上海市戲劇學(xué)院附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

上海市戲劇學(xué)院附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如果根據(jù)是否愛(ài)吃零食與性別的列聯(lián)表得到，所以判斷是否愛(ài)吃零食與性別有關(guān)，那么這種判斷犯錯(cuò)的可能性不超過(guò)（）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．0.5% C．1% D．0.1%2．已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如下圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．3．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.454．被稱為宋元數(shù)學(xué)四大家的南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中記載了求解三角形面積的公式，如圖是利用該公式設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的的值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．一個(gè)單位有職工800人，其中具有高級(jí)職稱的160人，具有中級(jí)職稱的320人，具有初級(jí)職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,67．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．10名運(yùn)動(dòng)員中有2名老隊(duì)員和8名新隊(duì)員，現(xiàn)從中選3人參加團(tuán)體比賽，要求老隊(duì)員至多1人入選且新隊(duì)員甲不能入選的選法有（）A．77種 B．144種 C．35種 D．72種9．如圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客．已知圖中直角三角形兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)分別為2和1．若從圖中任選一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰在陰影區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．10．函數(shù)在上的最大值為（）A． B． C． D．11．在用數(shù)學(xué)歸納法證明:“凸多邊形內(nèi)角和為”時(shí)，第一步驗(yàn)證的等于（）A．1 B．3 C．5 D．712．命題“”的否定為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，，則球的表面積為_(kāi)_________．14．已知集合，，則__________．15．函數(shù)，的最大值是___．16．把6個(gè)學(xué)生分配到3個(gè)班去，每班2人，其中甲必須分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，已知在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.18．（12分）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求的共軛復(fù)數(shù).19．（12分）如圖，已知海島與海岸公路的距離為，，間的距離為，從到，需先乘船至海岸公路上的登陸點(diǎn)，船速為，再乘汽車至，車速為，設(shè).（1）用表示從海島到所用的時(shí)間，并指明的取值范圍；（2）登陸點(diǎn)應(yīng)選在何處，能使從到所用的時(shí)間最少？20．（12分）將下列參數(shù)方程化為普通方程：（1）（為參數(shù)）；（2）（為參數(shù)）.21．（12分）己知數(shù)列的首項(xiàng)均為1,各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意的不小于2的正整數(shù)n，總有，成立，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，求所有使得等式成立的正整數(shù)m,的值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)得到，得到答案.【詳解】，故，故判斷“是否愛(ài)吃零食與性別有關(guān)”出錯(cuò)的可能性不超過(guò)2.5%.故選：.本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.2、B【解析】分析：先根據(jù)圖像求出，即得，也即得結(jié)果.詳解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，選B.點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問(wèn)題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為解方程或不等式.3、A【解析】

試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點(diǎn)：條件概率．4、B【解析】

模擬程序運(yùn)行，依次計(jì)算可得所求結(jié)果【詳解】當(dāng)，，時(shí)，，；當(dāng)，，時(shí)，，；當(dāng)，，時(shí)，，；當(dāng)，，時(shí)，，；故選B本題考查程序運(yùn)算的結(jié)果，考查運(yùn)算能力，需注意所在位置5、A【解析】分析：先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.詳解：令，因?yàn)?，所以因此解集為，選A.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等6、D【解析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，中級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，初級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點(diǎn)：分層抽樣．【方法點(diǎn)睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據(jù)此在已知每層間的個(gè)體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個(gè)時(shí)，就可以求出第三個(gè)．7、D【解析】

在上為增函數(shù)，可以得到是為增函數(shù)，時(shí)是增函數(shù)，并且時(shí)，，利用關(guān)于的三個(gè)不等式求解出的取值范圍.【詳解】由題意，在上為增函數(shù)，則，解得，所以的取值范圍為.故選：D本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的理解分析能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)所選3名隊(duì)員中包含老隊(duì)員的人數(shù)分成兩類:(1)只選一名老隊(duì)員;(2)沒(méi)有選老隊(duì)員,分類計(jì)數(shù)再相加可得.【詳解】按照老隊(duì)員的人數(shù)分兩類:(1)只選一名老隊(duì)員,則新隊(duì)員選2名(不含甲)有42;(2)沒(méi)有選老隊(duì)員,則選3名新隊(duì)員(不含甲)有,所以老隊(duì)員至多1人入選且新隊(duì)員甲不能入選的選法有:種.故選A.本題考查了分類計(jì)數(shù)原理,屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】

直接根據(jù)幾何概型計(jì)算得到答案.【詳解】，，故.故選：.本題考查了幾何概型，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、A【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值得出函數(shù)的最大值．【詳解】，，令，由于，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，函數(shù)在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，一般而言，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的基本步驟如下：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的極值；（3）將函數(shù)的極值與端點(diǎn)函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)的最大值和最小值．11、B【解析】

