云南省臨滄市臨翔區(qū)元江民族中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

云南省臨滄市臨翔區(qū)元江民族中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)單位有職工800人，其中具有高級(jí)職稱的160人，具有中級(jí)職稱的320人，具有初級(jí)職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,62．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．3．已知,則()A． B． C． D．4．某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（）A． B． C． D．5．已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，記直線的斜率為，則的最小值為（）．A．4 B． C．2 D．6．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關(guān)系同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且到l、m的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線7．球的體積是，則此球的表面積是（）A． B． C． D．8．若實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系中不可能成立的是（）A． B． C． D．9．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（）．A． B． C． D．10．已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知不等式x-b≥alnx(a≠0)對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立，則A．1-ln2 B．1-ln312．如圖，設(shè)D是邊長(zhǎng)為l的正方形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)與所構(gòu)成(陰影部分)的區(qū)域，在D中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在E中的概率是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)=______.14．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每人分別進(jìn)行三次投籃.乙恰好比甲多投進(jìn)2次的概率是______.15．若不同的兩點(diǎn)和在參數(shù)方程（為參數(shù)）表示的曲線上，則與的距離的最大值是__________．16．將參數(shù)方程,(,為參數(shù))化為普通方程______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.曲線的極坐標(biāo)方程是.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)曲線上任取一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.18．（12分）三棱柱中，分別是、上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，.（Ⅰ）試用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的長(zhǎng).．19．（12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點(diǎn).(1)求證：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù)，將的圖象向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，已知對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．21．（12分）2019年6月湖北潛江將舉辦第六屆“中國(guó)湖北（潛江）龍蝦節(jié)”，為了解不同年齡的人對(duì)“中國(guó)湖北（潛江）龍蝦節(jié)”的關(guān)注程度，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在20—70歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)“年輕人”與“中老年人”的人數(shù)之比為。關(guān)注不關(guān)注合計(jì)年輕人30中老年人合計(jì)5050100（1）根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有99﹪的把握認(rèn)為關(guān)注“中國(guó)湖北（潛江）龍蝦節(jié)”是否和年齡有關(guān)？（2）現(xiàn)已經(jīng)用分層抽樣的辦法從中老年人中選取了6人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若再?gòu)倪@6人中選取3人進(jìn)行面對(duì)面詢問(wèn)，記選取的3人中關(guān)注“中國(guó)湖北（潛江）龍蝦節(jié)”的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。附：參考公式其中。臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）某投資公司對(duì)以下兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行前期市場(chǎng)調(diào)研:項(xiàng)目:通信設(shè)備.根據(jù)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為；項(xiàng)目:新能源汽車.根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為:獲利、虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為.經(jīng)測(cè)算，當(dāng)投入兩個(gè)項(xiàng)目的資金相等時(shí)，它們所獲得的平均收益(即數(shù)學(xué)期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬(wàn)元全部投到其中的一個(gè)項(xiàng)目，請(qǐng)你從投資回報(bào)穩(wěn)定性考慮，為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，中級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，初級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點(diǎn)：分層抽樣．【方法點(diǎn)睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據(jù)此在已知每層間的個(gè)體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個(gè)時(shí)，就可以求出第三個(gè)．2、B【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．【詳解】f′（x）=+2ax，若f（x）在區(qū)間（，2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故選：B．本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)有解以及函數(shù)的最值的求法，可以用變量分離的方法求參數(shù)的范圍，也考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．3、D【解析】分析：先根據(jù)誘導(dǎo)公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所?因此，選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用三角公式解決問(wèn)題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.4、B【解析】試題分析：記“系統(tǒng)發(fā)生故障、系統(tǒng)發(fā)生故障”分別為事件、，“任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件，則，解得，故選B．考點(diǎn)：對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率．5、B【解析】

設(shè)直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù),借助韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得.根據(jù),相互平分,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,即可求得,根據(jù)基本不等式即可求得最小值.【詳解】設(shè),,設(shè)直線:將直線與聯(lián)立方程組,消掉:得:由韋達(dá)定理可得:┄①,┄②，故,可得:┄③，，是上的點(diǎn),,可得:┄④由③④可得:,結(jié)合②可得:和相互平分,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，結(jié)合①②可得:,，故，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)(對(duì)號(hào)函數(shù))可知時(shí),.(當(dāng)且僅當(dāng))時(shí),.(當(dāng)且僅當(dāng))所以.故選:B.本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,通過(guò)聯(lián)立直線方程與拋物線方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式,確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.6、D【解析】

作出直線m在平面α內(nèi)的射影直線n，假設(shè)l與n垂直，建立坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)軌跡即可得出答案．【詳解】解：設(shè)直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設(shè)l與n垂直，設(shè)直線m與平面α的距離為d，在平面α內(nèi)，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標(biāo)系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點(diǎn)軌跡為雙曲線．故選：D．本題考查空間線面位置關(guān)系、軌跡方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．7、B【解析】

先計(jì)算出球的半徑，再計(jì)算表面積得到答案.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則由已知得，解得，故球的表面積.故選：本題考查了圓的體積和表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、D【解析】

