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云南省楚雄州大姚縣大姚一中2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某食堂一窗口供應(yīng)2葷3素共5種菜,甲、乙兩人每人在該窗口打2種菜,且每人至多打1種葷菜,則兩人打菜方法的種數(shù)為()A.64 B.81 C.36 D.1002.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交3.函數(shù)(,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),)存在唯一的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.?dāng)?shù)列滿足,則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為()A.100 B.-100 C.-110 D.1105.若函數(shù)有小于零的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,命題“若,則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.37.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),事件“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”,事件“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則()A. B. C. D.8.已知函數(shù),,若有最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.設(shè)全集U=R,集合,,則集合()A. B.C. D.10.命題:在三角形中,頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)連線所得三線段交于一點(diǎn),且分線段長度比為,類比可得在四面體中,頂點(diǎn)與所對(duì)面重心的連線所得四線段交于一點(diǎn),且分線段比為()A. B. C. D.11.已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,在區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、、和.某企業(yè)為名員工定制工作服,設(shè)員工的身高(單位:)服從正態(tài)分布,則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制()A.套 B.套 C.套 D.套12.如表是降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程=0.7x+0.35,那么表中m的值為()A.4 B.3.15 C.4.5 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,過的直線與交于,兩點(diǎn),過作,垂足為,的中點(diǎn)為,若,則__14.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)__________.15.從湖中打一網(wǎng)魚,共條,做上記號(hào)再放回湖中;數(shù)天后再打一網(wǎng)魚共有條,其中有條有記號(hào),則能估計(jì)湖中有魚____________條.16.若曲線(為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;;(Ⅱ)已知點(diǎn)為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn),求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).18.(12分)在直角梯形中,,,,為的中點(diǎn),如圖1.將沿折到的位置,使,點(diǎn)在上,且,如圖2.(1)求證:⊥平面;(2)求二面角的正切值.19.(12分)設(shè){an}是等差數(shù)列,a1=–10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列.(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值.20.(12分)某小組共有10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).(I)設(shè)為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件發(fā)生的概率;(II)設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為已知直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若已知點(diǎn),,為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn),且有,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)在(2)的條件下,若使對(duì)于任意恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),(1)求在區(qū)間上的極小值和極大值;(2)求在(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由題甲,乙均有兩種情況,一葷一素和兩素,再由分步原理可得種數(shù)。【詳解】甲有兩種情況:一葷一素,種;兩素,種.故甲共有種,同理乙也有9種,則兩人打菜方法的種數(shù)為種.故選B.本題考查分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理,屬于基礎(chǔ)題。2、D【解析】
通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯(cuò)誤,故選D.本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,直線與直線的位置關(guān)系,難度不大.3、B【解析】
由函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn),畫出與的大致圖象,根據(jù)使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn),得到,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)(,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),)存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn),因?yàn)椋院瘮?shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為,又因?yàn)?,且,所以,即函?shù)在上單調(diào)遞減函數(shù),又因?yàn)槭亲钚≌芷跒?,最大值為的正弦函數(shù),所以可得與函數(shù)的大致圖象,如圖所示,所以要使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)焦點(diǎn),則,因?yàn)?,則,,所以,解得,又因?yàn)?,所以?shí)數(shù)的范圍為,故選B.本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,其中解答中把唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題,結(jié)合圖象進(jìn)行分析研究是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.4、B【解析】
數(shù)列{an}滿足,可得a2k﹣1+a2k=﹣(2k﹣1).即可得出.【詳解】∵數(shù)列{an}滿足,∴a2k﹣1+a2k=﹣(2k﹣1).則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和=﹣(1+3+……+19)1.故選:B.本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列分組求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.5、A【解析】分析:函數(shù)有小于零的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有負(fù)根,通過討論此方程根為負(fù)根,求得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解:設(shè),則,函數(shù)在上有小于零的極值點(diǎn),有負(fù)根,①當(dāng)時(shí),由,無實(shí)數(shù)根,函數(shù)無極值點(diǎn),不合題意,②當(dāng)時(shí),由,解得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,為函數(shù)的極值點(diǎn),,解得,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選A.點(diǎn)睛:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào),如果左正右負(fù)(左增右減),那么在處取極大值,如果左負(fù)右正(左減右增),那么在處取極小值.6、C【解析】