多邊形的邊數(shù)最少是，即三角形，即可得解；【詳解】解：依題意，因?yàn)槎噙呅蔚倪厰?shù)最少是，即三角形，用數(shù)學(xué)歸納法證明:“凸多邊形內(nèi)角和為”時(shí)，第一步驗(yàn)證的等于時(shí)，是否成立，故選：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的基本原理，屬于簡(jiǎn)單題.用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立時(shí)，需要驗(yàn)證時(shí)成立，然后假設(shè)假設(shè)時(shí)命題成立，證明時(shí)命題也成立即可，對(duì)于第一步，要確定，其實(shí)就是確定是結(jié)論成立的最小的.12、C【解析】

利用全稱命題的否定是特稱命題寫(xiě)出結(jié)果即可．【詳解】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題：“，”的否定為，故選：C．本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基本知識(shí)的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求得三棱錐外接球半徑，由球表面積公式即可求得表面積。詳解：由，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式得，解得所以，因?yàn)?，，由余弦定理代入得所以△ABC為等腰三角形，且，由正弦定理得△ABC外接圓半徑R為，解得設(shè)△ABC外心為，，過(guò)作則在中在中解得所以外接球面積為點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間幾何體外接球半徑的求法，通過(guò)建立空間模型，利用勾股定理求得半徑；結(jié)合球的表面積求值，對(duì)空間想象能力要求高，綜合性強(qiáng)，屬于難題。14、【解析】

根據(jù)集合的交集補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以因?故答案為：本題主要考查了集合的補(bǔ)集，交集運(yùn)算，屬于中檔題.15、【解析】

求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得最大值.【詳解】函數(shù)時(shí)：函數(shù)單調(diào)遞減故答案為本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性，再求最大值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、1【解析】

根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，②、再?gòu)某思?、乙、丙之外?個(gè)人種任意選出2個(gè)人，分到三班，③、最后再把剩下的3個(gè)人選出2個(gè)人分到二班，剩余的一個(gè)分到一班，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，只有1種方法；②、再?gòu)某思?、乙、丙之外?個(gè)人種任意選出2個(gè)人，分到三班，有C32＝3種安排方法；③、最后再把剩下的3個(gè)人選出2個(gè)人分到二班，剩余的一個(gè)分到一班，有C32＝3種安排方法；則不同的分法有1×3×3＝1種；故答案為：1．本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，即在上有解，通過(guò)求解的最小值得到；（2）通過(guò)極值點(diǎn)為可求得，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式可得：；通過(guò)求證可證得，進(jìn)而可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)即的圖像與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)即在有解，即在上有解設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，即（2），在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且且，即設(shè)，則要證，即證只需證明，即證明設(shè)，則則在上單調(diào)遞增，即本題考查利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)中的交點(diǎn)問(wèn)題、恒成立問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是能將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槟艹闪?wèn)題、不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題，從而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，找到合適的函數(shù)模型來(lái)通過(guò)最值解決問(wèn)題.18、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)第四象限的點(diǎn)的特征，求出的范圍；（2）由已知得出，代入的值，求出．試題解析;（I）=，由題意得解得（2）19、（1），.（2）登陸點(diǎn)與的距離為時(shí)，從海島到的時(shí)間最少.【解析】

求出AD，CD，從而可得出的解析式；

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出最小值對(duì)應(yīng)的夾角.【詳解】（1）在中，∵，，∴，，∴，∴，即.∵，∴，∴(若寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間不扣分).（2），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取最小值，即從海島到的時(shí)間最少，此時(shí).答：（1），.（2）登陸點(diǎn)與的距離為時(shí)，從海島到的時(shí)間最少.本題考查了解三角形的應(yīng)用和正弦定理的應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，屬中檔題．20、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）分別分離處參數(shù)中的，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可消去參數(shù)得到普通方程；（2）由參數(shù)方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.試題解析：（1）∵，∴，兩邊平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考點(diǎn)：曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化.21、（1），；（2），.【解析】

(1)通過(guò)因式分解可判斷為等差數(shù)列，于是可得通項(xiàng)，通過(guò)等比中項(xiàng)性質(zhì)可知為等比數(shù)列，于是可求通項(xiàng)；（2）計(jì)算出前n項(xiàng)和，化簡(jiǎn)式子，通過(guò)分解因式找出因子，然后利用正整數(shù)解可求得，.【詳解】(1)由于，整理得，而，故，所以為等差數(shù)列，所以；由于，可知為等比數(shù)列，，所以；（2）由（1）可得，，所以轉(zhuǎn)化為，整理即，要m,都為正整數(shù)，則都分別是2的倍數(shù)，且，故2的冪指數(shù)中，只有4與16相差12，故，故，此時(shí).本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力，計(jì)算能力，難度中等.22、（1）.（2）（?。?；（ⅱ）【解析】

求導(dǎo)并設(shè)出切點(diǎn)，建立方程組，解出即可；

（ⅰ）求導(dǎo)得，令，則函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，由