根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)于，若，均大于0小于1，依題意，必有，故有可能成立；對(duì)于，若，則有，故有可能成立；對(duì)于，若，均大于1，由，知必有，故有可能成立；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，不能成立，故選．本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論、的值，屬于中檔題.9、D【解析】表示做了次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功概率為，則．選．10、D【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.11、C【解析】

構(gòu)造函數(shù)gx=x-alnx-b，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=gx的最小值，由gxmin≥0得出【詳解】構(gòu)造函數(shù)gx=x-alnx-b，由題意知①當(dāng)a<0時(shí)，?x>0，g'x>0，此時(shí)，函數(shù)y=g當(dāng)x→0時(shí)，gx→-∞，此時(shí)，②當(dāng)a>0時(shí)，令g'x=當(dāng)0<x<a時(shí)，g'x<0；當(dāng)x>a所以，函數(shù)y=gx在x=a處取得極小值，亦即最小值，即g∴b≤a-alna，構(gòu)造函數(shù)ha=1-lna-2令h'a=0，得a=2。當(dāng)0<a<2時(shí)，h'a此時(shí)，函數(shù)y=ha在a=2處取得極大值，亦即最大值，即h因此，b-2a的最大值為-ln2本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用，滲透了分類討論的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決函數(shù)不等式恒成立的常用方法，考查分析問(wèn)題的能力，屬于難題。12、A【解析】試題分析：正方形面積為1，陰影部分的面積為，所以由幾何概型概率的計(jì)算公式得，點(diǎn)在E中的概率是，選A.考點(diǎn)：定積分的應(yīng)用，幾何概型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：純虛數(shù)的表現(xiàn)形式是中，且，根據(jù)這個(gè)條件，列出關(guān)于的方程組，從而可得結(jié)果.詳解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查純虛數(shù)的定義，意在考查對(duì)基本概念掌握的熟練程度，屬于簡(jiǎn)單題.14、；【解析】

將事件拆分為乙投進(jìn)3次，甲投進(jìn)1次和乙投進(jìn)2次，甲投進(jìn)0次，再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式和獨(dú)立事件的概率計(jì)算即可求得.【詳解】根據(jù)題意，甲和乙投進(jìn)的次數(shù)均滿足二項(xiàng)分布，且甲投進(jìn)和乙投進(jìn)相互獨(dú)立；根據(jù)題意：乙恰好比甲多投進(jìn)2次，包括乙投進(jìn)3次，甲投進(jìn)1次和乙投進(jìn)2次，甲投進(jìn)0次.則乙投進(jìn)3次，甲投進(jìn)1次的概率為；乙投進(jìn)2次，甲投進(jìn)0次的概率為.故乙恰好比甲多投進(jìn)2次的概率為.故答案為：.本題考查二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，屬綜合基礎(chǔ)題.15、【解析】

將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程可知,曲線為半徑為2的圓,所以當(dāng)為圓的直徑時(shí),與的距離的最大值是2.【詳解】由參數(shù)方程（為參數(shù)）,可得,所以點(diǎn)和在半徑為1的圓上,所以當(dāng)為圓的直徑時(shí),與的距離的最大值是2.故答案為:2本題考查了參數(shù)方程化普通方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

可將左右同乘2，再消參即可求解普通方程【詳解】，結(jié)合可得故答案為：本題考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）因?yàn)樵跈E圓上且在第一象限，故可設(shè)，從而所求面積可用的三角函數(shù)來(lái)表示，求出該函數(shù)的最大值即可.詳解：（Ⅰ）由題可變形為，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，設(shè)，.于是由，由得，于是，∴四邊形最大值.點(diǎn)睛：直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標(biāo)方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，我們可用一個(gè)參數(shù)來(lái)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一元函數(shù)求與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題.18、（1）（2）【解析】分析：（1）直接利用三角形加法和減法法則得到.(2)先求，再求MN的長(zhǎng).詳解：（Ⅰ）（Ⅱ），，.：本題主要考查向量的運(yùn)算法則和基底法，考查向量的模，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．（2）推導(dǎo)出，由，得，再推導(dǎo)出，，從而平面，，，，進(jìn)而平面，連結(jié)，，則就是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的余弦值．【詳解】解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，是的中點(diǎn)，，且，，，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面．（2）解：，是等腰三角形，，又，，平面，平面，，又，平面，平面，，，又，平面，連結(jié)，，則就是直線與平面所成角，設(shè)，在中，解得，，，在中，解得，在中，，直線與平面所成角的余弦值為．本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20、（1）（2）（3）【解析】【試題分析】（1）借助平移的知識(shí)可直接求得函數(shù)解析式；（2）先換元將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)根，再構(gòu)造二次函數(shù)運(yùn)用函數(shù)方程思想建立不等式組分析求解；（3）先依據(jù)題設(shè)條件求出函數(shù)的解析式，再運(yùn)用不等式恒成立求出函數(shù)的最小值：解：（1）（2）設(shè),則，原方程可化為于是只須在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，法1：設(shè)，對(duì)稱軸t=,則①，或②由①得，即，由②得無(wú)解,，則．法2：由，得，，，設(shè)，則，，記，則在上是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)楣室诡}設(shè)成立，只須，即，從而有（3）設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)