，難度不大.3、B【解析】

由函數(shù)存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，畫出與的大致圖象，根據(jù)使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，因為，所以函數(shù)與函數(shù)唯一交點為，又因為，且，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，又因為是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，所以可得與函數(shù)的大致圖象，如圖所示，所以要使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個焦點，則，因為，則，，所以，解得，又因為，所以實數(shù)的范圍為，故選B.本題主要考查了函數(shù)的零點問題，函數(shù)的單調(diào)性的應用，以及導數(shù)的應用，其中解答中把唯一零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，結(jié)合圖象進行分析研究是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.4、B【解析】

數(shù)列{an}滿足，可得a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．【詳解】∵數(shù)列{an}滿足，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．則數(shù)列{an}的前20項的和＝﹣（1+3+……+19）1．故選：B．本題考查了數(shù)列遞推關系、數(shù)列分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、A【解析】分析：函數(shù)有小于零的極值點轉(zhuǎn)化為有負根，通過討論此方程根為負根，求得實數(shù)的取值范圍.詳解：設，則，函數(shù)在上有小于零的極值點，有負根，①當時，由，無實數(shù)根，函數(shù)無極值點，不合題意，②當時，由，解得，當時，；當時，，為函數(shù)的極值點，，解得，實數(shù)的取值范圍是，故選A.點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.6、C【解析】

先寫出原命題的逆命題，否命題，再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時，根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【詳解】解：逆命題:設，若，則a＞b,由可得，能得到a＞b，所以該命題為真命題;否命題設，若a≤b，則,由及a≤b可以得到，所以該命題為真命是題；因為原命題和它的逆否命題具有相同的真假性，所以只需判斷原命題的真假即可，當時，，所以由a＞b得到，所以原命題為假命題，即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個.故選C.本題主要考查四種命題真假性的判斷問題，由題意寫出原命題的逆命題，否命題并判斷命題的真假是解題的關鍵.7、B【解析】兩個數(shù)之和為偶數(shù)，則這兩個數(shù)可能都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，所以。而，所以，故選B8、C【解析】

對函數(shù)求導得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點，然后對參數(shù)分類討論，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當時，對任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，，則對任意的，.此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當時，解方程，得.當時，，當時，，此時，.（i）當時，即當時，則對任意的，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當時，即當時，，當時，，由零點存在定理可知，存在和，使得，即，且當和時，，此時，；當時，，此時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，則，.因此，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.9、A【解析】

求出，然后求解即可.【詳解】全集，集合，則集合，所以，故選A.該題考查的是有關集合的運算，屬于簡單題目.10、C【解析】

如圖，在中，可證明，且與交于O，同理可證其余頂點與對面重心的連線交于O，即得解.【詳解】如圖在四面體中，設是的重心，連接并延長交CD于E，連接，則經(jīng)過，在中，，且與交于O，同理，其余頂點與對面重心的連線交于O，也滿足比例關系.故選：C本題考查了三角形和四面體性質(zhì)的類比推理，考查了學生邏輯推理，空間想象，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

由可得，，則恰為區(qū)間，利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【詳解】由得：，，，又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制：套本題正確選項：本題考查利用正態(tài)分布進行估計的問題，屬于基礎題.12、D【解析】

因為線性回歸方程=0.7x+0.35，過樣本點的中心，，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、16【解析】

由題意畫出圖形，利用幾何知識得到直線的斜率，進一步求得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，由弦長公式即可得答案．【詳解】由題意畫出圖形如圖，，為的中點，且，，則直線的傾斜角為，斜率為．由拋物線，得，則直線的方程為．聯(lián)立，得．則，．本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線位置關系的應用，以及弦長的求法．14、【解析】

先由復數(shù)的除法運算，求出復數(shù)，進而可得出其共軛復數(shù).【詳解】因為，所以，因此其共軛復數(shù)為故答案為本題主要考查復數(shù)的運算，以及共軛復數(shù)，熟記運算法則與共軛復數(shù)的概念即可，屬于基礎題型.15、【解析】

按比例計算．【詳解】估計湖中有魚條，則，．故答案為：．本題考查用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體，解題時把樣本的頻率作為總體頻率計算即可．16、【解析】分析：令y′≥1在（1，+∞）上恒成立可得a，根據(jù)右側(cè)函數(shù)的值域即可得出a的范圍．詳解：y′=+2ax，x∈（1，+∞），∵曲線y=lnx+ax2（a為常數(shù)）不存在斜率為負數(shù)的切線，∴y′=≥1在（1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣恒成立，x∈（1，+∞）．令f（x）=﹣，x∈（1，+∞），則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（x）=﹣＜1，∴a≥1．故答案為：．點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)由參數(shù)方程利用消去，得到普通方程，由把極坐標化為普通方程。(Ⅱ)設點，由點到直線的距離和面積公式結(jié)合三角函數(shù)求得面積最值?！驹斀狻浚á瘢┣€化為普通方程為，直線的直角坐標方程為．（Ⅱ）設點，則點到直線的距離．，∴當時，當點P的直角坐標為時，有最大值1．由直角坐標與極坐標互換公式，利用這個公式可以實現(xiàn)直角坐標與極坐標的相互轉(zhuǎn)化。18、（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，為正方形，所以在圖中，，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，因為，ABBC，所以BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一點O，使，連接EO．因為，所以EO//SA所以EO平面ABCD，過O作OHAC交AC于H，連接EH，則AC平面EOH，所以ACEH．所以為二面角E—AC—D的平面角，在中，…11分，即二面角E—AC—D的正切值為考點：線面垂直的判定及二面角求解點評：本題中第二問求二面角采用的是作角求角的思路，在作角時常用三垂線定理法；此外還可用空間向量的方法求解；以A為原點AB,AD,AS為x,y,z軸建立坐標系，寫出各點坐標，代入向量計算公式即可19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項公式可得的通項公式；(Ⅱ)首先求得的表達式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，因為成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當或者時，取到最小值.等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關公式并能靈活運用.20、（I）；（II）.【解析】

（I）和為4次有兩種情況，一個是1次一個是3次與兩個都是2次；（II）隨機變量的所有可能取值有三種，為0,1,2，分別求出其概率即可求解.【詳解】（I）由已知得：，所以，事件發(fā)生的概率為.（II）隨機變量