先寫出原命題的逆命題,否命題,再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時(shí),根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【詳解】解:逆命題:設(shè),若,則a>b,由可得,能得到a>b,所以該命題為真命題;否命題設(shè),若a≤b,則,由及a≤b可以得到,所以該命題為真命是題;因?yàn)樵}和它的逆否命題具有相同的真假性,所以只需判斷原命題的真假即可,當(dāng)時(shí),,所以由a>b得到,所以原命題為假命題,即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個(gè).故選C.本題主要考查四種命題真假性的判斷問題,由題意寫出原命題的逆命題,否命題并判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】?jī)蓚€(gè)數(shù)之和為偶數(shù),則這兩個(gè)數(shù)可能都是偶數(shù)或都是奇數(shù),所以。而,所以,故選B8、C【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出,由題意得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn),然后對(duì)參數(shù)分類討論,在時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,無最小值;在時(shí),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出,從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】,,構(gòu)造函數(shù),其中,則.①當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,此時(shí),,則對(duì)任意的,.此時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,無最小值;②當(dāng)時(shí),解方程,得.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,此時(shí),.(i)當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),則對(duì)任意的,,此時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,無最小值;(ii)當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由零點(diǎn)存在定理可知,存在和,使得,即,且當(dāng)和時(shí),,此時(shí),;當(dāng)時(shí),,此時(shí),.所以,函數(shù)在處取得極大值,在取得極小值,由題意可知,,,可得,又,可得,構(gòu)造函數(shù),其中,則,此時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),則,.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選:C.9、A【解析】
求出,然后求解即可.【詳解】全集,集合,則集合,所以,故選A.該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目.10、C【解析】
如圖,在中,可證明,且與交于O,同理可證其余頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線交于O,即得解.【詳解】如圖在四面體中,設(shè)是的重心,連接并延長交CD于E,連接,則經(jīng)過,在中,,且與交于O,同理,其余頂點(diǎn)與對(duì)面重心的連線交于O,也滿足比例關(guān)系.故選:C本題考查了三角形和四面體性質(zhì)的類比推理,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、B【解析】
由可得,,則恰為區(qū)間,利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【詳解】由得:,,,又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制:套本題正確選項(xiàng):本題考查利用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)的問題,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
因?yàn)榫€性回歸方程=0.7x+0.35,過樣本點(diǎn)的中心,,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、16【解析】
由題意畫出圖形,利用幾何知識(shí)得到直線的斜率,進(jìn)一步求得直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,由弦長公式即可得答案.【詳解】由題意畫出圖形如圖,,為的中點(diǎn),且,,則直線的傾斜角為,斜率為.由拋物線,得,則直線的方程為.聯(lián)立,得.則,.本題主要考查拋物線的定義,直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,以及弦長的求法.14、【解析】
先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,求出復(fù)數(shù),進(jìn)而可得出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?,所以,因此其共軛?fù)數(shù)為故答案為本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及共軛復(fù)數(shù),熟記運(yùn)算法則與共軛復(fù)數(shù)的概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】
按比例計(jì)算.【詳解】估計(jì)湖中有魚條,則,.故答案為:.本題考查用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體,解題時(shí)把樣本的頻率作為總體頻率計(jì)算即可.16、【解析】分析:令y′≥1在(1,+∞)上恒成立可得a,根據(jù)右側(cè)函數(shù)的值域即可得出a的范圍.詳解:y′=+2ax,x∈(1,+∞),∵曲線y=lnx+ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線,∴y′=≥1在(1,+∞)上恒成立,∴a≥﹣恒成立,x∈(1,+∞).令f(x)=﹣,x∈(1,+∞),則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又f(x)=﹣<1,∴a≥1.故答案為:.點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)由參數(shù)方程利用消去,得到普通方程,由把極坐標(biāo)化為普通方程。(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),由點(diǎn)到直線的距離和面積公式結(jié)合三角函數(shù)求得面積最值?!驹斀狻浚á瘢┣€化為普通方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離.,∴當(dāng)時(shí),當(dāng)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為時(shí),有最大值1.由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式,利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。18、(1)見解析(2)【解析】試題分析:(1)證明:在圖中,由題意可知,為正方形,所以在圖中,,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,因?yàn)椋珹BBC,所以BC平面SAB,又平面SAB,所以BCSA,又SAAB,所以SA平面ABCD,(2)在AD上取一點(diǎn)O,使,連接EO.因?yàn)?,所以EO//SA所以EO平面ABCD,過O作OHAC交AC于H,連接EH,則AC平面EOH,所以ACEH.所以為二面角E—AC—D的平面角,在中,…11分,即二面角E—AC—D的正切值為考點(diǎn):線面垂直的判定及二面角求解點(diǎn)評(píng):本題中第二問求二面角采用的是作角求角的思路,在作角時(shí)常用三垂線定理法;此外還可用空間向量的方法求解;以A為原點(diǎn)AB,AD,AS為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),代入向量計(jì)算公式即可19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差,然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,即,解得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以;當(dāng)或者時(shí),取到最小值.等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.20、(I);(II).【解析】
(I)和為4次有兩種情況,一個(gè)是1次一個(gè)是3次與兩個(gè)都是2次;(II)隨機(jī)變量的所有可能取值有三種,為0,1,2,分別求出其概率即可求解.【詳解】(I)由已知得:,所以,事件發(fā)生的概率為.(II)隨機(jī)變量
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